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1、杭州市 2022-2023 学年高一上学期 10 月月考数学试题 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合|1AxQ x，则()AA B2 A C2A D 2A【解析】集合|1AxQ x，集合A中的元素是大于1的有理数，对于A，符号：“”只用于元素与集合间的关系，故错；对于B、C、D，因2不是有理数，故B对，C、D不对【答案】B 2已知全集1U，2，3，4，1A，2，2B，3，则()UAB等于()A1，2，3 B1，2，4 C1 D4【解析】由全集1U，2，3，4，2B，3，所以1UB，4，又1A，2，所以(
2、)1UAB，2，4【答案】B 3设集合 1A ，3，5，若:21fxx是集合A到集合B的映射，则集合B可以 是()A1，2，3 B0，2，3 C 3，5，9 D 3，5【解析】集合 1A ，3，5，若:21fxx是集合A到集合B的映射，则()3f x ，5，9【答案】C 4若函数()f x满足(32)98fxx，则()f x的解析式是()A()98f xx B()32f xx C()34f xx D()32f xx或()34f xx 【解析】令32tx，则23tx，所以2()98323tf tt 所以()32f xx【答案】B 5下列各组函数中表示同一函数的是()A2()f xx，2()()g
3、 xx B21()1xf xx，()1g xx C()|f xx，2()g xx D()11f xxx，2()1g xx【解答】解；对于A选项，()f x的定义域为R，()g x的定义域为0，)，不是同一函数 对于B选项，()f x的定义域为|1x x，()g x的定义域为R，不是同一函数，对于C选项，()f x的定义域为R，()g x的定义域为R，且两函数解析式化简后为同一解析式，是同一函数，对于D选项，()f x的定义域为1，)，()g x的定义域为(，11，)，不是同一函数【答案】C 6若函数(32)fx的定义域为 1，2，则函数()f x的定义域是()A5,12 B 1，2 C 1，5
4、 D1,22【解析】函数(32)fx的定义域为 1，2，即 1x，2，故32 1x，5，即函数()f x的定义域是 1，5【答案】C 7函数1()(0)2xf xxx的值域是()A(,1)B(1,)C1(,1)2 D1(0,)2【解析】1211()1222xxf xxxx，该函数在(0,)上单调递增，当x趋近 0 时取最小值12，但取不到，当x趋近时取最大值 1，但也取不到，函数1()(0)2xf xxx的值域是1(2，1)【答案】C 8已知函数53()8f xxaxbx，且(2)10f，那么f（2）等于()A10 B18 C26 D10【解析】令53()g xxaxbx，易得其为奇函数，则(
5、)()8f xg x，所以(2)(2)810fg，得(2)18g，因为()g x是奇函数，即g（2）(2)g，所以g（2）18，则f（2）g（2）818826 【答案】C 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）9下列结论不正确的是()A“xN”是“xQ”的充分不必要条件 B“*xN，230 x”是假命题 CABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“222abc”是“ABC是直角三角形”的充要条件 D命题“0 x，230 x”的否定是“0 x，23 0 x”【
6、解析】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“xN”是“xQ”的充分不必要条件，A正确；2130，所以“*xN，230 x”是真命题，B错误；因为222abc，所以90C，ABC是直角三角形，但是ABC是直角三角形不一定意味着90C，所以“222abc”是“ABC是直角三角形”的充分不必要条件，C错误；全称量词命题的否定是存在量词命题，满足命题的否定形式，所以D正确【答案】BC 10设非空集合|Sx m x n满足：当xS时，有2xS，给出如下命题，其中真命题是()A若1m，则|1Sx x B若12m ，则114n C若12n，则202m D若1n，则10m【解析】对于A：若1m 时，
7、所以|1Sxx n，所以x有221 xn，所以2n n，所以：1n，所以1S，故A错误；对于B：若12m ，102n时，xS，有2214nx，所以2xS，舍去，102n时，xS，有2104x，所以1142n，12n 时，xS，有220 xn，所以2nn，故112n 所以：2,02m，故B正确；对于C：若12n 时，xS，有2214mx，所以2mm，所以1m舍去；102m时，所以xS，有2104x，成立；12m 时，xS，有220 xm，所以2122m，所以2,02m 故C正确；对于D：若1n 时，01m时，xS，有221mx，所以2mm，所以1m，故1m；10m时，xS，有201x，所以2xS
8、；1m 时，xS，有220 xm，所以21m，所以11m，舍去；综上所述：1m，01，故D错误【答案】BC 11对于实数x，符号 x表示不超过x的最大整数，例如 3，1.52，定义函数()f xxx，则下列命题中正确的是()A(3.9)(4.1)ff B函数()f x的最大值为 1 C函数()f x的最小值为 0 D方程1()02f x 有无数个根【解析】根据符号 x的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数()f xxx的解析式：当10 x时，1x ，则()1f xx；当01x 时，0 x，则()f xx；当12x 时，1x，则()1f xx；当23x 时，2x，则()2f xx；画函数()f
9、xxx的图象如图所示：A：根据定义可知，(3.9)3.9(4)0.1f ，(4.1)4.140.1f，即(3.9)(4.1)ff，所以A正确；B：从图象可知，函数()f xxx最高点处取不到，所以B错误；C：函数图象最低点处函数值为 0，所以C正确；D：从图象可知()yf x与12y 的图象有无数个交点，即1()2f x 有无数个根，所以D正确【答案】ACD 12函数()f x的定义域为D，若存在区间m，nD使()f x在区间m，n上的值域也是m，n，则称区间m，n为函数()f x的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是()A()f xx B2()22f xxx C1()f xxx D1
10、()f xx【解析】若()f x在区间m，n上的值域也是m，n，则称区间m，n为函数()f x的“和谐区间”，可知，mn，则()()f mmf nn或()()f mnf nm，对于A选项，函数()(0)f xx x，若()()f mmf nn，解得01mn，所以函数()f xx存在“和谐区间”0，1，故A正确；对于B选项，函数2()22()f xxxxR，若()()f mmf nn，解得12mn 所以2()22f xxx存在“和谐区间”1，2，故B正确；对于C选项，函数1()(0)f xxxx，若()()f mmf nn，得1010mn，无解；若()()f mnf nm方程组无解，故函数1()
11、f xxx不存在“和谐区间”，故C错误；对于D选项，函数1()(0)f xxx，函数在(,0)，(0,)上单调递减，则()()f mnf nm，不妨令122mn，所以函数1()f xx存在“和谐区间”12，2，故D正确【答案】ABD 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13已知A，B是非空集合，定义运算|ABx xA且xB，若|1Mx yx，2|Ny yx，11x，则MN 【解析】|1Mx x，|01Nyy，|0MNx x【答案】|0 x x 14用列举法表示集合：10|1MmZm，mZ 【解析】10|,1MmZ mZm；11m 时，1011m；6m 时，1021m；3m 时，1
12、051m；2m 时，10101m；0m 时，10101m；1m 时，1051m；4m 时，1021m；9m 时，1011m；11M，6，3，2，0，1，4，9【答案】11，6，3，2，0，1，4，9 15函数0(1)|xyxx的定义域是 【解析】若使函数0(1)|xyxx的解析式有意义，自变量x须满足100 xxx，解得0 x 且1x ，故函数的定义域为|0 x x，且1x 【答案】|0 x x，且1x 16已知函数2()()|2|f xxaxa，若对任意的1xa，1a，()4f x恒成立，则实数a的取值范围是 1 【解析】要使对任意的1xa，1a，2()|2|4xaxa恒成立，即2()4|2
13、|xaxa在1xa，1a 上恒成立，即当1xa，1a 时，函数2()()4M xxa的图象在函数()|2|N xxa图象的下方，由图象得，要使上述成立，只需(1)(1)(1)(1)M aN aM aN a，即22(1)421(1)421aaaaaaaa ，则式解得76518a，式解得76518a，所以 1a，1 【答案】1，1 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10 分）已知集合|28Axx，|16Bxx，|Cx xa，UR（1）求AB，()UAB；（2）若AC ，求a的取值范围 解：（1）|28Axx，|16Bxx，UR，|18A
14、Bxx，|2UAx x或8x，则()|12UABxx，（2）|28Axx，|Cx xa，且AC ，8a 18（12 分）设全集2U，4，2(3)a，集合2A，22aa，若 1UA ，求实数a的值 解：由 1UA ，可得11UA ，所以22(3)121aaa 解得4a 或2a 当2a 时，2A，4，满足AU，符合题意；当4a 时，2A，14，不满足AU，故舍去，综上，a的值为 2 19（12 分）已知函数21()1xf xx（1）判断函数在区间1，)上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间1，4上的最大值与最小值 解：（1）任取1x，21x，)，且12xx，121212121221
15、21()()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx，120 xx，12(1)(1)0 xx，所以，12()()0f xf x，12()()f xf x，所以函数()f x在1，)上是增函数（2）由（1）知函数()f x在1，4上是增函数 最大值为2419(4)415f，最小值为2 1 13(1)1 12f 20（12 分）已知a，b为常数，且0a，2()f xaxbx，f（2）0，方程()f xx有两个相等的实根（1）求函数()f x的解析式；（2）当1x，2时，求()f x的值域；（3）若()()()F xf xfx，试判断()F x的奇偶性，并证明你的结论 解：（1）已知2()f
16、 xaxbx，由f（2）0，得420ab，即20ab，方程()f xx，即2axbxx，即2(1)0axbx有两个相等实根，且0a，10b ，1b，代入得12a 21()2f xxx （2）由（1）知211()(1)22f xx 显然函数()f x在1，2上是减函数，1x时，12maxy；2x 时，0miny 1x，2时，函数的值域是0，12（3）()()()F xf xfx 2211()()222xxxxx ，定义域关于原点对称，()F x是奇函数 证明：定义域关于原点对称，()2()2()FxxxF x ，()2F xx是奇函数 21（12 分）某厂家拟在 2010 年举行促销活动，经调查
17、测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元(0)m满足3(1kxkm为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 1 万件已知 2010 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）将 2010 年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家 2010 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大 解：（1）由题意可知当0m 时，1x（万件），132kk 231xm 每件产品的销售价格为8161.5xx（元
18、)，2010年的利润816(1.5)(816)xyxxmx 24848(3)1xmmm16(1)29(0)1mmm （2）0m时，16(1)2 1681mm，82921y，当且仅当16131mmm（万元）时，21maxy（万元）所以当该厂家 2010 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大 22（12 分）已知二次函数2()f xaxbxc（1）若函数满足(1)()22f xf xx，且(0)1f求()f x的解析式；（2）若对任意xR，不等式()2f xaxb恒成立，求2224()bac的最大值 解：（1）2()f xaxbxc，且(0)1f，1c；又22(1)()(1)(1)1()222f xf xa xb xaxbxcaxabx，22a，2ab，解得1ab，2()1f xxx；（2）2()2(2)0f xaxbaxba xcb恒成立，20(2)4()0abaa cb，即220440abaac，204()ba ca，22222214()4()4()1()cba caacacaca，令1cta，则由知0t，222224()1(1)22bttacttt，令2()(0)22tg tttt，当0t 时，(0)0g；当0t 时，1121()222 222g ttt（当且仅当2tt，即2t 时取等号），2224()bac的最大值为212