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1、直接证明.综合法与分析法1 .教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题 和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。2 .教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3 .教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4 .教具准备：与教材内容相关的资料。5 .教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形是解题的关键，是最重一 步。因式分解、配方、凑成假设干个平方和等是“变形的常用方法。6 .教学过程
2、：学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本 证明方法直接证明与间接证明。假设要证明以下问题：a,b0,求证 a(b2 + c2) + Z?(c2 +a2) 4abe教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师 最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为 +c2 2hc,a 0,所以 a(b2 + c2) 2abc,因为，+a2 lac,b 0,所以 b(c2 +a2) 2abc.因此,a(b2 +c2) + b(c2 +
3、a2 ) 4abc.P表示条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论1.综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式 的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法.用综合法证明不等式的逻辑关系是：(PnQj-(0-2)-(2=。)综合法的思维特点是：由因导果，即由条件出发，利用的数学定理、性质和公式，推出 结论的一种证明方法.例1、在AABC中，三个内角A, B, C的对边分别为，4c,且A, B, C成等差数列，a,b,c成 等比数列，求证AABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A + C; A,B,
4、C为AABC的 内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C=； a, b, c成等比数列，转化为 符号语言就是。2=c.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之 间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具 进行证明.证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A + C .因为A,B,C为AABC的内角，所以A + B + C=. 7T由,得B二一.3由a, b, c成等比数列，有2=qc.由余弦定理及，可得Z72 + c 2ac cos B a? + c2 cic.再由，+c2 -ac = ac.(a c)2 = 0,因此=c.
5、从而A=C.由，得71A=B=C= . 3所以AABC为等边三角形.解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语 言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.例2、a,bR+,求证优状NaW.此题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于力对称，不妨设2().V tz-Z? 0,7/,从而原不等式得证。. aabb -abba = abbaa-b-ba-b) 02)商值比较法：设幺21,一匕20,毕 = (3)“一 21.故原不等式得证。baba b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要
6、的方法。用比较法证明不等式的步骤是: 作差(或作商)、变形、判断符号。讨论：假设题设中去掉XW1这一限制条件，要求证的结论如何变换？2.分析法证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反推回去，寻求保证Q成立的条件, 明尸2成立，再去寻求尸2成立的充分条件尸3件、定理、定义、公理等)为止.乞， 再去寻求尸1成立的充分条件尸2 ；为了证直到找到一个明显成立的条件条即 使Q成立的充分条件尸1.为了证明尸1成立，分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件, 把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么 就可以断定原不等式成立，这种
7、方法叫做分析法.用分析法证明不等式的逻辑关系是：(Quq) CiUC)-0UP)分析法的思维特点是：执果索因.分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题用为真，从而有这只需耍证明命题层为真，从而又有这只需要证明命题A为真.而A为真，故命题B必为真.例3、求证J7 145证明：因为百+ J7和2遍都是正数，所以为了证明g +J72J5只需证明(、回+ J7)2 (2石)2展开得 10+ 2亚20即 2万 10,21 25因为2125成立，所以(6 + 77)2 (2遍成立即证明了6 +J72J5说明：分析法是“执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立 统一的两种方法.分析
8、法论证“假设4那么 这个命题的模式是：为了证明命题为真，这只需要证明命题3为真，从而有这只需要证明命题笈为真，从而又有这只需要证明命题4为真而/为真，故方必真在本例中，如果我们从“2125 出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但 由于我们很难想到从“2125入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特 点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.假 设由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立.下面来看一个例子.7T例 4，W %二 + 5 (% Z),且sin 0+cos = 2 sin。sin
9、0 cos = sin2/7 4十 1-tan2 a 1-tan*- B求证： 彳=Z O1 + tair a 2(1 + tan2分析：比较条件和结论，发现结论中没有出现角9,因此第一步工作可以从条件中消去 仇观察条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系(sine + cos0)2-2sin9cos6 = l,于是,由之一 2X得4sh?a 2siT?/ = l .把441?。2sir?/ = l与结论相比较，发现角 相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正(余弦 函数.把结论转化为 cos2 a-sm2 cr = (c?s2 /?-sin2 万),再与 4sin
10、2 6r-2sin2 = 1 比 较，发现只要把cos?。sin2a =(cos2/ sir?/?)中的角的余弦转化为正弦，就能达到 目的.证明：因为(sine + cos9)22sinecos V2(6z + b + c)2、AABC中，已知3b = 2A/5sinB,且 cosB = cosC 求证：AABC为等边三角形*3、力、为AA5C的三内角的对应边aA + bB + cC tc试证明: 6abc证明：+。22尻,0,A a(b2 + c2)2abe同理 Z?(c2 + a2) 2abcc(a2 + b2) 2ahc因为a, b, c不全相等，所以/72+02三2。, c2 + a1
11、 2ca. /f8222ab三式不能全 取一号，从而、三式也不能全取“=号.a(Z?2 + c2) + a?)+ c(a- + b2) 6abe例2、a, b, c都是正数，且m b, c成等比数列，求证：a1 +b2 + c2 (a b + c)2证明：左一右=2 ab+bcac- a, b, c成等比数列，=ac又Z, 4 c都是正数，所以0人=疝或b2(ab + be- ac) = 2(ab + bc-b2) = 2b(a + c-Z?) 0:+ Z72 + / (a b +例 3、假设实数 xwl,求证：3(1 + x2+x4)(1 + x + x2)2.证明：采用差值比较法：3(1
12、+ %2 + x4) (1 + x + x2)2-3 + 3%2 + 3x4 1 x2 xt 2x 2%2 2/= 2(x4 -丁 -% +1)= 2(x-l)2(x2 +x+l)91 9 3二 2(X-1)2 + 力2+ 2413不。1,从而(工一1)20,且(x + )2 + 0,4,91 9 3 2(x-1)2(x + -)2+-0, 24/. 3(1 +，+x4) (1 + x + x2)2.例 4、a.b.c,d R,求证:c+/?dW yl(a2 +b2)(c2 +d2)分析一:用分析法证法一：(1)当acbdWG时，显然成立.(2)当acbd0时，欲证原不等式成立，只需证(ac+
13、b中W (才+为(/+/)即证 a c +2abc#bdac +3/+/c +bd即证 2abcdbzca d即证bc-ad)2因为a, 6, c, dR,所以上式恒成立，综合(1)、(2)可知：原不等式成立.分析二:用综合法证法二：(才+/) (/+/)=#cd- a c 2 a be ch- /) + (水 c-2abccha d)-(adbd) 2+ (bo-ad)力(adbd)2/. yl(a2 +Z72)(c2 +d2)| ac+bd acbd.故命题得证.分析三:用比较法证法三:丁(才+炉)(/+/)-(ac+痴前eO,，(才+)(+(/) 2 kaGbdf/. J(/ +/?2)(a2b+ab2.证明：(用分析法思路书写)要证 a+bAa+ab?成立，只需证(a+b) (a2-ab+b2) ab (a+b)成立,即需证 a2-ab+bJab 成立。(a+b。)只需证a2-2ab+b20成立，即需证(a-b)20成立。而由条件可知，aWb,有a-bWO,所以(a-b)?0显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)Vab, Aa-bO, A (a-b)20, BP a2-2ab+b20亦即 a2-ab+b2ab由题设条件知，a+b0,(a+b) (a2-ab+b2) (a+b) ab即a3+b3a2b+ab2,由此命题得证.