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1、初中数学竞赛辅导资料(29) 概念的定义甲内容提要和例题1.概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词 (或符号 )表现出来的。例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形，平行，相等以及符号=，等等都是概念。2.概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃，李，苹果，这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜 )。人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，3.正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。4.理解概念就是对名词，符号的含义的
2、正确认识，一般包含两个方面：明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。例如“代数式” 这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。又如“三角形” 的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形， 等边三角形， 直角三角形， 钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。5.概念的定义就是用语句说明概念的含
3、义，揭示概念的本质属性。数学概念的基本定义方式是种属定义法。在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念， （如三角形） ，外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）种属定义法可表示为：被定义的概念种概念类征（或叫属差）例如：方程等式含未知数又如：无理数小数无限不循环或无理数无限小数不循环再如等腰三角形三角形有两条边相等6.基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。例如：
4、几何中的 “点” 是这样描述的： 线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。 “直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直” ，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。7.概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为有限小数和无限循环小数叫做有理数。整数和分数统称有理数。前者是用上位概念“小数” 加上类征 “有限， 无限循环” 来定
5、义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、 “分数” 来定义上位概念的，它是外延法。8.正确的概念定义，要遵守几条规则。不能循环定义。例如周角的360 分之 1 叫做 1度的角（对） ，360 度的角叫做周角（错，这是循环定义）定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。定义用语要简单明确，不要含混不清。一般不用否定语句或比喻方法定义。9.定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形 “是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是
6、用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。所以由定义可得等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。10. 数学概念要尽可能地用数学符号表示。例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在ABC 中， ABAC 直角三角形，要写出哪个是直角，在 RtABC 中， CRt又如实数 a 的绝对值是非负数，记作a0， “”读作大于或等于。11. 运用定义解题是最本质的解题方法例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示a)0()0(0)0(aaaaa含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化
7、去绝对值符号后解答。如：化简：1xx可等于)1)(1()10)(1()0)(1(xxxxxxxxx解方程：1x2x+1 可化为当 x-1 (B) a=1 (C) a1（D）非以上答案（1987 年全国初中数学联赛题）返回目录参考答案初中数学竞赛辅导资料（35）两种对称甲内容提要1.轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心2.轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能
8、够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。3.性质 ：成轴对称或中心对称的两个图形是全等形对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4.常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等乙例题例1.求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等证明：等腰梯形是
9、轴对称图形，底边的中垂线MN 是它的对称轴，对应线段 AC 和 BD 的交点 O，在对称轴MN 上AC BDDNC AOB 和 COD 都是等腰直角三角形，OM 和 ON 是它们的斜边中线OOM 21AB，ON21CDMN 21（AB CD）AMB梯形中位线与高相等例2.已知矩形ABCD 的边 AB6，BC 8，将矩形折叠，使点C 和点 A重合，求折痕EF 的长解：折痕EF 是对称点连线AC 的中垂线连结 AE，AECE，设 AE x,则 BE8x在 RABE 中， x2=(8-x)2+62解得 x=425，即 AE425在 RtAOE 中， OE225)425(415EF2OE 7.5 例3
10、.已知： ABC 中， AB AC,过点 A 的直线 MN BC，点 P 是 MN上的任意点求证： PBPC2AB证明：当点 P 在 MN 上与点 A 重合时，PBPCAB AC ，即 PBPC2AB当 P 不与 A 重合时作点 C 关于直线MN 的对称点C，则 PC，PC，AC，ACABPAC， PAC ACB PAC， PAC BAC 180B，A，C，三点在同一直线上PBPC，BC，即 PBPC 2ABPBPC2AB 例4.已知：平行四边形ABCD 外一点 P0，点 P0关于点 A 的对称点 P1，P1关于点 B 的对称点P2，P2关于点 C 的对称点P3，P3关于点 D 的对称点 P4
11、求证： P4与 P0重合证明：（用同一法）顺次连结P0，P1，P2，P3，P4，根据中心对称图形性质，点 A，B，C， D 分别为 P0P1， P1P2，P2P3，P3P4的中点AB P0P2CD 连结 P0P3，取 P0P3的中点 D，连结 D，C，则 D，CP0P2CD，和 CD重合，P4和 P0重合D,P4P3P2P1P0ABCDABCDOFEC,ABCNMP例5.正方形 ABCD 的边长为a 求内接正三角形AEF 的边长解：正方形ABCD 和等边三角形AEF 都是轴对称图形，直线AC 是它的公共对称轴，可知 ABE ADFBEDF，CECF设等边三角形AEF 边长为 x ，根据勾股定理
12、得CE2CF2x2,CE=x22,BE=ax22在 RtABE 中， x2=( ax22)2+a2x2+22ax4a2=0由根公式舍去负根，得x=(2-6) a答：等边 AEF 的边长是 (2-6)a 丙练习 35 1.下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有属中心对称而不是轴对称图形的有既是轴对称又是中心对称的图形有线段角等腰三角形等腰梯形矩形菱形平行四边形正三角形正方形圆2.坐标平面内，点A 的坐标是（ xa，y b）那么点 A 关于横轴的对称点B 的坐标是（）点 A 关于纵轴的对称点C 的坐标是（）点 A 关于原点的对称点D 的坐标是（）3.坐标平面内，点M（a,b）与点 N（ a,b）是
13、关于的对称点点 P（m3,n）与点 Q（3m,n）是关于的对称点4.已知：直线m 的同一侧有两个点A 和 B求作：在m 上一点 P，使 PAPB 为最小5. 已知：等边ABC求作：点P，使 PAB， PBC， PAC 都是等腰三角形（本题有10 个解，至少作出4 个点 P）6.求证：等腰梯形两腰的延长线的交点，对角线的交点，两底中点，这四点在同一直线上（用轴对称性质）a-2 x2xaABCDEFmABABC7.已知： ABC 中， BCAC ，从点 A 作 C 平分线的垂线段AD ，点 E 是AB 的中点求证： DE21（BCAC）（1991 年德化县初中数学竞赛题）8.已知： ABC 中，
14、ABAC ，BD 是角平分线，BC ABAD 求： C 的度数（90 年泉州市双基赛题）9.已知：正方形ABCD 中，AB 12，P在 BC 上，且 BP5，把正方形折叠使点 A 和点 P重合，求：折痕EF 的长10.平行四边形ABCD 的周长是18cm,A 和 B 的平分线相交于M，点O 是对称中心，OM 1cm，求各边长11. ABC 中， B2C，AD 是角平分线，E 是 BC 的中点， EFAD和 AB 的延长线交于点F求证 BD 2BF （创建轴对称图形，过点C 作 CGBC 交 AB 延长线于 G）12. 正方形 ABCD 的边长为a,形内一点P，P 到 AB 两端及边BC 的距离
15、都相等，求这个距离。13. 求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（1988 年全国初中联赛题）提示：用反证法，作ABD 关于点 O（对角线交点）的对称三角形14 矩形 ABCD 中，边 AB 3，对角线 AC=2 ，在矩形内 O1和 BC、AC分别切于点E，F， O2与 AD ，AC 分别切于M，N 求： ACB 与 O2AN 的度数如果折叠矩形后 (折痕为 AC) ，点 O2落在 AB 边上的点 K 处：在图上画出点K 确切位置，并说明理由；设 O1，O2的半径都等于R，试求折叠矩形后，两圆外离时的圆心距与 R 的取值范围。(1996 年泉州市中考
16、题) 15.已知： AD 是 ABC 的外角平分线，点这P在射线 AD 上求证： PB+PC AB+AC 16.已知：坐标平面内，点A 关于横轴的对称点为B，点 A 关于原点的对称点为 C 求证：点 B 和点 C 是关于纵轴的对称点17.已知： AD 是等腰直角三角形ABC 斜边上的高， BM ，BN 三等分 ABC并和 AD 顺次交于M，N，连结并延长CN 交 AB 于 E，求证： EM BN 返回目录参考答案初中数学竞赛辅导资料(30) 概念的分类甲内容提要1.概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对
17、象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。2.概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m 的余数分类。分别表示如下：整数负整数零正整数整数奇数偶数整数23133余除以余除以整除能被整数3424144余除以余除以余除以整除能被3.一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如正整数按下列分类是正确的正整数1合数质数正整数正偶数正奇数如果只分为质数和合数，则外延
18、总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，而不能是三类： （不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边） ，所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4.二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形等腰三角形不等边三角形平面内两条直线位置不相交相交实数可分为： 非负实数和负实数；四边形可分为： 平行四边形和非平行四边形等等。5.从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念
19、的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形又如： 代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下: 7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系可能就有交叉关系的概念。例如：正数和整数是交叉关
20、系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下: 三角形等腰三角形等边三角形代数式有理式整式单项锐角三角形钝角三角形直角三角形无理式有理式奇数偶数乙例题 30 例 1.把一元一次不等式axb(a,b 是实数， x 是未知数 )的解的集合分类。解：把实数a,b 按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：axb 的解集时，解集是全体 实数b时，解集是空集baab时，b不 论何值xaab时，b不 论何值xa00000且例 2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长。解：设底边长为xc
21、m,则腰长是2-15 xcm 当腰比底大时是2-15 x x=3 x=32-15 x6当腰比底小时是x2-15x=3 x=7 2-15 x=4 答（略）例 3.化简（22)1() 1(xx2yx1解：要使1x有意义，必须且只需x+10，即 x 1 （22)1()1(xx21xx+121xx1 当 1 xn),那么 m2-n2， 2mn,m2+n2是一组勾股数。如果 k 是大于 1 的奇数，那么k, 212k,212k是一组勾股数。如果 k 是大于 2 的偶数，那么k, 122K,122K是一组勾股数。如果 a,b,c 是勾股数，那么na,nb,nc(n 是正整数 )也是勾股数。5.熟悉勾股数可
22、提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9， 40，41。乙例题例 1.已知线段 aa 5a2a3a 5a求作线段5aa分析一：5a25a224aa2a 5a 是以 2a和 a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：5a2492aa5a 是以 3a为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例 2.四边形 ABCD 中 DAB 60 ， B DRt， BC1， CD2 求对角线AC 的长解：延长BC 和 AD 相交于 E，则 E30CE2CD4，在 RtABE 中设 AB 为 x,则 AE2x根据勾股定理
23、x2+52=(2x)2, x2=325在 RtABC 中， AC221x13252132例 3.已知 ABC 中， AB AC， B2A 求证： AB2BC2AB BC证明：作 B 的平分线交AC 于 D，则 A ABD ，BDC 2 A C AD BDBC作 BM AC 于 M，则 CM DMAB2BC2（ BM2AM2）（ BM2CM2）AM2CM2（ AM CM ） （AM CM ）AC AD ABBC 例 4.如图已知 ABC 中， AD BC，ABCDAC BD 求证： AB AC证明：设AB ，AC ，BD， CD 分别为 b,c,m,n则 c+n=b+m, c-b=m-nAD B
24、C，根据勾股定理，得AD2c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)(c-b)(c+b)(c-b) (m+n)(c-b) 0 (c-b)(c+b) (m+n) 0 c+bm+n, c-b=0 即 c=b AB AC 21DABCEBCADMcbnmABCD例 5.已知梯形 ABCD 中， AB CD，AD BC 求证： AC BD 证明：作 DEAC ，DFBC，交 BA 或延长线于点E、F ACDE 和 BCDF 都是平行四边形DEAC ，DFBC，AECDBF作 DHAB 于 H，根据勾股定理AH 22-
25、DHAD，FH22- DHDFAD BC，AD DFAH FH，EHBHDE22EHDH， BD2BHDHDEBD 即 ACBD 例 6.已知：正方形 ABCD 的边长为1， 正方形 EFGH 内接于 ABCD ， AE a，AFb,且 SEFGH32求：ab的值（ 希望杯数学邀请赛，初二）解：根据勾股定理a2+b2=EF2SEFGH32;4SAEFSABCDSEFGH2ab=31得（a-b）2=31ab33丙练习 31 1.以下列数字为一边，写出一组勾股数：7，8，9，10，11， 12，2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：252242，52122，22158，2215-25jABCD
26、EFHABCDFGHE3.ABC 中， AB 25，BC20，CA 15，CM 和 CH 分别是中线和高。那么 SABC， CH， MH 4.梯形两底长分别是3 和 7，两对角线长分别是6 和 8，则 S梯形5.已知： ABC 中， AD 是高， BEAB，BECD，CFAC ，CF BD 求证： AEAF 6.已知： M 是 ABC 内的一点， MD BC，ME AC ，MF AB，且 BD BF，CDCE求证： AEAF7.在 ABC 中， C 是钝角， a2-b2=bc 求证 A2 B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的
27、数值相等，求各边长10 等腰直角三角形ABC 斜边上一点P，求证： AP2BP22CP2 11.已知 ABC 中， ARt， M 是 BC 的中点， E， F分别在 AB ，AC ME MF 求证： EF2 BE2CF2 12.RtABC 中， ABC 90， C600，BC2，D 是 AC 的中点，从D 作 DEAC 与 CB 的延长线交于点E，以 AB 、BE 为邻边作矩形ABEF ，连结 DF，则 DF 的长是。 （ 希望杯数学邀请赛，初二试题）13.ABC 中， ABAC 2，BC 边上有 100 个不同的点p1，p2，p3， p100, 记 mi=APi2+BPiPiC (I=1,2
28、 ， 100)，则 m1+m2+ m100=_ (1990 年全国初中数学联赛题) 返回目录参考答案(11)BACMFE(12)ABCEFD(5)ABCEFDEABCMDF初中数学竞赛辅导资料（32）中位线甲内容提要1.三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2.中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3.运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4.中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直
29、线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5.有关线段中点的其他定理还有：直角三角形斜边中线等于斜边的一半等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合对角线互相平分的四边形是平行四边形线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。乙例题例1.已知： ABC 中，分别以AB、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM和 CAN ，P 是 BC 的中点。求证：PMPN（1991 年泉州市初二数学双基赛题）证明：作ME AB ，NFAC ，垂足 E， F ABM 、 CAN 是
30、等腰直角三角形 AEEBME，AFFCNF，根据三角形中位线性质PE21AC NF， PF21AB MEPEAC ，PFAB PEB BAC PFC即 PEM PFN PEM PFN PMPN ABCMNPEF例 2.已知 ABC 中， AB 10，AC 7，AD 是角平分线，CMAD 于 M，且 N 是 BC 的中点。求MN 的长。分析： N 是 BC 的中点，若M 是另一边中点，则可运用中位线的性质求MN 的长，根据轴称性质作出AMC 的全等三角形即可。辅助线是：延长CM 交 AB 于 E（证明略）例 3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。已知：梯形ABCD 中， A
31、B CD， M、N 分别是 AC、BD 的中点求证： MN ABCD，MN 21（ ABCD）分析一： M 是 AC 中点，构造一个三角形，使N 为另一边中点，以便运用中位线的性质。连结 CN 并延长交AB 于 E（如图 1）证 BNE DNC 可得 N 是 CE 的中点。（证明略）分析二：图2 与图 1 思路一样。分析三：直接选择ABC ，取 BC 中点 P 连结 MP 和 NP，证明M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。例4.如图已知：ABC中， AD是角平分线， BECF， M、N 分别是BC 和 EF 的中点求证： MN AD证明一：连结EC，取 EC 的中点 P，连结
32、 PM、PN MPAB ，MP21AB ，NPAC ，NP21AC BECF， MPNP 3=4=2MPN-180MPN BAC 180 （两边分平行的两个角相等或互补） 1=2=2MPN-180，2=3 NPAC MN AD4321ABCDEFMNP321NABCDEABCDEABCDMNMMNE7101 2ABCDMN证明二：连结并延长EM 到 G，使 MG ME 连结 CG，FG则 MN FG， MCG MBE CGBECFB BCGAB CG， BAC FCG180CAD 21（180 FCG）CFG21（180 FCG）=CAD MN AD例5.已知： ABC 中， AB AC，AD
33、 是高， CE 是角平分线， EFBC于 F，GECE 交 CB 的延长线于G求证： FD41CG证明要点是：延长GE 交 AC 于 H，可证 E 是 GH 的中点过点 E 作 EM GC 交 HC 于 M，则 M 是 HC 的中点， EMGC， EM21GC由矩形 EFDO 可得 FDEO21EM41GC丙练习 321.已知 E、 F、G、H 是四边形ABCD 各边的中点则四边形EFGH 是形当 AC BD 时，四边形EFGH 是形当 AC BD 时，四边形EFGH 是形当 AC 和 BD 时，四边形EFGH 是正方形形。2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。3.已知 AD 是锐角三角
34、形ABC 的高， E，F，G 分别是边BC，CA，AB 的中点，证明顺次连结E，F，G， H所成的四边形是等腰梯形。4.已知：经过 ABC 顶点 A 任作一直线a,过 B，C 两点作直线a 的垂线段BB，和 CC，设 M 是 BC 的中点，求证： MB，MC，5.如图已知 ABC 中， AD BE，DM ENBC 求证 BCDM EN MjABCGDEFNO21ABCGDEFHMABCDMENABCDEFGH6.如图已知：从平行四边形ABCD 的各顶点向形外任一直线a 作垂线段 AE ，BF，CG，DH。求证 AE CGBFDH7.如图已知D 是 AB 的中点， F 是 DE 的中点，求证 B
35、C 2CE 8.平行四边形ABCD 中，M，N 分别是 BC、CD 的中点，求证AC 平分 MN 9.已知 ABC 中， D 是边 BC 上的任一点，M，N，P，Q 分别是 BC，AD ，AC ，MN 的中点，求证直线PQ 平分 BD 。10.等腰梯形ABCD 中， AB CD，AD BC，点 O 是 AC 和 BD 的交点，AOB 60 ，P，Q，R 分别是 AO ，BC ，DO 的中点，求证PQR 是等边三角形。11.已知： ABC 中， AD 是高， AE 是中线，且AD， AE 三等分 BAC ，求证： ABC 是 Rt。12.已知：在锐角三角形ABC 中，高 AD 和中线 BE 相交
36、于 O，BOD 60 ，求证 ADBE13.如图已知：四边形ABCD 中， AD BC，点 E、F 分别是 AB 、CD 的中点， MN EF求证： DMN CNM返回目录参考答案DABCFEMNR60OABCDPQS(9)ABCDMNPRAoBCDaGHED1FF(7)ABCED8ODABCMN初中数学竞赛辅导资料（33）同一法甲内容提要1.“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。2.同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。互逆两个命题一般是不
37、等价的。例如原命题：福建是中国的一个省（真命题）逆命题：中国的一个省是福建（假命题）但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如原命题：中国的首都是北京（真命题）逆命题：北京是中国的首都（真命题）因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步
38、骤是：作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）乙例题例1.求证三角形的三条中线相交于一点已知： ABC 中， AD ， BE，CF 都是中线求证： AD， BE，CF 相交于同一点分析：在证明AD 和 BE 相交于点 G 之后，本应再证明CF 经过点 G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG 交 AB于 F，证明 CF，就是第三条中线（即证明AF， F，B）证明： DAB EBA180F,GABCDEF AD 和 BE 相交，设交点为G连结并延长CG 交 AB 于 F，连结 DE 交 CF，于 M DEABFAME
39、FBMDFCCM， 即FAFBMEMDFBMEFAMDFGMG， 即FBFAMEMDFAFBFBFA， AF，BF，AF，是 BC 边上的中线，BC 边上的中线只有一条，AF，和 AD 是同一条中线AD ，BE，CF 相交于一点G。例 2.已知： ABC 中， D 在 BC 上， AB2AC2BD2DC2 求证： AD 是 ABC 的高分析：从题设AB2AC2BD2DC2证明结论不易，因为BC 边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AEBC，证明在题设的条件下AE就是 AD 。证明：作 AEBC 交 BC 于 EA根据勾股定理AB2AC2（ AE2BE2）（ AE2EC2）BE2EC2 AB
40、2AC2BD2DC2BEDCBD2DC2BE2 EC2（BDDC） （BD DC）（ BEEC） （BEEC）BDDCBEECBDDCBEEC： 2BD 2BE 即点 D 和点 E 重合，即AD是 ABC 的高例 3 如图已知：四边形ABCD 中， ABD ADB 15CBD 45 ， CDB30求证： ABC 是等边三角形证明：在BC 或延长线上取点E，使 BEAB连结 AE，DE，则 ABE 是等边三角形AEAB AD ， EAD 15060 90 ， ADE 4545301515ABDCE ADC 45 ，且 DE，DC 在 DA 的同一侧，DE 和 DC 重合，它们与BC 边的交点E，
41、C 也重合 ABC 是等边三角形例 4.求证：3352521 分析：直接证法，一般是把左边写成3333)5252(再化简为1，但没有成功。拟用同一法，可认为要证明的原命题是：有两个数352，352，它们积是 1，则它们的和是1 那么逆命题是：若u+v=1,且 uv=1，则 u=352,v=352证明：设u+v=1, 且 uv=1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）得 u,v 是方程 x2x10的两个根x=251,即 u,v 分别等于251，251而 u3=（251）325，v3=（251）325 u=352,v=352即3352521 例 5.已知： ACD 是圆的割线，点B 在圆上，且AB2A
42、C AD 求证： AB 是圆的切线证明：过点B 作圆的切线，交DC 于 A1，则 CBA1 D由已知 AB2AC AD ，则ABACACAD， A A ACB ABD CBA D，CBA1 CBA BA 和 BA1重合，它们与DC 的交点是同一个点即 AB 是圆的切线。例 6.以 ABC 的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是D，E，lBA1DCAF，那么过D，E， F 的圆是 ABC 的内切圆。分析：用同一法证明，作出ABC 的内切圆，再证明三个切点和D， E，F 重合证明：作 ABC 的内切圆和AB，BC，CA 分别切于D，E， F，根据切线长定理，得AD，AF，2abc， BE，
43、 BD，2bca， CF， CE，2cba设 A,B， C 半径长分别为x,y,z bxzazycyx,解得， x=2abc,y=2bca,z=2cbaAD，AD ，BE，BE，CF，CF即 D，与 D，E，与 E ， F，与 F 重合。 ABC 的内切圆和各边切于D，E，F即过 D，E，F 的圆是 ABC 的内切圆。丙练习 331.用同一法证明：三角形的中位线平行于第三边梯形中位线平行于两底2.已知 E 是正方形ABCD 内的一点，EAB EBA15求证 ECD 是等边三角形3.已知 ABC 中， ABAC ， A36，在 AC 上取点 D，使 AD BC 求证 BD 是 ABC 的平分线4
44、.如果梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰中点5.ABC 中，CRt， AC BC，点 D 在 AC 上，且 CDAB BC 求证 BD 平分 ABC 6.正方形ABCD 中， M，N 分别是 CD，BC 的中点， DEAM 于 E，求证点 N 在 DE 的延长线上7.已知：四边形ABCD 中， E，F 和 GH 分别三等分AB 和 CD，M 和 N 分别是 BC，AD 中点，ND求证：AFACBDEMN 平分 EH 和 FGEHMN 被 EH，FG 三等分FGBMC8.已知：矩形ABCD 中， AB 2BC，点 E 在 CD 上，且 CBE 15求证： AE
45、AB 9.已知： AD 是四边形ABCD 外接圆 O 的直径， ABC 120ACB 45点 P 在 CB 的延长线上，且PB2BC 求证： PA 是 O 的切线10.已知： H 是 ABC 的垂心（三条高的交点），过 H，B，C 三点作 O，延长 ABC 的中线 AM 交 O 于 D 求证： AM MDAOODCBP返回目录参考答案jMHABCD初中数学竞赛辅导资料（34）反证法甲内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：ABAB例如原命题：对顶角相等(真命题
46、) 逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题 ) 又如原命题：同位角相等，两直线平行(真命题 ) 逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题 ) 3.用反证法证明命题，一般有三个步骤：反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）结论从而得出命题结论正确例如：求证两直线平行。用反证法证明时假设这两直线不平行；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从而肯定，非平行不可。乙例题例 1 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图1 2A1B求证： ABCD证明：设AB 与 CD 不平行C2D那么它们必相交
47、，设交点为MD这时， 1 是 GHM 的外角A1MB 1 2G这与已知条件相矛盾2 AB 与 CD 不平行的假设不能成立H ABCDC 例 2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。例 3.已知： m2是 3 的倍数，求证：m 也是 3 的倍数证明：设m 不是 3 的倍数，那么有两种情况：m=3k+1 或 m= 3k+2 (k 是整数 )
48、 当m=3k+1 时，m2（ 3k+1 ）29k2+6k+1=3(3k2+2k)+1当m=3k+2 时，m2（ 3k+2 ）29k212k+4=3(3k2+4k+1)+1 即不论哪一种，都推出m2不是 3 的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。m2是 3 的倍数时， m 也是 3 的倍数例 4.求证：2不是有理数证明：假设2是有理数，那么2ba（a,b 是互质的整数） ，ba=2,（ba）22， a2=2b2, a2是偶数，a2是偶数，a也是偶数，设 a=2k（k 是整数） ,a2=4k2, 由 a2=2b2, 得 b2=21a2=2k2, b2是偶数，b 也是偶数那么 a、b 都是偶
49、数，这和“a,b 是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立2不是有理数例 5.若 n 是正整数， 则分数314421nn是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设314421nn不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为 k（k1）, 且 k,a,b 都是正整数，即143214314421bknaknbknakn214ak143bk，3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1 整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是1 时，积才能等于 13b-2a=1,k=1 分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数314421nn是既约分数丙练习 34 1.写出下列各命题结论的
50、反面：2.已知：平面内三个点A，B，C 满足 AB BCAC，求证： A，B，C 三点在同一直线上3.求证：等腰三角形的底角是锐角4.求证：一个圆的圆心只有一个5.求证：三角形至少有一个内角大于或等于60 度6.如果 a2奇数，那么a也是奇数（仿例 3）7.求证：没有一个有理数的平方等于3 (仿例 4) 8.已知 a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即 a,b,c 是勾股数 ) 求证 a,b,c 至少有一个偶数a,b,c 中至少有一个能被3 整除9.求证二元一次方程8x+15y=50 没有正整数解10.求证方程 x2+y2=1991 没有整数解11.把 1600 粒花生分给100 只猴