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1、求定义域的原则(1)分母0,(2)偶次根号下0,(3)真数0,（4）arcsinx 和 arccosx 中,-1x1.极限存在充要条件xx0lim f(x)f(x00)和f(x00)都存在，且f(x00)=f(x00).sin x11或lim xsin1x0 xxx1两个重要极限1lim1x2lim(1)e或lim(1 x)x exx0 xxx sin x arcsinx tan x arctanx e 1 ln(1 x)常见等价无穷小x21cosx，(1 x)1x2函数f(x)在点x0连续的充要条件f(x00)f(x00)f(x0)间断点的分类第一类间断点：函数f(x)在点x0的左右极限都存
2、在。f(x00)f(x00)时称为跳跃间断点，f(x00)f(x00)f(x0)时称为可去间断点。第二类间断点：非第一类间断点。包括振荡间断点和无穷间断点（lim f(x),lim f(x),lim f(x)）初等函数的连续性：一切初等函数在定义域区间内是连续函数最值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在闭区间a,b上一定有最大值和最小值。介值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)，则不论 C 是介于f(a)和f(b)之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()C(a b)零点定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f
3、(b)异号，即f(a)f(b)0，则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()0导数的定义f(x0)lim导数的几何意义f(x0 x)f(x0)y limx0 xx0 xy f(x)在点x处 导数f(x)表示曲线的y f(x)在点M(x,f(x)处的切线的斜率y f(x)在点M(x0,y0)处的切线和法线方程分别是：y y0 f(x0)(x x0)和y y0求导法则1(x x0)(f(x0)0)f(x0)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)u(x)特别地：cf(x)cf(x)，推广uvw uvwuvwuvwu(x)u(x)v(x)v(x)u(x)(v(x)
4、0)2v(x)v(x)常用导数公式(1）(c)0(2)(x)x1(3)(sin x)cosx(4)(cosx)sin x(5)(tan x)sec x(6)(cot x)csc x(7)(secx)secxtan x(8)(cscx)cscxcot x(9)(a)a lna(10)(e)e(11)(logax)xxxx2211(12)(ln x)xlnax(13)(arcsinx)11 x2(14)(arccosx)11 x2(15)(arctan x)11(arccot x)(16)1 x21 x2(17)(shx)chx(18)(chx)shx微分公式(1)d(c)0(2)d(x)x1dx
5、(3)d(sin x)cosxdx(4)d(cos x)sin xdx(5)d(tan x)sec2xdx(6)d(cot x)csc2xdx(7)d(secx)secxtan xdx(8)d(cscx)cscxcot xdx(9)d(ax)axlnadx(10)d(ex)exdx(11)d(logax)11dx(12)d(ln x)dxxlnax(13)d(arcsinx)11 x2dx(14)d(arccosx)11 x2dx(15)d(arctan x)11dxd(arccot x)dx(16)1 x21 x2(17)d(shx)chxdx(18)d(chx)shxdx微分法则(1)d(
6、u v)du dv(2)d(uv)udv vdu(3)d()d(cu)cduuvvdu udvv2罗尔微分中值定理：如果函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间a,b连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少存在一点，使f()0拉格朗日微分中值定理：如果函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间a,b连续；（2）在开区间(a,b)内可导；那么在区间(a,b)内至少存在一点，使得f(b)f(a)f()b a推论：如果f(x)在开区间(a,b)内导数恒为零，那么f(x)在(a,b)内是一个常数罗必塔法则：000型，型，0型，型
7、，0型，型，1型0函数的极值及其求法曲线的凹凸性与拐点不定积分的换元积分法和分部积分法不定积分公式：上册 P209（1）0dx C（2）kdx kx Cdx x C（3）x dx（5）11x1C(1)（4）dx ln x C1x11 x2dx arctan x C arccot x C（6）11 x2dx arcsin x C arccos x C（7）cos xdx sin x C（8）sin xdx cos x C22（9）sec xdx tan x C（10）csc xdx cot x C（11）sec xtan xdx sec x C（12）csc xcot xdx csc x Cax
8、C（13）e dx e C（14）a dx lnaxxx（15）shxdx chx C（16）chxdx shx C扩充不定积分公式：上册 P227（17）tan xdx lncos x C p218例 13（18）cot xdx lnsin x C p218例 13 类似（19）sec xdx lnsec x tan x C ln tan(x24)Cp220 例 20（20）csc xdx ln csc x cot x C ln tanxCp219 例 192（21）dx1xarctanC p216例 6a2 x2aa（22）dx1x alnx2 a22ax aC p217例 11（23）d
9、x1a xlna2 x22aa xC类似 p218 例 11（24）x arcsinC p217例 7aa2 x2dxdx（25）ln(x x2 a2)C p224例 25x2 a2（26）dxx2a2 ln xx2a2C p224凑微分公式:(1)dx 1ad(ax)(2)dx 1ad(ax b)(3)xdx 12dx2 (4)x2dx 133dx(5)1xdx 2dx(6)cos xdx d sin x(7)sin xdx d cos x (8)1xdx d ln x(9)exdx dex(10)11 x2dx d arctan x darccot x(11)1d1 x2dx arcsin
10、x d arccos x(12)sec2xdx d tan x (13)csc2xdx d cot x(14)sec xtan xdx d sec x (15)csc xcot xdx d csc x(16)1x2dx d1x (17)axdx 1lnadax18）xdx 12ad(ax2b)(19)xdx 11dx1(20)12 xdx dx定积分的性质例 26（性质 1和（差）的定积分等于定积分的和（差）f(x)g(x)dx abbaf(x)dx g(x)dxab性质 2常数因子可以提到积分号前面bakf(x)dx kf(x)dxab性质 3积分区间a,b可分成a,cc,b两部分，则有ba
11、f(x)dx f(x)dx f(x)dxaccb性质 4如果在积分区间a,b上f(x)1，则baf(x)dx 1dx dx baaabb性质 5如果在a,b上bbf(x)g(x)，则(a b)af(x)dx g(x)dxa性质 6设M及m分别是函数bf(x)在区间a,b上的最大值和最小值，则m(b a)f(x)dx M(b a)a性质 7（积分中值定理）如果函数在一点，使得f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存baf(x)dx f()(b a)y f(x)f()ab性质 8：若f(x)在-a,a上连续且为偶函数，则若f(x)在-a,a上连续且为奇函数，则aaf(x)dx 2f(
12、x)dx0aaaf(x)dx 0牛顿-莱布尼茨公式：baf(x)dx F(x)ba F(b)F(a)定积分的换元积分法与分部积分法3 1n 1 n 3n为偶数 nn 24 2 2nn正余弦积分公式2sin xdx 2cos xdx 00n 1 n 34 21n为奇数5 3 nn 2平面图形的面积：在区间a,b上，曲线y f(x)在曲线y g(x)的上方，即f(x)g(x),曲边梯形由曲线y f(x)，y g(x)及直线x a,x b围成。面积A f(x)g(x)dxab旋转体的体积绕 X 轴旋转绕 Y 轴旋转dydx(y)y f(x)baxcdxdb22V x dyV y dxca二元函数的图
13、形二元函数的极限偏导数全微分dz zzdx dyxy二重积分的性质性质 1 被积函数的常数因子可以提到二重积分记号外，即kf(x,y)d=kf(x,y)d（k为常数）DD性质 2 有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差），即 f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)dDDD性质 3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分，则在D上的二重积分等于在各个部分区域上的二重积分的和。例如，若D分为两个闭区域D1和D2，则f(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D2性质 4 如果在D上，f(x,y)1，为区域D的面积，则1ddDD该性质表明，高为1 的平顶柱
14、体的体积在数值上等于柱体的底面积。性质 5 如果在D上，f(x,y)g(x,y)，则f(x,y)dg(x,y)dDD特别地，由于 f(x,y)f(x,y)f(x,y)，所以DDf(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD即有f(x,y)dDf(x,y)d性质 6（二重积分估值定理）如果f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值分别为M和m，区域D的面积为，则mf(x,y)d MD性质 7（二重积分的中值定理）设f(x,y)在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点(,)，使得f(x,y)dD f(,)二重积分在直角坐标系中的计算法常数项级数及其收敛与发散等比级数（又称几何级数）aqn0
15、na aq aq2 aqn1，当q 1时收敛调和级数11111是发散的n23nn111111（p 0为常数）当p 1时收敛pppp23nn1np 级数比较审敛法1设un1n与vn1n是两个正项级数，（1）如果级数vn1n收敛，且un vn(n 1,2,)则级数un1n也收敛；（2）如果级数un1n发散，且un vn(n 1,2,)则级数vn1n也发散；un2如果lim l(0 l )，则级数un与级数vn同时收敛或同时发散nvn1n1n比值审敛法正项级数un，limn1un1，当1时，级数收敛nun变量可分离的微分方程与齐次方程dyy()的一般步骤是：dxxydydu u x（1）令u，得xdxdx解齐次微分方程（2）将dydudyydudx u x()，分离变量后得代入dxdxdxx(u)uxydudxu C，求出积分后再以代回。(u)uxx（3）两端积分得一阶线性微分方程通解公式y e P(x)dxP(x)dx(Q(x)edx C)