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1、第三章线性系统的时域分析第三章线性系统的时域分析Chapter 3 Time-domain analysis of linear system 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院College of Electromechanical Information Engineering3.4 3.4 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析Stability analysis of linear systems 1系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件2系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件3 劳斯稳定判据劳斯稳定判据4 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 线性控制系统稳定性的定义为：线性
2、控制系统稳定性的定义为：线性控制系统在初始扰动影响下，若其动态过程线性控制系统在初始扰动影响下，若其动态过程随时间推移逐渐衰减随时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零并趋于零(或原平衡或原平衡工作点工作点)，则称系统是，则称系统是渐进稳定渐进稳定，简称稳定；，简称稳定；若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统则称系统不稳定不稳定；若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某一有限区域内运动，则称系统某一有限区域内运
3、动，则称系统临界稳定临界稳定。线性系统的线性系统的稳定性稳定性取决于系取决于系统的统的固有特征（结构、参数），固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。稳定性与系统的输入信号无关。稳定性是系统的是系统的固有固有特性，是扰动消失特性，是扰动消失后系统自身的恢复能力。后系统自身的恢复能力。u常用的稳定判据：常用的稳定判据：代数判据（代数判据（Routh、Hurwitz）Nyquist稳定判据稳定判据3.4.1 3.4.1 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件（sufficient and necessary condition)如果脉冲响应函数是收敛的，即有如果脉冲响应函数是收敛的，即有表示系
4、统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数收敛是一致的。收敛是一致的。如果如果 则系统是不稳定的。则系统是不稳定的。如果如果则系统是临界稳定的。则系统是临界稳定的。由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1 1，所，所以系统的以系统的复域脉冲响应函数复域脉冲响应函数C(s)C(s)就是系统的闭环就是系统的闭环传递函数。传递函数。令系统的闭环传递函数含有令系统的闭环传递函数含有q q个实数极点和个实数极点和r r对复数极点，则其传递函数可写为对复数极
5、点，则其传递函数可写为式中，式中，上式用部分分式展开，得上式用部分分式展开，得系统的系统的时域脉冲响应时域脉冲响应为为若系统的特征根全部为负实部根，则若系统的特征根全部为负实部根，则成立，系统稳定；成立，系统稳定；若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式轭复根，式 成立，系统不稳定；成立，系统不稳定；若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部，根具有负实部，成立，系统临界稳定。成立，系统临界稳定。工程上，将临界稳定也视为不稳定。工程上，将临界稳定也视为不稳定。线性系统稳定的线性系
6、统稳定的充分必要条件充分必要条件是：是：闭环系统特征方闭环系统特征方程的所有根均具有负程的所有根均具有负实部。或者说，闭环实部。或者说，闭环传递函数的极点均严传递函数的极点均严格位于格位于s s左半平面。左半平面。注意：注意：对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系统对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系统输出必为有界函数。输出必为有界函数。对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。3.4.2 3.4.2 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件 定理：若系统的特征方程为
7、定理：若系统的特征方程为 则系统稳定的必要条件是则系统稳定的必要条件是（依系数判稳）依系数判稳）依系数判稳）依系数判稳）：特征特征方程式无零系数，且各项系数均为正值。方程式无零系数，且各项系数均为正值。证明：证明：设设P P1 1、P P2 2、为实数根。为实数根。、为复数根。其中，为复数根。其中，P P1 1、P P2 2、和和 、都为正值都为正值(符合充要条件），则式符合充要条件），则式(3-57)(3-57)改写为改写为 即即 因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后所以它们相乘后s s各次各次项必然仍为正值且不会有系项必然仍为正值且
8、不会有系数为零项。数为零项。反之，若方程式中有一个根为正实根，或一反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实部为正的复数根，则由式对实部为正的复数根，则由式(3-58)(3-58)可知，对于可知，对于方程式方程式s s各次各次项的系数不会全为正值，即一定会有项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。负系数项或缺项出现。然而，然而，这一条件是不充分的这一条件是不充分的，因为各项系数，因为各项系数为正数的系统特征方程，完全有可能拥有正实部为正数的系统特征方程，完全有可能拥有正实部的根。的根。不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数
9、全为正值是系统其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系统，特征方程式的各但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。而非充分条件。3.4.3 3.4.3 劳斯稳定判据劳斯稳定判据(Rouths stability criterion)由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否都具求解特征方程式的根，并检
10、验所求的根是否都具有负实部的问题。有负实部的问题。由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希望有一种不用求解特征方程的根，而是们希望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐根椐特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符号实部的符号（间接的方法）。（间接的方法）。设系统的特征方程式为设系统的特征方程式为将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表由劳斯表的结构可知，劳斯表有由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、二行各元素是特征方程的系行，第一、二行各元素是特征方程的系数，
11、以后各元素按劳斯表的规律求取。数，以后各元素按劳斯表的规律求取。列表规律：列表规律：3 分母总是上一行第一个元素分母总是上一行第一个元素4 一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数2 次对角线减主对角线次对角线减主对角线1 右移一位降两阶右移一位降两阶 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在根在s s平面上的具体分布，其结论是：平面上的具体分布，其结论是：(1)(1)如果劳斯表中第一列系数严格为正，则如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在其特征方程式的根都在s s的
12、左半平面，相应的左半平面，相应的系统是稳定的。的系统是稳定的。(2)(2)如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在右半特征方程式的根在右半s s平面上的个数。平面上的个数。例例3-2 已知三阶系统特征方程为已知三阶系统特征方程为判断系统稳定的充要条件。判断系统稳定的充要条件。解：解：列劳斯表为列劳斯表为 根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且数
13、大于零，且bcad。例例3-3 设系统特征方程为设系统特征方程为使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。该特征方程的正实部根的数目。解：解：列劳斯表如下列劳斯表如下因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。不稳定，有两个正实部根。两种特殊情况：两种特殊情况：(1)劳斯表中劳斯表中某行第一项元素等于零某行第一项元素等于零，而该行，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使计算下一行第一元素时出现况的出现会
14、使计算下一行第一元素时出现无穷现象。无穷现象。解决的办法是：解决的办法是：以一个很小的正数以一个很小的正数 代替代替为零的该项，继续劳斯表的列写。为零的该项，继续劳斯表的列写。若劳斯表若劳斯表第一列第一列的系数符号有变化，其变的系数符号有变化，其变化的次数就等于该方程在化的次数就等于该方程在s右半平面上根右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列如果第一列 上面的系数与其下面的系数上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。存在，相应的系统也属不稳定。例例3-4 设系统的特征方程
15、为设系统的特征方程为试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布具体分布。解：解：基于方程中基于方程中s2项的系数为零，项的系数为零，s一次项的系数为一次项的系数为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于个根位于s的右半平面，相应的系统为的右半平面，相应的系统为不稳定不稳定。为。为了确定该方程的根在了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应用劳平面上的具体分布需应用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表斯判据。根据方程排出下列的劳斯表 由上表可见，其第一列由上表可见，其第一列 项上面与下面的符项上面与下面的符号变
16、化了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个号变化了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在根在s的右半平面。的右半平面。若用因式分解的方法，把原方程改写为若用因式分解的方法，把原方程改写为由上式解得由上式解得s1,2=1，s3=2，从而验证了上式用劳斯判，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性据所得的结论的正确性。(2)如果劳斯表中如果劳斯表中出现全零行出现全零行，则，则表示相应的方程表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根中含有一些大小相等、符号相反的实根(real root)和和(或或)共轭虚根。共轭虚根。解决的办法是：解决的办法是：可利用系数全零行的上一行系数可利用系数全零行的
17、上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，用导数的系数来代替表中系数为全零的行。用导数的系数来代替表中系数为全零的行。如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式求出。求出。例例3-53-5 系统的特征方程为系统的特征方程为 试判稳。试判稳。解：解：劳斯表如下：劳斯表如下：用系数为用系数为4和和6代替代替s3这行中相应的这行中相应
18、的0元素，并继元素，并继续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知有一由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知有一个正实部根，个正实部根，系统不稳定系统不稳定。由由P(s)=0得得 求得两对大小相等、符号相反的根为求得两对大小相等、符号相反的根为 ，显然，这个系统是处于显然，这个系统是处于不稳定状态不稳定状态。补补1 系统特征方程系统特征方程 s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-1
19、4)/1=-8-82 41 2劳斯表特点劳斯表特点系统不稳定系统不稳定771 2 7-82+8-8(2 +8)-7劳斯判据的补充习题劳斯判据的补充习题劳斯表出现零元素劳斯表出现零元素劳斯表出现零行劳斯表出现零行补补2 设系统特征方程为：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行?2 出现零行怎么办出现零行怎么办?3 如何求对称的根如何求对称的根?由零行的上一行构成由零行的上一行构成辅助方程辅助方程:有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的特征根时会出现零行特征根时会出现零行s2+1=0
20、对其求导得零行系数对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表继续计算劳斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定错啦错啦!由综合除法可得另两个根由综合除法可得另两个根为为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根:s1,2=j劳斯表出现零行劳斯表出现零行系统系统一定一定不稳定不稳定 劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位于平面上给定垂线于平面上给定垂线 的右侧根的的右侧根的数目。数目。只要令只要令 并代入原方程中，得到以并代入原方程中，得到以 为变量为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中的特征方程式，然后用劳斯判据
21、去判别该方程中是否有根位于垂直线是否有根位于垂直线 的右侧。的右侧。用此法可以估计一个稳定系统的各个根中最靠近用此法可以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的右侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度程度”。相对稳定性和稳定裕度（劳斯判据的应用）相对稳定性和稳定裕度（劳斯判据的应用）例例3-6 用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程 是否有根在是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在的右半平面上，并检验有几个根在垂直线垂直线s=1的右方。的右方。解：解：列劳斯表列劳斯表 由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征由于劳斯表的第一列系数全为正
22、值，因而该特征方程式的根全部位于方程式的根全部位于s的左半平面，相应的系统的左半平面，相应的系统是稳定的。是稳定的。令令s=z1代入特征方程，经化简后得代入特征方程，经化简后得 因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线于直线s=1的右方。列出以的右方。列出以z为变量的劳斯表为变量的劳斯表 由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线方程有一个根在垂直线s=1的右方。的右方。劳斯判据的应用劳斯判据的应用单位反馈系统开环传递函数如下，确定使系统稳定的k的范围 3.4.4 3.4.4 赫尔维
23、兹判据赫尔维兹判据 该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳定性。设系统的特征方程为定性。设系统的特征方程为 以特征方程式的各项系数组成如下行列式以特征方程式的各项系数组成如下行列式 赫尔维兹判据：赫尔维兹判据：系统稳定的系统稳定的充分必要条件充分必要条件是是 在在 的情况下，上述行列式的各阶主子的情况下，上述行列式的各阶主子式式 均大于零，即均大于零，即例例3-7 系统的特征方程为系统的特征方程为 ，判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。解：系统行列式解：系统行列式 由赫尔维兹判据，该系统不稳定。由赫尔维兹判据，该系统不稳定。例例3-8 系统的特征方程为系统的特征方程为 ，判断，判断系统的稳定性。系统的稳定性。解：系统行列式解：系统行列式 由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为 由上式可知由上式可知二阶系统稳定的充要条件二阶系统稳定的充要条件是特征方程是特征方程的所有系数均大于零。的所有系数均大于零。