2013年山东省高考数学试卷（文科）.doc

《2013年山东省高考数学试卷（文科）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年山东省高考数学试卷（文科）.doc（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第 1 页（共 26 页）2013 年山东省高考数学试卷（文科）年山东省高考数学试卷（文科）一选择题：本题共一选择题：本题共 12 个小题，每题个小题，每题 5 分，共分，共 60 分分1 （5 分）复数 z=（i 为虚数单位） ，则|z|=（ ）A25BC5D2 （5 分）已知集合 A、B 全集 U=1、2、3、4，且U（AB）=4，B=1，2，则 AUB=（ ）A3 B4 C3，4 D3 （5 分）已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）=x2+，则 f（1）=（ ）A2B1C0D24 （5 分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积

2、分别是（ ）A4，8 BCD8，85 （5 分）函数 f（x）=+的定义域为（ ）A （3，0 B （3，1 C （，3）（3，0D （，3）（3，16 （5 分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 a 的值为1.2，第二次输入的 a 的值为 1.2，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为（ ）第 2 页（共 26 页）A0.2，0.2B0.2，0.8C0.8，0.2D0.8，0.87 （5 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 B=2A，a=1，b=，则 c=（ ）AB2CD18 （5 分）给定两个命题 p，q若p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是q的（

3、 ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9 （5 分）函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）ABCD10 （5 分）将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7 个剩余分数的方差为（ ）第 3 页（共 26 页）ABC36D11 （5 分）抛物线 C1：的焦点与双曲线 C2：的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p=（ ）ABCD12 （5 分）设正实数 x，y

4、，z 满足 x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz 的最大值为（ ）A0BC2D二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分13 （4 分）过点（3，1）作圆（x2）2+（y2）2=4 的弦，其中最短的弦长为 14 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最小值为 15 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知，若ABO=90，则实数 t 的值为 16 （4 分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：若 a0，b0，则 ln+（ab）=bln+a；若 a0，b0，则

5、ln+（ab）=ln+a+ln+b；若 a0，b0，则；若 a0，b0，则 ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）第 4 页（共 26 页）三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分，分，17 （12 分）某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9（）从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78以下的概率（）从该小组同学中

6、任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5，23.9）中的概率18 （12 分）设函数 f（x）=sin2xsinxcosx（0） ，且 y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（）求 的值（）求 f（x）在区间上的最大值和最小值19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB=2CD，E，F，G，M，N 分别为PB、AB、BC、PD、PC 的中点（）求证：CE平面 PAD（）求证：平面 EFG平面 EMN20 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列a

7、n的通项公式；第 5 页（共 26 页）（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前 n 项和 Tn21 （12 分）已知函数 f（x）=ax2+bxlnx（a，bR）（）设 a0，求 f（x）的单调区间（）设 a0，且对于任意 x0，f（x）f（1） 试比较 lna 与2b 的大小22 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在x 轴上，短轴长为 2，离心率为（）求椭圆 C 的方程（）A，B 为椭圆 C 上满足AOB 的面积为的任意两点，E 为线段 AB 的中点，射线 OE 交椭圆 C 与点 P，设，求实数 t 的值第 6 页（共 26 页）2013 年山

8、东省高考数学试卷（文科）年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题：本题共一选择题：本题共 12 个小题，每题个小题，每题 5 分，共分，共 60 分分1 （5 分）复数 z=（i 为虚数单位） ，则|z|=（ ）A25BC5D【分析】化简复数 z，然后求出复数的模即可【解答】解：因为复数 z=，所以|z|=故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力2 （5 分）已知集合 A、B 全集 U=1、2、3、4，且U（AB）=4，B=1，2，则 AUB=（ ）A3 B4 C3，4 D【分析】通过已知条件求出 AB，UB，然后求出 AU

9、B 即可【解答】解：因为全集 U=1.2.3.4，且U（AB）=4，所以AB=1，2，3，B=1，2，所以UB=3，4，所以 A=3或1，3或3，2或1，2，3所以 AUB=3故选：A【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，考查计算能力3 （5 分）已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）=x2+，则 f（1）=（ ）第 7 页（共 26 页）A2B1C0D2【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（1）=f（1） ，运算求得结果【解答】解：已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）=x2+，则f（1）=f（1）=（1+1）=2，故选：D【点评】本题主要考

10、查函数的奇偶性的应用，属于基础题4 （5 分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A4，8 BCD8，8【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形 PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB=2，高 PO=2，则四棱锥的斜高 PE=所以该四棱锥侧面积 S=，体积 V=故选：B第 8 页（共 26 页）【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三

11、视图得到原图形，是基础题5 （5 分）函数 f（x）=+的定义域为（ ）A （3，0 B （3，1 C （，3）（3，0D （，3）（3，1【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为 0 求解结果，然后取交集【解答】解：根据题意：，解得：3x0定义域为（3，0故选：A【点评】本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法6 （5 分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 a 的值为1.2，第二次输入的 a 的值为 1.2，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为（ ）第 9 页（共 26 页）A0.2，0.2B0.2，0.8C0.8，

12、0.2D0.8，0.8【分析】计算循环中 a 的值，当 a1 时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可【解答】解：若第一次输入的 a 的值为1.2，满足上面一个判断框条件 a0，第 1 次循环，a=1.2+1=0.2，第 2 次判断后循环，a=0.2+1=0.8，第 3 次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，不满足下面一个判断框条件 a1，退出循环，输出 a=0.8；第二次输入的 a 的值为 1.2，不满足上面一个判断框条件 a0，退出上面的循环，进入下面的循环，满足下面一个判断框条件 a1，第 1 次循环，a=1.21=0.2，第 2 次判断后不满足下面一个判断

13、框的条件退出下面的循环，输出 a=0.2；故选：C【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力7 （5 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 B=2A，a=1，b=第 10 页（共 26 页），则 c=（ ）AB2CD1【分析】利用正弦定理列出关系式，将 B=2A，a，b 的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出 cosA 的值，再由 a，b 及 cosA 的值，利用余弦定理即可求出 c 的值【解答】解：B=2A，a=1，b=，由正弦定理=得：=，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即 1=3+c23c，解得：c=2

14、或 c=1（经检验不合题意，舍去） ，则 c=2故选：B【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键8 （5 分）给定两个命题 p，q若p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是q的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为 q 是p 的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案【解答】解：p 是 q 的必要而不充分条件，q 是p 的充分不必要条件，即 qp，但p 不能q，其逆否命题为 pq，但q 不能p，则 p 是q 的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查的

15、知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为 q 是p 的充分不必要条件，是解答的关键第 11 页（共 26 页）9 （5 分）函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）ABCD【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 B，然后利用区特值排除 A 和 C，则答案可求【解答】解：因为函数 y=xcosx+sinx 为奇函数，所以排除选项 B，由当 x=时，当 x= 时，y=cos+sin=0由此可排除选项 A 和选项 C故正确的选项为 D故选：D【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题10 （5 分）将某选手

16、的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7 个剩余分数的方差为（ ）ABC36D【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的 7 个数据，先根据这组数据的平均数，求出 x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差【解答】解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，第 12 页（共 26 页）所剩数据的数据是 87，90，90，91，91，94，90+x这组数据的平均数是 =91，x=4这这组数据的方差是 （16+1+1+0+0+9+9）=故选：B【点评】本题考

17、查茎叶图，当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差11 （5 分）抛物线 C1：的焦点与双曲线 C2：的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p=（ ）ABCD【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 p 的关系，把 M点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值【解答】

18、解：由，得 x2=2py（p0） ，所以抛物线的焦点坐标为 F（） 由，得，所以双曲线的右焦点为（2，0） 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即设该直线交抛物线于 M（） ，则 C1在点 M 处的切线的斜率为由题意可知，得，代入 M 点得 M（）第 13 页（共 26 页）把 M 点代入得：解得 p=故选：D【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题12 （5 分）设正实数 x，y，z 满足 x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz 的最大值为（ ）A0BC2D【

19、分析】将 z=x23xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得 x+2yz 的最大值【解答】解：x23xy+4y2z=0，z=x23xy+4y2，又 x，y，z 为正实数，=+323=1（当且仅当 x=2y 时取“=”） ，即 x=2y（y0） ，x+2yz=2y+2y（x23xy+4y2）=4y2y2=2（y1）2+22x+2yz 的最大值为 2故选：C【点评】本题考查基本不等式，将 z=x23xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y 是关键，考查配方法求最值，属于中档题第 14 页（共 26 页）二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16

20、 分分13 （4 分）过点（3，1）作圆（x2）2+（y2）2=4 的弦，其中最短的弦长为 2【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出【解答】解：根据题意得：圆心（2，2） ，半径 r=2，=2，（3，1）在圆内，圆心到此点的距离 d=，r=2，最短的弦长为 2=2故答案为：2【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键14 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最

21、小值为 【分析】首先根据题意做出可行域，欲求|OM|的最小值，由其几何意义为点O（0，0）到直线 x+y2=0 距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点 O（0，0）到直线 x+y2=0 距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d=，则|OM|的最小值等于故答案为：第 15 页（共 26 页）【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题15 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知，若ABO=90，则实数 t 的值为 5 【分析】利用已知条件求出，利用ABO=90，数量积为 0，求解 t 的值即可【解答】解

22、：因为知，所以=（3，2t） ，又ABO=90，所以，可得：23+2（2t）=0解得 t=5故答案为：5【点评】本题考查向量的数量积的应用，正确利用数量积公式是解题的关键16 （4 分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：若 a0，b0，则 ln+（ab）=bln+a；若 a0，b0，则 ln+（ab）=ln+a+ln+b；若 a0，b0，则；若 a0，b0，则 ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由第 16 页（共 26 页）于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对 a

23、，b 分类讨论，判断出每个命题的真假【解答】解：（1）对于，由定义，当 a1 时，ab1，故 ln+（ab）=ln（ab）=blna，又 bln+a=blna，故有 ln+（ab）=bln+a；当 a1 时，ab1，故 ln+（ab）=0，又 a1 时 bln+a=0，所以此时亦有 ln+（ab）=bln+a，故正确；（2）对于，此命题不成立，可令 a=2，b=，则 ab=，由定义 ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以 ln+（ab）ln+a+ln+b，故错误；（3）对于，i1 时，此时0，当 ab1 时，ln+aln+b=lnalnb=，此时则，命题成立；当 a1b0 时，l

24、n+aln+b=lna，此时，lna，则，命题成立；当 1ab0 时，ln+aln+b=0，成立；ii1 时，同理可验证是正确的，故正确；（4）对于，当 a1，b1 时，ln+（a+b）=ln（a+b） ，ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab） ，a+b2ab=aab+bab=a（1b）+b（1a）0，a+b2ab，ln（a+b）ln（2ab） ，ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当 a1，0b1 时，ln+（a+b）=ln（a+b） ，ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a） ，a+b2a=ba0，a+b2a，ln（a+b）ln（2a） ，

25、第 17 页（共 26 页）ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当 b1，0a1 时，同理可证 ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当 0a1，0b1 时，可分 a+b1 和 a+b1 两种情况，均有 ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2故正确故答案为【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分，分，17 （12 分）某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学，

26、他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9（）从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78以下的概率（）从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5，23.9）中的概率【分析】 （）写出从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；（）写出从该小组同学中任选 2 人，其

27、一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解【解答】 （）从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （B，C） ， （B，D） ， （C，D）共 6 个第 18 页（共 26 页）由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有：（A，B） ， （A，C） ， （B，C）共 3 个因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 p=；（）从该小组同

28、学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （B，C） ， （B，D） ， （B，E） ， （C，D） ，（C，E） ， （D，E）共 10 个由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5，23.9）中的事件有：（C，D） （C，E） ， （D，E）共 3 个因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5，23.9）中的概率 p=【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题1

29、8 （12 分）设函数 f（x）=sin2xsinxcosx（0） ，且 y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（）求 的值（）求 f（x）在区间上的最大值和最小值【分析】 （）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出 的值（）通过 x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：（）函数 f（x）=sin2xsinxcosx=第 19 页（共 26 页）因为 y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为 又 0，所以，解得 =1；（）由（）可知，f（x）

30、=sin（2x） ，当时，所以，因此，1f（x），所以 f（x）在区间上的最大值和最小值分别为：【点评】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB=2CD，E，F，G，M，N 分别为PB、AB、BC、PD、PC 的中点（）求证：CE平面 PAD（）求证：平面 EFG平面 EMN【分析】 （）取 PA 的中点 H，则由条件可得 HE 和 CD 平行且相等，故四边形CDHE 为平行四边形，故 CEDH再由直线和平面平行的判定定理证明 CE平面 PAD（）先

31、证明 MN平面 PAC，再证明平面 EFG平面 PAC，可得 MN平面EFG，而 MN 在平面 EMN 内，第 20 页（共 26 页）利用平面和平面垂直的判定定理证明平面 EFG平面 EMN【解答】解：（）证明：四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB=2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点，取 PA 的中点 H，则由 HEAB，HE=AB，而且 CDAB，CD=AB，可得 HE 和 CD 平行且相等，故四边形 CDHE 为平行四边形，故 CEDH由于 DH 在平面 PAD 内，而 CE 不在平面 PAD 内，故有 CE平面 PAD（）证明：由于 ABAC，A

32、BPA，而 PAAC=A，可得 AB平面 PAC再由 ABCD 可得，CD平面 PAC由于 MN 是三角形 PCD 的中位线，故有 MNCD，故 MN平面 PAC由于 EF 为三角形 PAB 的中位线，可得 EFPA，而 PA 在平面 PAC 内，而 EF 不在平面 PAC 内，故有 EF平面 PAC同理可得，FG平面 PAC而 EF 和 FG 是平面 EFG 内的两条相交直线，故有平面 EFG平面 PACMN平面 EFG，而 MN 在平面 EMN 内，故有平面 EFG平面 EMN【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题第 21 页（共 2

33、6 页）20 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前 n 项和 Tn【分析】 （）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由 S4=4S2，a2n=2an+1 得到关于 a1与 d 的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）由（）知，an=2n1，继而可求得 bn=，nN*，于是Tn=+，利用错位相减法即可求得 Tn【解答】解：（）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由S4=4S2，a2n=2an+1 得：，解得 a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，

34、nN*，得：当 n=1 时，=，当 n2 时，=（1）（1）=，显然，n=1 时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又 Tn=+，Tn=+，两式相减得：Tn=+（+）第 22 页（共 26 页）=Tn=3【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x）=ax2+bxlnx（a，bR）（）设 a0，求 f（x）的单调区间（）设 a0，且对于任意 x0，f（x）f（1） 试比较 lna 与2b 的大小【分析】 （）由函数的解析式知，可先求出函数 f（x）=ax2+bxln

35、x 的导函数，再根据 a0，分 a=0，a0 两类讨论函数的单调区间即可；（）由题意当 a0 时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意 x0，f（x）f（1） 可得出=1 化简出 a，b 的关系，再要研究的结论比较 lna 与2b 的大小构造函数 g（x）=24x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小【解答】解：（）由 f（x）=ax2+bxlnx（a，bR）知 f（x）=2ax+b又 a0，故当 a=0 时，f（x）=若 b0 时，由 x0 得，f（x）0 恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+） ；若 b0，令 f（x）0 可得 x，即函数在（0，）上是减函数，在（，+）上是增函数

36、、所以函数的单调递减区间是（0，） ，单调递增区间是（，+） ，当 a0 时，令 f（x）=0，得 2ax2+bx1=0第 23 页（共 26 页）由于=b2+8a0，故有x2=，x1=显然有 x10，x20，故在区间（0，）上，导数小于 0，函数是减函数；在区间（，+）上，导数大于 0，函数是增函数综上，当 a=0，b0 时，函数的单调递减区间是（0，+） ；当 a=0，b0 时，函数的单调递减区间是（0，） ，单调递增区间是（，+） ；当 a0，函数的单调递减区间是（0，） ，单调递增区间是（，+）（）由题意，函数 f（x）在 x=1 处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故=1整

37、理得 2a+b=1，即 b=12a令 g（x）=24x+lnx，则 g（x）=令 g（x）=0 得 x=当 0x时，g（x）0，函数单调递增；当x+时，g（x）0，函数单调递减因为 g（x）g（）=1ln40故 g（a）0，即 24a+lna=2b+lna0，即 lna2b【点评】本题是函数与导数综合运用题，解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性及根据所比较的两个量的形式构造新函数利用最值建立不等式比较大小，本题考查了创新探究能力及转化化归的思想，本题综合性较强，所使用的方法具有典型性，题后应做好总结以备所用的方法在此类题的求解过程中使用第 24 页（共 26 页）22 （14 分）在平

38、面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在x 轴上，短轴长为 2，离心率为（）求椭圆 C 的方程（）A，B 为椭圆 C 上满足AOB 的面积为的任意两点，E 为线段 AB 的中点，射线 OE 交椭圆 C 与点 P，设，求实数 t 的值【分析】 （）设椭圆的标准方程为，焦距为 2c由题意可得，解出即可得到椭圆的方程（）由题意设直线 AB 的方程为 x=my+n，代入椭圆方程 x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n22=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点 O 到直线 AB 的距离，进而得到三角形 AOB 的面

39、积，利用即可得到 m，n，t 的关系，再利用，及中点坐标公式即可得到点 P 的坐标代入椭圆的方程可得到 m，n，t 的关系式与上面得到的关系式联立即可得出 t 的值【解答】解：（）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c则，解得，椭圆的方程为（）由题意设直线 AB 的方程为 x=my+n，代入椭圆方程 x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n22=0，则=4m2n24（m2+2） （n22）=4（2m2+42n2）0， （*）第 25 页（共 26 页），|AB|=原点 O 到直线 AB 的距离 d=，=，化为 （*）另一方面，=，xE=myE+n=，即 E，代入椭圆方程得，化为 n2t2=m2+2，代入（*）得，化为 3t416t2+16=0，解得t0，经验证满足（*） 当 ABx 轴时，设 A（u，v） ，B（u，v） ，E（0，v） ，P（0，1） （u0） 则，解得，或又，第 26 页（共 26 页）综上可得：【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、向量共线等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的能力及化归思想方法