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1、 直 接 证 明-综 合 法 与 分 析 法(总 6 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-2 2.2.1 直接证明-综合法与分析法 1教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法:多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。2教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点 3教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点 4教具准备：与教材内容相关的资料。5教学设想：
2、分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。6教学过程:学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已知 a,b0,求证2222()()4a bcb caabc 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为222,0bcbc a,所以22()2a bcabc
3、,因为222,0caac b,所以22()2b caabc.因此,2222()()4a bcb caabc.P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论 1.综合法 综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是：3 11223().nPQQQQQQQ 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 例 1、在ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为,a b c,且 A,B,C 成等差数列,a b
4、 c成等比数列,求证ABC 为等边三角形.分析：将 A,B,C 成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C;A,B,C为ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是 A+B+C=；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是2bac此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理为工具进行证明 证明：由 A,B,C 成等差数列，有 2B=A+C 因为 A,B,C 为ABC 的内角，所以 A+B+C=由，得 B=3.由 a,b，c成等比数列，有2bac.由余弦定理及，可得 222222cosbacacBacac.
5、再由，得22acacac.2()0ac,因此ac.从而 A=C.由，得 A=B=C=3.所以ABC 为等边三角形 解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来 例 2、已知,Rba求证.abbababa 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0 ba 0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。2）商值比较法：设,0 ba,0,1baba.1)(baabbabababa故原不等式得证。注：比较法是证明
6、不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉1x这一限制条件，要求证的结论如何变换？2.分析法 4 证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，明尸 2 成立，再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等）为止乞，再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2；为了证 直到找到一个明显成立的条件（已知条即使 Q 成立的充分条件尸 1 为了证明尸 1 成立，分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能
7、够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法 用分析法证明不等式的逻辑关系是：1121().()nnnQPPPPPPP 分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式：要证明命题 B为真，只需要证明命题1B为真，从而有 这只需要证明命题2B为真，从而又有 这只需要证明命题 A为真 而已知 A为真，故命题 B必为真 例 3、求证5273 证明：因为5273和都是正数，所以为了证明5273 只需证明22)52()73(展开得 2021210 即 2521,10212 因为2521 成立，所以 22)52()73(成立 5 即证明了5273 说明：分析法是“执果索因”，步步
8、寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法 分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真 在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“210 时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证 2abcdb2c2+a2d2 即证 0(bc-ad)2 因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,综合(1)、
9、(2)可知:原不等式成立 分析二:用综合法 证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)9=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2)(2222dcba|ac+bd|ac+bd 故命题得证 分析三:用比较法 证法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2)(2222dcba|ac+bd|ac+bd,即ac+bd)(2222dcba 例 5、设 a、b 是两个正实数，且 ab，求证：a3+b3a2b+ab2 证明：(用分析法思路书写)要证 a3+b3a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立，即需证 a2-ab+b2ab 成立。(a+b0)只需证 a2-2ab+b20 成立，即需证(a-b)20 成立。而由已知条件可知，ab，有 a-b0，所以(a-b)20 显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)ab，a-b0，(a-b)20，即 a2-2ab+b20 亦即 a2-ab+b2ab 由题设条件知，a+b0，(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab 即 a3+b3a2b+ab2，由此命题得证.