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1、 2024初二数学竞赛辅导资料(共12讲)目 录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。其中因式分解为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。注：有(*) 标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲实数（一）第二讲实数（二）第三讲平面直角坐标系、函数第四讲一次函数（一）第五讲一次函数（二）第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股
2、定理第八讲 株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）第九讲 竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第1讲 实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：绝对值最小的实数是0若a与b互为相反数，则|a|b|；若|a|b|，则ab对任意实数a，则|a|a， |a|a|ab|a|b|，(b0)|a|b|ab|a|b|（2）实数的偶次幂是非负数
3、如果a为任意实数，则0（n为自然数），当n1时，0（3）算术平方根是非负数，即 0，其中a0. 算术平方根的性质： （a0） 2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；4、推广到的化简；5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。【例题精讲】 专题一：利用非负数的性质解题：【例1】已知实数x、y、z满足，求xyz的平方根。【巩固】1、已知，则的值为_；2、若，的值【拓展】设a、b、c是实数，若，求a、b、c的值
4、专题二：对于 的应用【例2】已知x、y是实数，且 ；【例3】已知、适合关系式：，求的值。【巩固】1、已知b，且的算术平方根是，的立方根是，试求的平方根和立方根。2、已知，则 ；【拓展】在实数范围内，设，求的个位数字。专题三：，的化简及应用常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【例4】化简：【例5】若实数x满足方程 ，那么 ；【巩固】1、若，且，则 ；2、已知实数a满足a0，那么 ；3、设（1）求y的最小值（2）求使6y7的x的取值范围。【拓展】若，求的值。【课后练习】1、如果a 0 ，那么 。2、已知和是数的平方根，则求的值 。3、设a、b、c是ABC的三边的长，则 。4、已知
5、x、y是实数，且则 。5、若0 a 0） D、S30t（t4）ABCDyx图12、图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离与时间之间的函数图象若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）3、函数自变量的取值范围为_；4、如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下图的四种底面积相同的容器中，htOhtOhtOhtO甲乙丙丁（1）（2）（3）（4）下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度和时间的函数关系图象：A（1）甲，（2）乙，（3）丁，（4）丙 B（1）乙，（2）甲，（3）丁，（4）丙C（1）乙，（2）甲，（3）丙，（4）丁 D（1）丁，（2）甲，（3）乙，（4）丙5
6、、平面直角坐标系内，点A（n，1n）一定不在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限6、若P(ab，5)与Q(1，3ab)关于原点对称，则（ab）(ab)的值为 ；6、已知点P（3p15，3p）在第三象限，如果其坐标为整数点，求点M的坐标。第4讲 一次函数（一） 姓名： 【知识梳理】一、一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成ykxb（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b0时，称y是x的正比例函数.二、一次函数的图象：由于一次函数ykxb（k，b为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数ykxb的图象也称为直
7、线ykxb由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点、直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数ykx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.三、一次函数ykxb（k，b为常数，k0）的性质：（1）k的正负决定直线的倾斜方向；k0时，y的值随x值的增大而增大；kO时，y的值随x值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的
8、位置；当b0时，直线与y轴交于正半轴上；当b0时，直线与y轴交于负半轴上；当b0时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图1118（1）所示，当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图1118（2）所示，当k0，bO时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图1118（3）所示，当kO，b0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图1118（4）所示，当kO，bO时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们
9、是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线yx1可以看作是正比例函数yx向上平移一个单位得到的四、正比例函数ykx（k0）的性质：（1）正比例函数ykx的图象必经过原点；（2）当k0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（3）当k0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小五、用函数的观点看方程与不等式：（1）方程2x200与函数y2x20观察思考、二者之间有什么联系？从数上看：方程2x200的解，是函数y2x20的值为0时，对应自变量的值从形上看：函数y2x20与x轴交点的横坐标即为方程2x200的解关系、由于任何一元一次方程都可转化为kxb0（k、b为常
10、数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为、当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线ykxb确定它与x轴交点的横坐标值（2）解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线ykxb与ymxn的交点坐标。两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。（3）解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围解关于x的不等式kxbmxn可以转化为：当自变量x取何值时，直线y（km）xbn上的点在x轴的上方，
11、或（2）求当x取何值时，直线ykxb上的点在直线ymxn上相应的点的上方（不等号为“0（k0）的解集是x3，则直线ykx2与x轴的交点是_2、如右图，直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 例5：一个一次函数的图像与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（1，25），则线段AB上（包括端点A、B），横坐标、纵坐标都是整数的点有几个？【巩固】如图一次函数的图象经过点和，则的值为 。例6：如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C。（1）求直线的解析式。（2）求ADC的面积；（3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得ADP与ADC
12、的 面积相等，请直接写出点P的坐标。【课后练习】1、点A为直线上的一点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为_。xy022、直线经过一、二、四象限，那么直线经过 象限。3、一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）ABCD4、如图一直线L经过不同三点A（a，b），B(b，a)，C，那么直线L经过（ ）A第二、四象限 B第一、三象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限5、设直线(为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(1，2，3，2000).则1232000的值为 ( )A. B. C. D. 6、如图直线与轴、轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直
13、角ABC，BAC90，如果在第二象限内有一点P，且ABP的面积与ABC的面积相等，求a的值。 第5讲 一次函数（二）【知识梳理】一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系，构建一次函数模型，再利用一次函数的性质求出问题的解。【例题精讲】例1：我市一种商品的需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x（元件）分别近似满足下列函数关系式：y1x60，y22x36；需求量为时，即停止供应。当y1 y2时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量（1）求该商品的稳定价格与稳定需求量；（2）价格在什么范围，该商品的需求量低于供应量？yxO（第22题图）（3）当需求量高于供应量时，政府常通过对
14、供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量，现若要使稳定需求量增加4万件，政府应对每件商品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？【巩固】图1130表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？（2）这次比赛全程是多少千米？甲乙（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？例2：在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为（张），总费用为（元）现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；1000014000100150Ox(张)y(元)（总费用广告赞
15、助费门票费）方案二：购买门票方式如图所示解答下列问题：（1）方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ；当时，与的函数关系式为 ；（2）如果购买本场足球赛超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张【巩固】我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费。即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分
16、，按每吨元（）收费。设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示：（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？例3：抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）（1）若甲库运往A库粮食吨，请
17、写出将粮食运往A、B两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式；（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？【巩固】我市某乡两村盛产柑桔，村有柑桔200吨，村有柑桔300吨现将这些柑桔运到两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元设从村运往仓库的柑桔重量为吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元（1）请填写下表，并求出与之间的函数关系式；收地运地总计吨200吨300吨总计240吨260吨500吨（2）试讨论两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到村的经济承受能
18、力，村的柑桔运费不得超过4830元在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值例4：我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城如图所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位在：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象请根据图中信息，解答下列问题：（1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_h，点B的纵坐标300的意义是_； （2）请你在原图中直接画出第二列动车组列车离
19、开甲城的路程s与时间t的函数图象；（3）若普通快车的速度为100 km/h，求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围； 求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇； 0.5ABCO123100200300s/kmt/h直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间【巩固】某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟。图中表示快递车距离A地的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：时)的函数图象已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时（1）请在图中画出货车距离A地的
20、路程y(千米)与所用时间x(时)的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)；（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？ 【课后练习】1、某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示；每个售票窗口票数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示某天售票厅排队等候购票的人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示，已知售票的前分钟开放了两个售票窗口（1）求的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的
21、旅客人数；143124030078ax/分y/人OOO（图）（图）（图）x/分y/人x/分y/人（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？2、如图，工地上有A、B两个土墩，洼地E和河滨F，两个土墩的土方数分别是781方，1584方，洼地E填上1025方，河滨F可填上1390方，要求挖掉两个土墩，把这些土先填平洼地E，余下的图填入河滨F（填入F实际只有1340方），如何安排运土方案，才能使劳力最省？（提示：把土方米作为运
22、土花费劳力的单位）第6讲：全等三角形【知识梳理】1、全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。2、全等三角形的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”3、 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。（2）全等三角形的周长、面积相等。4、全等三角形常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上
23、的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答【例题精讲】例1：已知，如图ABC中，AB5，AC3，则中线AD的取值范围是_.【
24、巩固】如图所示，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证: AFEF.例2：已知等腰直角三角形ABC中，ACBC，BD平分ABC，求证：ABBCCD【巩固】1、已知ABC中，AD平分BAC，ABAC，求证：ABACBDDC2、如图所示，已知四边形ABCD中，ABAD，BAD60，BCD120，求证: BCDCAC. 例3：如图，已知在ABC中，B60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O求证：OEOD例4：如图，在ABC中，BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PNAB于N，PM AC于点M求证：BNCM例
25、5：AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A，E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为。求证.【拓展】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BEDFEF，求EAF的度数. 【课后练习】1、如图，BAC60，C40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：ABBPBQAQ2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BECF与EF的大小. 3、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BECF的理由；（2）如果AB，AC，求AE、BE的长.第7讲：直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、
26、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理逆定理二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余2、直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c25.直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响在ABC中，(1)若c2a2b2，则C90；(2)若c2a2b2，则C90；(3)若c2a2b2，则C90勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)
27、的问题中有着广泛的应用5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2那么这个三角形是直角三角形6、勾股数的定义：如果三个正整数a、b、c满足等式a2b2c2，那么这三个正整数a、b、c叫做一组勾股数。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。【典例精析】例1：在ABC中，BAD90，AB3，BC5，现将它们折叠，使B点与C点重合，求折痕DE的长。【巩固】1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm2、四边形ABCD中，DAB60，BD90，BC1，CD2；求对角线AC的长？例2：如图所示已知：在正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，作EFAC于F，作FGAB于G求证：AB22FG2【巩固】已知ABC中，A90，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC上，MEMF求证：EF2BE2CF2