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1、吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式高 等 数 学 公 式考前必备平方关系：平方关系：sin2()+cos2()=1tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()积的关系：积的关系：sin=tan*coscos=cot*sintan=sin*seccot=cos*cscsec=tan*csccsc=sec*cot倒数关系：倒数关系：tancot=1sincsc=1cossec=1直角三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边,余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边,两角和与差的三角函数：两角和与差的三角函数：cos(+)=coscos-sinsin
2、cos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)第第 1 1 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式三角和的三角函数：三角和的三角函数：sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-ta
3、ntan-tantan-tantan)辅助角公式：辅助角公式：Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B倍角公式：倍角公式：sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()三倍角公式三倍角公式sin(3)=3sin-4sin3()cos(3)=4cos3()-3cos半角公式：半角公式
4、：sin(/2)=(1-cos)/2)cos(/2)=(1+cos)/2)tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin降幂公式降幂公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)万能公式：万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)第第 2 2 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi y
5、u吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式积化和差公式：积化和差公式：sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和差化积公式：和差化积公式：sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2推导公式推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21
6、-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2三角函数的角度换算三角函数的角度换算公式一：公式一：设设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：公式二：设设 为任意角，+为任意角，+的三角函数值与的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot第第 3 3 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公
7、式公式三：公式三：任意角任意角 与与-的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：公式四：利用公式二和公式三可以得到利用公式二和公式三可以得到 -与与 的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：公式五：利用公式一和公式三可以得到利用公式一和公式三可以得到 22-与与 的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：公式六：/2/2 及及 3/23/2 与与 的三角
8、函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）cos第第 4 4 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式cos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上 kZ)高 等 数 学式第第 5 5 页页2121 页页zhang zhi yuzhang
9、zhi yu公共共吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式(tgx)sec2x(arcsinx)1(ctgx)csc2x1 x2(secx)secxtgx(arccosx)1(cscx)cscxctgx1 x21(ax)axlna(arctgx)1 x2(logax)1xlna(arcctgx)11 x2导数公式：导数公式：tgxdx lncosx Cctgxdx lnsinx Cdxcos2xsec2xdxtgxCsecxdx lnsecxtgx Cdxcsc2sin2xxdx ctgxCcscxdx lncscxctgx Csecxtgx dx secxCdx1xcscxctgxdx cs
10、cxCa2 x2aarctgaCaxdxaxdx1xalnaCx2a22alnxaCshxdxchxCdx1a xa2 x22alna xCchxdxshxCdxa2 x2 arcsinxaCdx2 ln(xx2a2)Cxa222Innsin xdx cosnxdx n100nIn2x2a2dx x2x2a2a22ln(xx2a2)Cx a dx x2222x2a2a2ln xx2a2Ca2 x2dx x2a2 x2a22arcsinxaC基本积分表：基本积分表：第第 6 6 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式三角函数
11、的有理式积分：三角函数的有理式积分：2u1u2x2dusin x，cosx，u tg，dx 22221u1u1u一些初等函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限：exex双曲正弦:shx 2exex双曲余弦:chx 2shxexex双曲正切:thx chxexexarshx ln(xx21）archx ln(xx21)11 xarthx ln21 x三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：诱导公式：函数角 A-90-90+180-270-360-sin xlim1x0 x1lim(1)x e 2.718281828459045.xxsin-sincoscossincoscossin-sin
12、tg-tgctgctg-ctgtg-ctgctgtg-ctgctg-ctg-tg-cos-tg-costgctg-tgtg180+-sin-cos-sin-sincoscos270+-cossin360+sin-ctg-tg第第 7 7 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式sinsin 2sin和差角公式：和差角公式：和差化积公式：和差化积公式：sin()sincoscossincos()coscossinsin22costg()tgtg1tgtgctg()ctgctg1ctgctgsinsin 2cos2sin2cos
13、cos 2cos2cos2coscos 2sin2sin2第第 8 8 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式倍角公式：倍角公式：弧微分公式：ds1 y2dx,其中y tgsin2 2sincos平均曲率：K2.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM3弧长。222sin33sin4sinscos2 2cos112sin cossin3cos3 4cos3cosctg21ydctg2M点的曲率：K lim.32ctg3tgtgs0s23ds(1 y)tg313tg22tgtg2K 0;2直线：1tg1半径为a的圆：K
14、.a半角公式：半角公式：sintg2 1cos1coscos 2221cos1cossin1cos1cossinctg 1cossin1cos21cossin1cosabc 2R余弦定理：余弦定理：c2 a2b22abcosCsin AsinBsinC2正弦定理：正弦定理：反三角函数性质：反三角函数性质：arcsinx 2arccosxarctgx 2arcctgx高阶导数公式莱布尼兹（高阶导数公式莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式：(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk 1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!
15、k!中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：曲率：定积分的近似计算：定积分的近似计算：当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。第第 9 9 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yub吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式矩形法：f(x)abba(y0 y1 yn1)nba 1(y0 yn)y1 yn1n2ba(y0 yn)2(y2 y4 yn2)4(y1 y3 yn1)3n梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：定积分应用
16、相关公式：功：W F s水压力：F p Am m引力：F k122,k为引力系数rb1函数的平均值：y f(x)dxbaa12均方根：f(t)dtbaa空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：b空间2点的距离：dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABAB cos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1 Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosaxbxaybyazbzaxayazbxbybz222222icabaxbxjaybykaz,cabsin.例：线速度：vwr.bzaaybycya
17、zbzabccos,为锐角时，czx向量的混合积：abc (ab)cbxcx代表平行六面体的体积。第第 1010 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD 03、截距世方程：平面的方程：xayz 1bcAx0By0Cz0DA2B2C2xx0mtt,其中s m,n,p;参数方程：yy0ntzzpt0平面外任意一点到该平面的距离：d空间直线的方程：二次曲面：xx0yy0zz0mnpx2y2z21、椭球面：2
18、22 1abcx2y22、抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：222 1abcx2y2z2双叶双曲面：222（马鞍面）1abc多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用第第 1111 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式全微分：dz zxdxzuuuydydu xdxydyzdz全微分的近似计算：z dz fx(x,y)x fy(x,y)y多元复合函数的求导法：z fu(t),v(t)dzdtz uz vutvtz fu(x,y),v(x,y)zz uz vx uxvx当u u(x,y)，
19、v v(x,y)时，du uuvvxdxydydv xdxydy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y)0，dyFxd2yFFdydx F，2(x)(x)ydxxFyyFydx隐函数F(x,y,z)0，zFxzFyx F，zyFzF隐函数方程组：(x,y,u,v)0FFv(x,y,u,v)0(F,G)uGJ(u,v)GFuFvGGuGvuvu1(F,G)v1(F,x J(x,v)x JG)(u,x)u1(F,G)v1(Fy J(y,v)y J,G)(u,y)微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：第第 1212 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林
20、大学高数高数复习复习公式公式x(t)x xy y0z z0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t0)(t0)(t0)z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(x x0)(t0)(y y0)(t0)(z z0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T,GGGxGGG(x,y,z)0yzzx曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x x0y y0z z03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0
21、,y0,z0)方向导数与梯度：方向导数与梯度：FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x x0)Fy(x0,y0,z0)(y y0)Fz(x0,y0,z0)(z z0)0fff函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ff函数z f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)i jxyf它与方向导数的关系是：grad f(x,y)e，其中e cosi sin j，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)fy(
22、x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)CA 0,(x0,y0)为极大值2AC B 0时，A 0,(x0,y0)为极小值2则：值AC B 0时，无极AC B2 0时,不确定重积分及其应用：重积分及其应用：第第 1313 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式 z z 1 dxdyxy22f(x,y)dxdy f(rcos,rsin)rdrdDD曲面z f(x,y)的面积AD平面薄片的重心：x MxMx(x,y)dD(x,y)dDD,y MyMy(x,y)dD(x,y)dDD平
23、面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F Fx,Fy,Fz，其中：Fx fD(x,y)xd(x y a)2222，Fy f3D(x,y)yd(x y a)2222，Fz fa3D(x,y)xd(x y a)22322柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：x rcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz F(r,z)rdrddz,y rsin,z z其中：F(r,z)f(rcos,rsin,z)x rsincos2球面坐标：y rsinsin，dv rdrsinddr r sind
24、rddz rcos2r(,)2F(r,)r sindr0f(x,y,z)dxdydz F(r,)r sindrdddd002重心：x 1Mxdv,y 1Mydv,z 1Mzdv，其中M x dv转动惯量：Ix(y2 z2)dv，Iy(x2 z2)dv，Iz(x2 y2)dv曲线积分：曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t),则：y(t)L x tf(x,y)ds f(t),(t)2(t)2(t)dt()特殊情况：y(t)第第 1414 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复
25、习复习公式公式第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：()dxdy PdxQdy格林公式：()dxdy PdxQdyxyxyDLDLQP1当P y,Q x，即：2时，得到D的面积：Adxdy xdy ydxxy2LD平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意
26、方向相反！二元函数的全微分求积：QP在时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇点，如(0,0)，应xyu(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0 y0 0。曲面积分：曲面积分：22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx,y,z(x,y)1 z(x,y)zxy(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy，其中：号；R(x,y,z)dxdy Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正Dxy号；P(x,y,z)dydz Px(y,z),y,zdy
27、dz，取曲面的前侧时取正DyzQ(x,y,z)dzdx Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdx Rdxdy(PcosQcos Rcos)ds高斯公式：高斯公式：第第 1515 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式(PQR)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy(PcosQcos Rcos)dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：divPQRx,即：单位体积内所产生 的流体质量，若通量：Ayznds Ands(PcosQcos Rcos)ds，因此
28、，高斯公式又可写 成：divAdv Ands斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(RyQz)dydz(PzRx)dzdx(QxPy)dxdy PdxQdy Rdzdydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzyzPQRxPQR空间曲线积分与路径无关的条件：RQPRQyz，zx，xPy旋度：rotAijkxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdy Rdz Atds常数项级数：常数项级数：等比数列：1qq2qn11qn1q等差数列：123n(n1)n2调和级数：112131n是发散的级数审敛法：级数审敛法：第第 1616 页页
29、共共2121 页页div 0,则为消失.zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理：unun1如果交错级数满足s u1,其余项rn的绝对值rnun1。limu 0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收
30、敛：(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1 u2 u3 un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp 1时收敛幂级数：幂级数：第第 1717 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式1x 1时，收敛于1 x1 x x2 x3 xnx 1时，发散对于级数(3)a0a1x a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x R时
31、发散，其中R称为收敛半径。x R时不定1 0时，R a求收敛半径的方法：设limn1，其中an，an1是(3)的系数，则 0时，R nan 时，R 0函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(x x0)(x x0)(x x0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(x x0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn 0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx0 0时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xx x 2!n!一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：m(m1)2m(m1)(mn1)nx x(1 x 1)
32、2!n!2n1x3x5xsinx x(1)n1(x )3!5!(2n1)!(1 x)m1mx欧拉公式：欧拉公式：eixeixcosx 2eix cosxisinx或ixixsinx e e2三角级数：三角级数：第第 1818 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式a0f(t)A0Ansin(nt n)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0 aA0，an Ansinn，bn Ancosn，t x。正交性：1,sin x,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在,上的积分0。傅
33、立叶级数：傅立叶级数：a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期 22n11(n 0,1,2)anf(x)cosnxdx其中b 1f(x)sinnxdx(n 1,2,3)n112122835111222224246正弦级数：an 0，bn余弦级数：bn 0，an11121222（相加）623411121222（相减）12234f(x)sinnxdxn 1,2,3f(x)b02nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdxn 0,1,2f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为周期为2l的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数：第第 1919 页页共共2121 页页zhang zh
34、i yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y f(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy f(x)dx的形式，解法：g(y)dy f(x)dx得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyy f(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则u x，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：dy1、一阶线性微分方程：P(x
35、)y Q(x)dx P(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，y Ce当Q(x)0时，为非齐次方程，y (Q(x)edy2、贝努力方程：P(x)y Q(x)yn，(n 0,1)dx全微分方程：全微分方程：P(x)dxdxC)e P(x)dx如果P(x,y)dxQ(x,y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy 0，其中：P(x,y)，Q(x,y)xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：二阶微分方程：f(x)0时为齐次d2ydy P(x)Q(x)y f(x)，2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶
36、常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y pyqy 0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2 pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：第第 2020 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu吉林大学吉林大学高数高数复习复习公式公式(*)式的通解r1，r2的形式两个不相等实根(p 4q 0)2y c1er1xc2er2xy (c1c2x)er1xy ex(c1cosxc2sinx)两个相等实根(p 4q 0)2一对共轭复根(p 4q 0)2r1i，r2i4q p2p，22二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程y py qyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx型第第 2121 页页共共2121 页页zhang zhi yuzhang zhi yu