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1、直接证明一综合法与分析法教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分 析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们 的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点教学过程：学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中 的两大基本证明方法直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已矢口 a, b0,求证 a(b2 +c2) + Z?(c2
2、 +a2) 4abc教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式 证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明：因为+/ 2bc,a0,例5、设a、b是两个正实数,且aWb,求证：a3+b3a2b+ab2.证明：(用分析法思路书写)要证 a+baZb+ab?成立，只需证(a+b) (a2-ab+b2) ab (a+b)成立，即需证 a2-ab+b2 ab 成立。(a+b 0)只需证a2_2ab+b20成立，即需证(a-b)20成立。而由已知条件可知，aWb,有a-bWO,所以(a
3、-b)20显然成立，由此 命题得证。(以下用综合法思路书写) aWb,bWO, A (a-b)20, BP a2-2ab+b20亦即 a2-ab+b2ab由题设条件知，a+b0, A (a+b) (a2-ab+b2) (a+b) ab即a3+b3a2b+ab由此命题得证.所以 a(b2 + c2) 2abc,因为+“2 2ac,b0,所以 b(c2 +a2) 2abc.因此，a(lcr + c2) + bc + 2) 4abc.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论1.综合法综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理) 和不等式的性质推导出所要证明
4、的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：(PnQjf(2=。3)一.-(Q=2)综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、 性质和公式，推出结论的一种证明方法12 3c11 abba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：I)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设。2人。从而原不等式得证。 / 6Z - Z? 0 . aabb - abba = abbh aa-b - ba-b) 02)商值比较法：设 -Va-b 半=(-)a-b 1 .故原不等式得证。ba b b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用
5、比较法证明不等 式的步骤是：作差(或作商)、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉光这一限制条件，要求证的结论如何变换？2.分析法证明数学命题时，还经常从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立 的充分条件。分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式 成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定 这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：(Qu/f) -ug).-CiUG-优 uP)分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题用为真，从而有这只需要证明命题当为
6、真，从而又有这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真例3、求证6 + 772君证明：因为6 +V7和2店都是正数，所以为了证明百+ S2/只需证明(6 + V7)2(2右)2展开得 10+ 2亚20即 2万 10,21 25因为2125成立，所以(6+ J7)2 (2石产成立即证明了 6 + V7 2a/5说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综 合法是对立统一的两种方法分析法论证“若/则夕这个命题的模式是：为了证明命题6为真，这只需要证明命题名为真，从而有这只需要证明命题民为真，从而又有这只需要证明命题/为真而已知/为真，故8必真在本例中，如果我们从“212
7、5 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证 出结论。但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条 件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件, 得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立.下面来看一 个例子.例4已知版 +工(ZeZ),且sin 0+cos 夕=2 sin asin 0cos。= sin? 4十 1-tan- a 1 - tan B求证： 7 = Zo1 + tan a 2(1 + tan /?)分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角6,因此第一步工
8、作可 以从已知条件中消去凡观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系 (sine + cosg)2 -2sincose = l,于是，由 之一 2X 得4sin2a-2sin? = 1 .把2sii?/ = l与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转 化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论转化为 cos2 a-sin2 a = （cr?s2 /?-sin2 /7）,再与 4sin2 6r-2sin2 3 = 1 比较，发现只要把 cos2 a-sin2 cr = （?s2 /7-sin2 /3）中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.证明：因为6皿。+ 8$。
9、）2-25缶%0$。= 1,所以将代入，可得4sin2(7-2sin2 0 = 1.另一方面要证三黑装磊1-即证一1 +sin2 a j_ cos2 a -sin2 pcos2。sin a i sin。、 2(1 + /) cos a cos pBPiiEcf?s2 6/-sin2 a = (s2 /?-sin2 /?), 即证l-Zsin? a =i(l-2sin2/3),即证4sin2 a 2sin2，= 1。由于上式与相同，于是问题得证。例5证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截
10、面面积的大小，设截面的周长为乙则周长为/的圆的半径为截面积为工（三）2；周长为的正方 227r形边长为自，截面积为止了所以本题只需证明%（三产 心了442ti 4证明：设截面的周长为乙依题意，截面是圆的水管的截面面积为7（）2, 2万截面是正方形的水管的截面面积为A?,所以本题只需证明（卫尸 占）2 424W2 2为了证明上式成立，只需证明-两边同乘以正数之，得1714因此，只需证明4不上式是成立的，所以（三）2已）22万4这就证明了，通过水管放水，当流速相同时一，如果水管截面的周长相等，那 么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，
11、通常用 分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合 在一起使用的1、求证a1 +后+ c2 + Z? + c)2、AABC中，已知弘=2/5asin A 且 cos 3 = cos C 求证：AA5C为等边三角形*3、a,dc为AABC的三内角的对应边十 口口 aA + bB + cC n试证明: 6abc证明：: b + c2 226G a0,/. a(b2 +c2) 2abc同理从* + a1)、2abec(a2 +b2) 2abc(3)因为a, b, c不全相等，所以/+02/+/22ca, a2 +b2 2ab 三式不能全取“二”号，从而、三式也不能全取“二
12、”号 a(b- + c2)+ b(c2 + a?) + c(2 + b2) 6cibc例2、已知a, b,。都是正数，且a, b, c成等比数列，求证：a2 +b2 +c2 (a-h + c)2证明： 左一右二2 Qabbc- ac).a, b, c成等比数列,/. b2 = ac又& b,。都是正数，所以=5 0 Q2 + Z? + 02 (q Z7 + C)-例 3、若实数 xwl,求证：3(l + x2 +x4) (1 + x + x2)2.证明：采用差值比较法：3(1 + %2 +) (1 + X + 产=3 + 3%2 + 3 1 %2 %4 2% 2x - 2x= 2(x4 -x3
13、 -x+1)= 2(x-l)2(x2 +x + l)91 9 3= 2(1)2 ()2 +24I 7X W 1,从而(X 1)2 0,且(X H)2 H 0,24o 1 o 3/. 2(x 1) (% + ) + - 0, r3(1 + x2+x4)(1 + x + x2)2.例 4、已知 a, b, c, dR,求证：ac+bdW/(Y +。2)匕2 +屋)分析一:用分析法证法一：当aNbdWQ时，显然成立(2)当aLbd0时,欲证原不等式成立，只需证(a次她 W (才+/)(1+,)即证 M3+2abc#甘dW/g+Md+白4+Kd即证 2abedW 片d即证0W (历-a中2因为a, & c, dR,所以上式恒成立，综合(1)、(2)可知：原不等式成立分析二:用综合法证法二：(a2+Z?2) (c+d)=ac+a(/+Ij c +Z?2 d- a c+2abcd+Ij(/) + (Z?2 c2abc(ha d-(ac-bd) 2+ (bc-ad)?、(ac+bd)2yl(a2 +Z72)(c2 +d2) 2 | ac+bd ac+bd故命题得证分析三:用比较法证法三：:(才+为(/+/) (&3圮)2=( 8上初220,(4+为(/+/). (acbd)yj(a2 +b2)(c2 +d2) 2 | acbd ac+bd,即 ac+bd yl(a2 +Z?2)(c2 +d2)