2016年山东省高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 25 页）2016 年山东省高考数学试卷（文科）年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，每小题给出四个选项分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的中，只有一个是项符合题目要求的.1 （5 分）设集合 U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，则U（AB）=（ ）A2，6 B3，6 C1，3，4，5D1，2，4，62 （5 分）若复数 z=，其中 i 为虚数单位，则 =（ ）A1+i B1iC1+i D1i3 （5 分）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间

2、（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20） ，20，22.5） ，22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）A56B60C120 D1404 （5 分）若变量 x，y 满足，则 x2+y2的最大值是（ ）A4B9C10D125 （5 分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 25 页）A+B+ C+ D1+6 （5 分）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线 a

3、和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7 （5 分）已知圆 M：x2+y22ay=0（a0）截直线 x+y=0 所得线段的长度是2，则圆 M 与圆 N：（x1）2+（y1）2=1 的位置关系是（ ）A内切B相交C外切D相离8 （5 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1sinA） ，则 A=（ ）ABCD9 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R当 x0 时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x） ；当 x时，f（x+）=f（x） 则 f（6）=（ ）A2B1

4、C0D210 （5 分）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3第 3 页（共 25 页）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11 （5 分）执行如图的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 S 的值为 12 （5 分）观察下列等式：（sin）2+（sin）2=12；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=23；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（

5、）2=34；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=45；照此规律，（sin）2+（sin）2+（sin）2+（sin）2= 13 （5 分）已知向量 =（1，1） ， =（6，4） ，若 （t + ） ，则实数 t 的值为 14 （5 分）已知双曲线 E：=1（a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点第 4 页（共 25 页）在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 15 （5 分）已知函数 f（x）=，其中 m0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 三、解答题：

6、本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分16 （12 分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数记两次记录的数分别为 x，y奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动（）求小亮获得玩具的概率；（）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由17 （12 分）设 f（x）=2sin（x）sinx（sinxcosx）2（）求 f（x）的单调递增区间；（）把 y=f（x）的

7、图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（）的值18 （12 分）在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB（）已知 AB=BC，AE=EC，求证：ACFB；第 5 页（共 25 页）（）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH平面 ABC19 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn20 （13 分）设 f（x）=xln xax2+（2a1）x，aR（1）

8、令 g（x）=f（x） ，求 g（x）的单调区间；（2）已知 f（x）在 x=1 处取得极大值，求正实数 a 的取值范围21 （14 分）已知椭圆 的长轴长为 4，焦距为（）求椭圆 C 的方程；（）过动点 M（0，m） （m0）的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P（P 在第一象限） ，且 M 是线段 PN 的中点过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于点 B（）设直线 PM，QM 的斜率分别为 k1，k2，证明为定值；（）求直线 AB 的斜率的最小值第 6 页（共 25 页）第 7 页（共 25 页）2016 年山东省高考数学试卷（文科）年山东省高考数学

9、试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，每小题给出四个选项分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的中，只有一个是项符合题目要求的.1 （5 分）设集合 U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，则U（AB）=（ ）A2，6 B3，6 C1，3，4，5D1，2，4，6【分析】求出 A 与 B 的并集，然后求解补集即可【解答】解：集合 U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，B=3，4，5，则 AB=1，3，4，5U（AB）=2，6故选：A【点评】本题考查

10、集合的交、并、补的运算，考查计算能力2 （5 分）若复数 z=，其中 i 为虚数单位，则 =（ ）A1+i B1iC1+i D1i【分析】根据复数的四则运算先求出 z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可【解答】解：z=1+i， =1i，故选：B【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算以及共轭复数的定义是解决本题的关键比较基础3 （5 分）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20） ，20，22.5） ，22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30根据直方第 8

11、 页（共 25 页）图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）A56B60C120 D140【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于 22.5 小时的频率，进而可得自习时间不少于 22.5 小时的频数【解答】解：自习时间不少于 22.5 小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）2.5=0.7，故自习时间不少于 22.5 小时的频率为：0.7200=140，故选：D【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目4 （5 分）若变量 x，y 满足，则 x2+y2的最大值是（ ）A4B9C10D12【分析】由约束条件作出可行域

12、，然后结合 x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得 x2+y2的最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3） ，C（0，2） ，|OA|OC|，联立，解得 B（3，1） ，x2+y2的最大值是 10第 9 页（共 25 页）故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题5 （5 分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）A+B+ C+ D1+【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球

13、，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为 1，可得 2R=故 R=，故半球的体积为：=，棱锥的底面面积为：1，高为 1，第 10 页（共 25 页）故棱锥的体积 V=，故组合体的体积为：+，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键6 （5 分）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线 a 和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”“平

14、面 和平面 相交”，反之不成立【解答】解：直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”“平面 和平面 相交”，反之不成立“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题7 （5 分）已知圆 M：x2+y22ay=0（a0）截直线 x+y=0 所得线段的长度是2，则圆 M 与圆 N：（x1）2+（y1）2=1 的位置关系是（ ）A内切B相交C外切D相离【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出 a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可【解答】解：圆的标准方程为

15、 M：x2+（ya）2=a2 （a0） ，则圆心为（0，a） ，半径 R=a，第 11 页（共 25 页）圆心到直线 x+y=0 的距离 d=，圆 M：x2+y22ay=0（a0）截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2，2=2=2=2，即=，即 a2=4，a=2，则圆心为 M（0，2） ，半径 R=2，圆 N：（x1）2+（y1）2=1 的圆心为 N（1，1） ，半径 r=1，则 MN=，R+r=3，Rr=1，RrMNR+r，即两个圆相交故选：B【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出 a 的值是解决本题的关键8 （5 分）ABC 中，角 A，B，

16、C 的对边分别是 a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1sinA） ，则 A=（ ）ABCD【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到 1cosA=1sinA，即 sinA=cosA，进行求解即可【解答】解：b=c，a2=b2+c22bccosA=2b22b2cosA=2b2（1cosA） ，a2=2b2（1sinA） ，1cosA=1sinA，第 12 页（共 25 页）则 sinA=cosA，即 tanA=1，即 A=，故选：C【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键9 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R当 x0 时，f（x）=x31；当1x1时，

17、f（x）=f（x） ；当 x时，f（x+）=f（x） 则 f（6）=（ ）A2B1C0D2【分析】求得函数的周期为 1，再利用当1x1 时，f（x）=f（x） ，得到f（1）=f（1） ，当 x0 时，f（x）=x31，得到 f（1）=2，即可得出结论【解答】解：当 x时，f（x+）=f（x） ，当 x时，f（x+1）=f（x） ，即周期为 1f（6）=f（1） ，当1x1 时，f（x）=f（x） ，f（1）=f（1） ，当 x0 时，f（x）=x31，f（1）=2，f（1）=f（1）=2，f（6）=2故选：D【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题第 1

18、3 页（共 25 页）10 （5 分）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3【分析】若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，进而可得答案【解答】解：函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当 y=sinx 时，y=cosx，满足条件；当 y=

19、lnx 时，y=0 恒成立，不满足条件；当 y=ex时，y=ex0 恒成立，不满足条件；当 y=x3时，y=3x20 恒成立，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11 （5 分）执行如图的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 S 的值为 1 第 14 页（共 25 页）【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：若输入 n 的值为 3，则第一次循环，S=0+1=1，13 不成立，第二次循环，S=1+=1，23 不成立，第三次

20、循环，S=1+=1=21=1，33 成立，程序终止，输出 S=1，故答案为：1【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，进行模拟运算是解决本题的关键12 （5 分）观察下列等式：（sin）2+（sin）2=12；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=23；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=34；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=45；第 15 页（共 25 页）照此规律，（sin）2+（sin）2+（sin）2+（sin）2= n（n+1） 【分析】由题意可以直接得到答案【解答】解：观察下列等式：（sin）2+（sin）2=12；（

21、sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=23；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=34；（sin）2+（sin）2+（sin）2+sin（）2=45；照此规律（sin）2+（sin）2+（sin）2+（sin）2=n（n+1） ，故答案为：n（n+1）【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题13 （5 分）已知向量 =（1，1） ， =（6，4） ，若 （t + ） ，则实数 t 的值为 5 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可【解答】解：向量 =（1，1） ， =（6，4） ，t + =（t+6，t4） ， （t +

22、） ， （t + ）=t+6+t+4=0，解得 t=5，第 16 页（共 25 页）故答案为：5【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题14 （5 分）已知双曲线 E：=1（a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 2 【分析】可令 x=c，代入双曲线的方程，求得 y=，再由题意设出A，B，C，D 的坐标，由 2|AB|=3|BC|，可得 a，b，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：令 x=c，代入双曲线的方程可得 y=b=，由题意可设 A（c，）

23、，B（c，） ，C（c，） ，D（c，） ，由 2|AB|=3|BC|，可得2=32c，即为 2b2=3ac，由 b2=c2a2，e=，可得 2e23e2=0，解得 e=2（负的舍去） 故答案为：2【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题第 17 页（共 25 页）15 （5 分）已知函数 f（x）=，其中 m0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 （3，+） 【分析】作出函数 f（x）=的图象，依题意，可得4mm2m（m0） ，解之即可【解答】解：当 m

24、0 时，函数 f（x）=的图象如下：xm 时，f（x）=x22mx+4m=（xm）2+4mm24mm2，y 要使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，必须 4mm2m（m0） ，即 m23m（m0） ，解得 m3，m 的取值范围是（3，+） ，故答案为：（3，+） 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到 4mm2m 是难点，属于中档题第 18 页（共 25 页）三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分16 （12 分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，

25、待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数记两次记录的数分别为 x，y奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动（）求小亮获得玩具的概率；（）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由【分析】 （）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论【解答】解：（）两次记录的数为（1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ，（2，2） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4） ， （2，1） ， （3

26、，1） ， （4，1） ， （3，2） ，（3，3） ， （4，2） ， （4，3） ， （4，4） ，共 16 个，满足 xy3，有（1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ， （3，1） ，共 5 个，小亮获得玩具的概率为；（）满足 xy8， （2，4） ， （3，4） ， （4，2） ， （4，3） ， （3，3） ， （4，4）共 6个，小亮获得水杯的概率为；小亮获得饮料的概率为 1=，小亮获得水杯大于获得饮料的概率【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键第 19 页（共 25 页）17 （12 分）设 f（x）=2sin（x）sinx（si

27、nxcosx）2（）求 f（x）的单调递增区间；（）把 y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（）的值【分析】 （）利用三角恒等变换化简 f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间（）利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，从而求得 g（）的值【解答】解：（）f（x）=2sin（x）sinx（sinxcosx）2 =2sin2x1+sin2x=21+sin2x=sin2xcos2x+1=2sin（2x）+1，令 2k2x2k+，求得 kxk+，可得函

28、数的增区间为k，k+，kZ（）把 y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，可得 y=2sin（x）+1 的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数 y=g（x）=2sinx+1 的图象，g（）=2sin+1=【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题18 （12 分）在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB（）已知 AB=BC，AE=EC，求证：ACFB；（）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH平面 ABC第 20 页（共 25 页）【分析】 （）由条件利

29、用等腰三角形的性质，证得 BDAC，EDAC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得 AC平面 EFBD，从而证得 ACFB（）再取 CF 的中点 O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG平面ABC，OH平面 ABC，可得平面 OGH平面 ABC，从而证得 GH平面 ABC【解答】 （）证明：如图所示，D 是 AC 的中点，AB=BC，AE=EC，BAC、EAC 都是等腰三角形，BDAC，EDACEFDB，E、F、B、D 四点共面，这样，AC 垂直于平面 EFBD 内的两条相交直线 ED、BD，AC平面 EFBD显然，FB平面 EFBD，ACFB（）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，

30、再取 CF 的中点 O，则 OGEF，又EFDB，故有 OGBD，而 BD平面 ABC，OG平面 ABC同理，OHBC，而 BC平面 ABC，OH平面 ABCOGOH=O，平面 OGH平面 ABC，GH平面 ABC第 21 页（共 25 页）【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题19 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn【分析】 （）求出数列an的通项公式，再求数列bn的通项公式；（）求出数列cn的通项，利用错位相

31、减法求数列cn的前 n 项和 Tn【解答】解：（）Sn=3n2+8n，n2 时，an=SnSn1=6n+5，n=1 时，a1=S1=11，an=6n+5；an=bn+bn+1，an1=bn1+bn，anan1=bn+1bn12d=6，d=3，a1=b1+b2，11=2b1+3，第 22 页（共 25 页）b1=4，bn=4+3（n1）=3n+1；（）cn=6（n+1）2n，Tn=622+322+（n+1）2n，2Tn=6222+323+n2n+（n+1）2n+1，可得Tn=622+22+23+2n（n+1）2n+1=12+66（n+1）2n+1=（6n）2n+1=3n2n+2，Tn=3n2n+

32、2【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题20 （13 分）设 f（x）=xln xax2+（2a1）x，aR（1）令 g（x）=f（x） ，求 g（x）的单调区间；（2）已知 f（x）在 x=1 处取得极大值，求正实数 a 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数 g（x）的单调区间即可；（2）通过讨论 a 的范围，得到函数 f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出 a 的范围即可【解答】解：（1）由 f（x）=ln x2ax+2a，可得 g（x）=ln x2ax+2a，x（0，+） ，第 2

33、3 页（共 25 页）所以 g（x）=2a=，当 a0，x（0，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增；当 a0，x（0，）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增，x（，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减所以当 a0 时，g（x）的单调增区间为（0，+） ；当 a0 时，g（x）的单调增区间为（0，） ，单调减区间为（，+） （6 分）（2）由（1）知，f（1）=0当 0a时，1，由（1）知 f（x）在（0，）内单调递增，可得当 x（0，1）时，f（x）0，当 x（1，）时，f（x）0所以 f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，所以 f（x）在 x=1 处取得极小值

34、，不合题意当 a=时，=1，f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内单调递减，所以当 x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，不合题意当 a时，01，当 x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减所以 f（x）在 x=1 处取极大值，符合题意综上可知，正实数 a 的取值范围为（，+） （12 分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题21 （14 分）已知椭圆 的长轴长为 4，焦距为（）求椭圆 C 的方程；（）过动点 M（0，m） （m0）的直线交 x 轴与点 N，交 C 于

35、点 A，P（P 在第 24 页（共 25 页）第一象限） ，且 M 是线段 PN 的中点过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于点 B（）设直线 PM，QM 的斜率分别为 k1，k2，证明为定值；（）求直线 AB 的斜率的最小值【分析】 （）结合题意分别求出 a，c 的值，再求出 b 的值，求出椭圆方程即可；（） （i）设出 P 的坐标，表示出直线 PM，QM 的斜率，作比即可；（ii）设出 A，B 的坐标，分别求出 PA，QB 的方程，联立方程组，求出直线 AB的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可【解答】解：（）设椭圆的半焦距为 c由题意知，所以所以椭圆 C

36、 的方程为（）证明：（）设 P（x0，y0） （x00，y00） ，由 M（0，m） ，可得 P（x0，2m） ，Q（x0，2m） 所以直线 PM 的斜率 k1=，直线 QM 的斜率 k2=，此时=3所以为定值3（）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 直线 PA 的方程为 y=kx+m，直线 QB 的方程为 y=3kx+m联立 整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m24=0第 25 页（共 25 页）由，可得，所以同理所以，所以由 m0，x00，可知 k0，所以，等号当且仅当时取得，此时，即，所以直线 AB 的斜率的最小值为【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题