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1、 第 1 页（共 22 页）反比例函数 一、选择题 1一次函数 y=x+a3（a 为常数）与反比例函数 y=的图象交于 A、B 两点，当 A、B 两点关于原点对称时 a 的值是（）A0 B3 C3 D4 2已知点 A（2，0），B 为直线 x=1 上一个动点，P 为直线 AB 与双曲线 y=的交点，且 AP=2AB，则满足条件的点 P 的个数是（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 3如图，双曲线 y=与直线 y=x 交于 A、B 两点，且 A（2，m），则点 B 的坐标是（）A（2，1）B（1，2）C（，1）D（1，）二、填空题 4如图，函数 y=x 的图象是二、四象限的角平分线，将 y
2、=x 的图象以点 O 为中心旋转 90与函数 y=的图象交于点 A，再将 y=x 的图象向右平移至点 A，与 x 轴交于点B，则点 B 的坐标为 第 2 页（共 22 页）5 若函数 y=kx+2k+2 与 y=（k0）的图象有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 6正比例函数 y1=mx（m0）的图象与反比例函数 y2=（k0）的图象交于点 A（n，4）和点 B，AMy 轴，垂足为 M若AMB 的面积为 8，则满足 y1y2的实数 x 的取值范围是 三、解答题 7如图，反比例函数 y=（k0）与正比例函数 y=ax 相交于 A（1，k），B（k，1）两点（1）求反比例函数和正比例函数的解析式
3、；（2）将正比例函数 y=ax 的图象平移，得到一次函数 y=ax+b 的图象，与函数 y=（k0）的图象交于 C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1x2|y1y2|=5，求 b 的值 8如图，已知点 A、P 在反比例函数 y=（k0）的图象上，点 B、Q 在直线 y=x3的图象上，点 B 的纵坐标为1，ABx 轴，且 SOAB=4，若 P、Q 两点关于 y 轴对称，设点 P 的坐标为（m，n）（1）求点 A 的坐标和 k 的值；（2）求的值 第 3 页（共 22 页）9如图，已知直线 y=x+k 和双曲线 y=（k 为正整数）交于 A，B 两点（1）当 k=1 时，求 A、B 两点的坐
4、标；（2）当 k=2 时，求AOB 的面积；（3）当 k=1 时，OAB 的面积记为 S1，当 k=2 时，OAB 的面积记为 S2，依此类推，当 k=n 时，OAB 的面积记为 Sn，若 S1+S2+Sn=，求 n 的值 10如图，已知点 A（a，3）是一次函数 y1=x+b 图象与反比例函数 y2=图象的一个交点（1）求一次函数的解析式；（2）在 y 轴的右侧，当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围 11如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=的图象交于 A（1，m）、B（n，1）两点（1）求一次函数的解析式；第 4 页（共 22 页）（2）求AOB 的面积 12在平面直角
5、坐标系 xOy 中，直线 y=kx+b（k0）与双曲线 y=的一个交点为 P（2，m），与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B（1）求 m 的值；（2）若 PA=2AB，求 k 的值 13如图，反比例函数 y=的图象经过点 A（1，4），直线 y=x+b（b0）与双曲线 y=在第二、四象限分别相交于 P，Q 两点，与 x 轴、y 轴分别相交于 C，D 两点（1）求 k 的值；（2）当 b=2 时，求OCD 的面积；（3）连接 OQ，是否存在实数 b，使得 SODQ=SOCD？若存在，请求出 b 的值；若不存在，请说明理由 14如图是函数 y=与函数 y=在第一象限内的图象，点 P 是 y=的图象
6、上一动点，PAx 轴于点 A，交 y=的图象于点 C，PBy 轴于点 B，交 y=的图象于点 D（1）求证：D 是 BP 的中点；（2）求四边形 ODPC 的面积 第 5 页（共 22 页）第 6 页（共 22 页）反比例函数 参考答案与试题解析 一、选择题 1一次函数 y=x+a3（a 为常数）与反比例函数 y=的图象交于 A、B 两点，当 A、B 两点关于原点对称时 a 的值是（）A0 B3 C3 D4【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标 【专题】计算题；压轴题【分析】设 A（t，），根据关于原点对称的点的坐标特征得 B（t，），然后把A（t，），B（t，）分别代
7、入 y=x+a3 得=t+a3，=t+a3，两式相加消去 t 得 2a6=0，再解关于 a 的一次方程即可【解答】解：设 A（t，），A、B 两点关于原点对称，B（t，），把 A（t，），B（t，）分别代入 y=x+a3 得=t+a3，=t+a3，两式相加得 2a6=0，a=3 故选 C【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点 2已知点 A（2，0），B 为直线 x=1 上一个动点，P 为直线 AB 与双曲线 y=的交点，且 AP=2AB，则满足条件的点 P 的个数是
8、（）第 7 页（共 22 页）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】压轴题【分析】如图，设 P（m，），B（1，n），直线 x=1 与 x 轴交于 C，有 A（2，0），得到 OA=2，OC=1，AC=1，BCy 轴，推出，于是得到这样的点 P 不存在，点 P4在 AB 之间，不满足 AP=2AB，过 P2作 P2Qx 轴于 Q，求得满足条件的点 P（4，），于是得到满足条件的点 P 的个数是 1，【解答】解：如图，设 P（m，），B（1，n），直线 x=1 与 x 轴交于 C，A（2，0），OA=2，OC=1，AC=1，BCy 轴，P1，P3在
9、 y 轴上，这样的点 P 不存在，点 P4在 AB 之间，不满足 AP=2AB，过 P2作 P2Qx 轴于 Q，P2QB1C，=，=，m=4，P（4，），第 8 页（共 22 页）满足条件的点 P 的个数是 1，故选 B 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的焦点问题，平行线分线段成比例，注意数形结合思想的应用 3如图，双曲线 y=与直线 y=x 交于 A、B 两点，且 A（2，m），则点 B 的坐标是（）A（2，1）B（1，2）C（，1）D（1，）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式，根据解方程组，可得答案【
10、解答】解：当 x=2 时，y=（2）=1，即 A（2，1）将 A 点坐标代入 y=，得 k=21=2，反比例函数的解析式为 y=，第 9 页（共 22 页）联立双曲线、直线，得，解得，B（2，1）故选：A【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求双曲线函数的解析式，又利用解方程组求图象的交点 二、填空题 4如图，函数 y=x 的图象是二、四象限的角平分线，将 y=x 的图象以点 O 为中心旋转 90与函数 y=的图象交于点 A，再将 y=x 的图象向右平移至点 A，与 x 轴交于点 B，则点 B 的坐标为（2，0）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几
11、何变换【专题】压轴题【分析】根据旋转，可得 AO 的解析式，根据解方程组，可得 A 点坐标，根据平移，可得 AB 的解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案【解答】解：AO 的解析式为 y=x，联立 AO 与 y=，得，解得 A 点坐标为（1，1）AB 的解析式为 y=x+2，第 10 页（共 22 页）当 y=0 时，x+2=0 解得 x=2，B（2，0）故答案为：（2，0）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了直线的旋转，直线的平移，自变量与函数值得对应关系 5 若函数 y=kx+2k+2 与 y=（k0）的图象有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 k且 k0 【
12、考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题，两函数的交点坐标满足方程组，接着消去y 得到关于 x 的一元二次方程 kx2（2k+2）x+k=0，由于有两个不同的交点，则关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+1=0 有两个不相等的实数解，于是根据根的判别式的意义得到=（2k+2）24k20，然后解一元一次不等式即可【解答】解：把方程组消去 y 得到kx+2k+2=，整理得 kx2（2k+2）x+k=0，根据题意得=（2k+2）24k20，解得 k，即当 k时，函数 y=kx+2k+2 与 y=（k0）的图象有两个不同的交点，故答案为 k且 k0【点评】本题考
13、查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点 6正比例函数 y1=mx（m0）的图象与反比例函数 y2=（k0）的图象交于点 A（n，4）和点 B，AMy 轴，垂足为 M若AMB 的面积为 8，则满足 y1y2的实数 x 的取值范围是 2x0 或 x2 第 11 页（共 22 页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】压轴题【分析】由反比例函数图象的对称性可得：点 A 和点 B 关于原点对称，再根据AMB的面积为 8 列出方程 4n2=8，解方程求出 n 的值，然后利用图象可知
14、满足 y1y2的实数 x 的取值范围【解答】解：正比例函数 y1=mx（m0）的图象与反比例函数 y2=（k0）的图象交于点 A（n，4）和点 B，B（n，4）AMB 的面积为 8，8n=8，解得 n=2，A（2，4），B（2，4）由图形可知，当2x0 或 x2 时，正比例函数 y1=mx（m0）的图象在反比例函数y2=（k0）图象的上方，即 y1y2 故答案为2x0 或 x2 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数的对称性，体现了数形结合的思想 三、解答题 7如图，反比例函数 y=（k0）与正比例函数 y=ax 相交于 A（1，k），B（k，1）两点（1）
15、求反比例函数和正比例函数的解析式；第 12 页（共 22 页）（2）将正比例函数 y=ax 的图象平移，得到一次函数 y=ax+b 的图象，与函数 y=（k0）的图象交于 C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1x2|y1y2|=5，求 b 的值 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换【分析】（1）首先根据点 A 与点 B 关于原点对称，可以求出 k 的值，将点 A 分别代入反比例函数与正比例函数的解析式，即可得解（2）分别把点（x1，y1）、（x2，y2）代入一次函数 y=x+b，再把两式相减，根据|x1x2|y1y2|=5 得出|x1x2|=|y1y2|=，然后
16、通过联立方程求得 x1、x2的值，代入即可求得 b 的值【解答】解：（1）据题意得：点 A（1，k）与点 B（k，1）关于原点对称，k=1，A（1，1），B（1，1），反比例函数和正比例函数的解析式分别为 y=，y=x；（2）一次函数 y=x+b 的图象过点（x1，y1）、（x2，y2），得，y2y1=x2x1，|x1x2|y1y2|=5，|x1x2|=|y1y2|=，由得 x2+bx1=0，解得，x1=，x2=，第 13 页（共 22 页）|x1x2|=|=|=，解得 b=1【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数关于原点对称这一知识点，以及用待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标
17、特点，利用对称性求出点的坐标是解题的关键 8如图，已知点 A、P 在反比例函数 y=（k0）的图象上，点 B、Q 在直线 y=x3的图象上，点 B 的纵坐标为1，ABx 轴，且 SOAB=4，若 P、Q 两点关于 y 轴对称，设点 P 的坐标为（m，n）（1）求点 A 的坐标和 k 的值；（2）求的值 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）先由点 B 在直线 y=x3 的图象上，点 B 的纵坐标为1，将 y=1 代入y=x3，求出 x=2，即 B（2，1）由 ABx 轴可设点 A 的坐标为（2，t），利用 SOAB=4 列出方程（1t）2=4，求出 t=5，得到点 A 的坐标为（
18、2，5）；将点 A的坐标代入 y=，即可求出 k 的值；（2）根据关于 y 轴对称的点的坐标特征得到 Q（m，n），由点 P（m，n）在反比例函数 y=的图象上，点 Q 在直线 y=x3 的图象上，得出 mn=10，m+n=3，再将变形为，代入数据计算即可 【解答】解：（1）点 B 在直线 y=x3 的图象上，点 B 的纵坐标为1，当 y=1 时，x3=1，解得 x=2，第 14 页（共 22 页）B（2，1）设点 A 的坐标为（2，t），则 t1，AB=1t SOAB=4，（1t）2=4，解得 t=5，点 A 的坐标为（2，5）点 A 在反比例函数 y=（k0）的图象上，5=，解得 k=10
19、；（2）P、Q 两点关于 y 轴对称，点 P 的坐标为（m，n），Q（m，n），点 P 在反比例函数 y=的图象上，点 Q 在直线 y=x3 的图象上，n=，n=m3，mn=10，m+n=3，=【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，关于 y 轴对称的点的坐标特征，代数式求值，求出点 A的坐标是解决第（1）小题的关键，根据条件得到 mn=10，m+n=3 是解决第（2）小题的关键 9（2015 邵阳）如图，已知直线 y=x+k 和双曲线 y=（k 为正整数）交于 A，B 两点 （1）当 k=1 时，求 A、B 两点的坐标；（2）当
20、 k=2 时，求AOB 的面积；（3）当 k=1 时，OAB 的面积记为 S1，当 k=2 时，OAB 的面积记为 S2，依此类推，当 k=n 时，OAB 的面积记为 Sn，若 S1+S2+Sn=，求 n 的值 第 15 页（共 22 页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】压轴题【分析】（1）由 k=1 得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到 A、B 两点的坐标；（2）先由 k=2 得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到 A、B 两点的坐标；再求出直线 AB 的解析式，得到直线 AB 与 y 轴的交点（0，2），利用三角形的面积公式，
21、即可解答（3）根据当 k=1 时，S1=1（1+2）=，当 k=2 时，S2=2（1+3）=4，得到当 k=n 时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，根据若 S1+S2+Sn=，列出等式，即可解答【解答】解：（1）当 k=1 时，直线 y=x+k 和双曲线 y=化为：y=x+1 和 y=，解得，A（1，2），B（2，1），（2）当 k=2 时，直线 y=x+k 和双曲线 y=化为：y=x+2 和 y=，解得，A（1，3），B（3，1）设直线 AB 的解析式为：y=mx+n，直线 AB 的解析式为：y=x+2 直线 AB 与 y 轴的交点（0，2），第 16 页（共 22 页）SAOB=21+2
22、3=4；（3）当 k=1 时，S1=1（1+2）=，当 k=2 时，S2=2（1+3）=4，当 k=n 时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，S1+S2+Sn=，（+n2）+（1+2+3+n）=，整理得：，解得：n=6【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是联立函数解析式，组成方程组，求交点坐标在（3）中注意找到三角形面积的规律是关键 10如图，已知点 A（a，3）是一次函数 y1=x+b 图象与反比例函数 y2=图象的一个交点（1）求一次函数的解析式；（2）在 y 轴的右侧，当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）将
23、点 A 的坐标代入反比例函数的解析式，求得 a 值后代入一次函数求得b 的值后即可确定一次函数的解析式；（2）y1y2时 y1的图象位于 y2的图象的上方，据此求解【解答】解：（1）将 A（a，3）代入 y2=得 a=2，第 17 页（共 22 页）A（2，3），将 A（2，3）代入 y1=x+b 得 b=1，y1=x+1；（2）A（2，3），根据图象得在 y 轴的右侧，当 y1y2时，x2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能正确的确定点 A 的坐标是解答本题的关键，难度不大 11如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=的图象交于 A（1，m）、B（n，1）两点（
24、1）求一次函数的解析式；（2）求AOB 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】计算题【分析】（1）把 A 与 B 坐标代入反比例解析式求出 m 与 n 的值，确定出 A 与 B 坐标，代入一次函数解析式求出 k 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）由 A 与 B 的坐标求出 AB 的长，利用点到直线的距离公式求出原点 O 到直线 AB 的距离，即可求出三角形 AOB 面积【解答】解：（1）把 A（1，m），B（n，1）代入反比例函数 y=，得：m=7，n=7，即 A（1，7），B（7，1），把 A 与 B 坐标代入一次函数解析式得：，解得：k=1，b=6，第 18 页
25、（共 22 页）则一次函数解析式为 y=x+6；（2）A（1，7），B（7，1），AB=8，点 O 到直线 y=x+6 的距离 d=3，SAOB=ABd=24 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，以及点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键 12在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+b（k0）与双曲线 y=的一个交点为 P（2，m），与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B（1）求 m 的值；（2）若 PA=2AB，求 k 的值【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）将点 P 的坐标代入
26、反比例函数的解析式即可求得 m 的值；（2）作 PCx 轴于点 C，设点 A 的坐标为（a，0），则 AO=a，AC=2a，根据 PA=2AB得到 AB：AP=AO：AC=1：2，求得 a 值后代入求得 k 值即可【解答】解：y=经过 P（2，m），2m=8，解得：m=4；（2）点 P（2，4）在 y=kx+b 上，4=2k+b，b=42k，直线 y=kx+b（k0）与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，A（2，0），B（0，42k），如图，点 A 在 x 轴负半轴，点 B 在 y 轴正半轴时，PA=2AB，AB=PB，则 OA=OC，第 19 页（共 22 页）2=2，解得 k=1；当点 A
27、 在 x 轴正半轴，点 B 在 y 轴负半轴时，=，解得，k=3 k=1 或 k=3 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是表示出 A 的坐标，然后利用线段之间的倍数关系确定 k 的值，难度不大 13如图，反比例函数 y=的图象经过点 A（1，4），直线 y=x+b（b0）与双曲线 y=在第二、四象限分别相交于 P，Q 两点，与 x 轴、y 轴分别相交于 C，D 两点（1）求 k 的值；（2）当 b=2 时，求OCD 的面积；（3）连接 OQ，是否存在实数 b，使得 SODQ=SOCD？若存在，请求出 b 的值；若不存在，请说明理由 【考点】反比例函数与一次函数的交点问
28、题【专题】计算题 第 20 页（共 22 页）【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得 k=4；（2）当 b=2 时，直线解析式为 y=x2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出 C（2，0），D（0，2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出 C（b，0），根据三角形面积公式，由于 SODQ=SOCD，所以点 Q 和点 C到 OD 的距离相等，则 Q 的横坐标为（b，0），利用直线解析式可得到 Q（b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到b2b=4，然后解方程即可得到满足条件的 b 的值【解答】解：（1）反比例函数 y=的图象经过点 A（1，4），k=14=4；（2
29、）当 b=2 时，直线解析式为 y=x2，y=0 时，x2=0，解得 x=2，C（2，0），当 x=0 时，y=x2=2，D（0，2），SOCD=22=2；（3）存在 当 y=0 时，x+b=0，解得 x=b，则 C（b，0），SODQ=SOCD，点 Q 和点 C 到 OD 的距离相等，而 Q 点在第四象限，Q 的横坐标为b，当 x=b 时，y=x+b=2b，则 Q（b，2b），点 Q 在反比例函数 y=的图象上，b2b=4，解得 b=或 b=（舍去），b 的值为 第 21 页（共 22 页）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成
30、方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式 14如图是函数 y=与函数 y=在第一象限内的图象，点 P 是 y=的图象上一动点，PAx 轴于点 A，交 y=的图象于点 C，PBy 轴于点 B，交 y=的图象于点 D（1）求证：D 是 BP 的中点；（2）求四边形 ODPC 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得 P、D 点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案【解答】（1）证明：点 P 在函数 y=上，设 P 点坐标为（，m）点 D 在函数 y=上，BPx 轴，设点 D 坐标为（，m），由题意，得 第 22 页（共 22 页）BD=，BP=2BD，D 是 BP 的中点（2）解：S四边形OAPB=m=6，设 C 点坐标为（x，），D 点坐标为（，y），SOBD=y=，SOAC=x=，S四边形OCPD=S四边形PBOASOBDSOAC=6=3【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法