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1、第 1 页 共 13 页 2022-2023 学年江苏省南京市中华中学高一上学期 12 月月考数学试题 一、单选题 1与468角的终边相同的角的集合是 A360456,kkZ B360252,kkZ C36096,kkZ D360252,kkZ 【答案】B【分析】在0360范围内找出与468角终边相同的角，然后可得出与468角终边相同的角的集合.【详解】因为4682 360252 ，所以252角与468角的终边相同，所以与468角的终边相同的角的集合为360252,kkZ.故选 B【点睛】本题考查终边相同的角的集合，一般要在0360范围内找出终边相同的角，并以此角来表示相应的集合，属于基础题.
2、2已知扇形的弧长为 6，圆心角弧度数为 3，则其面积为 A3 B6 C9 D12【答案】B【分析】首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可.【详解】设扇形的半径为R，由题意可得：63R，则2R，扇形的面积116 2622SlR.本题选择 B选项.【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3已知2.10.32.1log0.3,0.3,2.1abc，则 a，b，c 的大小关系是（）Abca Bcab Cbac Dcba【答案】D 第 2 页 共 13 页【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小.【详解】2.12.1
3、log0.3log10a，2.100.3.3100b，0.302.21.11c，则cba.故选：D.【点睛】比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.4函数 122xxfxxR的图像可能为（）A B C D【答案】B【分析】由题意，得函数 f（x）为偶函数，利用排除法可得答案【详解】函数 12R2xxfxx满足 f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，其图像关于 y轴对称，可排除 ACD，故选：B 5若lg2,lg3ab，则12log 5（）A12aab B2abab C12aab D2abab【答案】C【分析】根据对数的运
4、算法则求出lg51lg122aab，结合对数的换底公式即可得出结果.【详解】由题意知，lg2lg3ab，所以210lg5lg1lg21lg12lg(23)2lg2lg322aab ，所以12lg51log5lg122aab.第 3 页 共 13 页 故选：C 6已知4sincos3，,4 2，则sincos（）A23 B23 C13 D13【答案】A【分析】将题设条件等式两边平方，可得72sincos9，再将目标式平方并结合角的范围即可求sincos.【详解】216(sincos)12sincos9，则72sincos9，而22(sincos)12sincos9，又,4 2，sincos，则2
5、sincos3.故选：A 7已知函数 log4(0af xaxa且1a)在0,2上单调递减,则a的取值范围是（）A0,1 B1,2 C0,2 D2,【答案】B【分析】直接根据复合函数的单调性结合函数的定义域得到答案.【详解】0a，故函数4yax在0,2上单调递减；函数 log4(0af xaxa且1a)在0,2上单调递减,故logayx在0,上单调递增，故1a，考虑定义域：420a，解得2a.综上所述：12a.故选：B.8 函数2logyx的图像为 M，直线12:,:8210lym lymm，21,l l分别与 M 相交于,C A B D（从左到右），曲线段,CA BD在 x 轴上投影的长度为
6、 a，b，当 m 变化时2logba的最小值为（）A72 B52 C92 D1【答案】A【解析】由2logyx，821,ym ym的图象，分析知821|22|mma，821|22|mmb，可得28log21bmam，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由题意，可得如下示意图：第 4 页 共 13 页 即,C A在2logyx 且01x的分支上，令8218(2,)21mCm，(2,)mAm；,B D在2logyx且1x 的分支上，令(2,)mBm，8218(2,)21mDm；821|22|mma，821|22|mmb，0m，即82122821228loglog|2122mmmmbmam21812
7、18172221222122mmmm当且仅当32m 时等号成立.故选：A【点睛】本题考查了对数函数，应用数形结合、基本不等式求目标式的最值，并考察了指对数的运算，属于中档题.二、多选题 9已知1sincos5，且为锐角，则下列选项中正确的是（）A12sincos25 B7sincos5 C0,4 D4tan3【答案】ABD【分析】根据2sincos1 2sincos，并结合为锐角求解即可.【详解】解：因为1sincos5，所以242sincos25，即12sincos25 所以249sincos12sincos25，第 5 页 共 13 页 因为为锐角，所以7sincos5，所以43sin,c
8、os55，所以4tan13，所以,42 故选：ABD 10下面选项中正确的有（）A命题“所有能被 3 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”B命题“xR，x2+x+10”C“=k+，kZ”是“tan=tan”成立的充要条件 D设 a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】选项 A，求出原命题的否命题后再进行判断；选项 B，将全称命题变为其否定形式的特称命题即可判断；选项 C，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断；选项 D，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断.【详解】对于 A：命题“所有能被 3 整除的整数都
9、是奇数”的否定是“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”，故 A 正确；对于 B：命题“xR，x2+x+10”的否定是“xR，x2+x+10”，故 B 错误；对于 C：当“=k+，kZ”时，“tan=tan”成立，反过来，当“tan=tan”成立，那么“+=k，kZ”，即为“=k+，kZ”.故“=k+，kZ”是“tan=tan”成立的充要条件；故 C 正确；对于 D：设 a，bR，则“a0，b=0”时，则“ab=0”，反过来，a，bR，若“ab0”时，则能推出“a0”且“b0”，故设 a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件，故 D 正确 故选：ACD 11222sincos1 cos
10、1 sinxxxx的值可能为（）A0 B1 C2 D3【答案】BD【分析】根据给定条件结合同角公式化简函数式，再借助正余弦值的正负计算作答.【详解】令222sincos2sincos()|sin|cos|1 cos1 sinxxxxf xxxxx，当 x为第一象限角时，sin0,cos0 xx，则()3f x，当 x为第二象限角时，sin0,cos0 xx，则()1f x，第 6 页 共 13 页 当 x为第三象限角时，sin0,cos0 xx，则()3f x ，当 x为第四象限角时，sin0,cos0 xx，则()1f x .故选：BD 12给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（）A若
11、函数 2xf的定义域为1,2，则函数 f x的定义域是2,4；B函数 1log211xafxax（其中0a，且1a）的图象过定点1,0；C当0时，幂函数yx的图象是一条直线；D若1log12a，则a的取值范围是1,12.【答案】ABD【解析】根据指数函数、对数函数的图象与性质，复合函数的定义域判断各选项【详解】A函数 2xf的定义域为1,2，即12x，则224x，函数()f t中t的取值范围，即定义域为2,4，即()f x定义域是2,4，A 正确；B令1x，则0(1)log 1 10afa，图象过定点(1,0)B 正确；C0yx中0 x，它的图象是直线1y 上去掉点(0,1)，不是直线，C 错
12、；D1a 时，1log02a，不合题意，01a时，1log1log2aaa，12a，112aD 正确 故选：ABD【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查函数的定义域，掌握指数函数与对数函数的图象与性质是解题关键 三、填空题 13已知3cos63，则cos6_.【答案】33【分析】本题可根据诱导公式得出结果.【详解】53coscoscos6663 ，故答案为：33 第 7 页 共 13 页 14若不等式2(2)2(2)40axax对一切xR成立，则a的取值范围是 _ _.【答案】2,2【详解】当20a，2a 时不等式即为40，对一切xR恒成立 当2a 时，则须220 421620a
13、aa，22a 由得实数a的取值范围是2,2，故答案为2,2.15若2,3ab且满足3250abab，则223bab的最小值是_【答案】2 61#2 61【分析】由3250abab 变形为231ab；化22312323babab应用基本不等式可求最小值【详解】因为2,3ab满足3250abab 所以23326561ababab ，则123ab 所以 223323231212 6123232323bbabababab 当且仅当2233ab，即2322aa时取“”，解得623a,632b 所以223bab的最小值为2 61；故答案为：2 61 16已知1x是方程lg6xx的一个根，2x是106xx的
14、一个根，则12xx_【答案】6【分析】将已知得方程变形得lg6,106,xxxx令()lg,()10,()6,xf xx g xh xx画出图象，根据函数的对称性求解即可【详解】将已知得方程变形得lg6,106,xxxx，令()lg,()10,()6,xf xx g xh xx 画出它们的图象，如图所示：第 8 页 共 13 页 设()f x与()h x的交点为11(,),()A x yg x与()h x的交点为22(,)B xy，根据函数的性质可知,A B两点关于yx对称，则1221,xyxy 将A点坐标代入直线方程()6h xx得116yx，12111166.xxxyxx 故答案为:6.四
15、、解答题 17已知3sin5，且 是第_象限角 从一，二，三，四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：(1)求 cos，tan的值；(2)化简求值：3sin()cos()sin2cos(2022)tan(2022)【答案】(1)答案见解析；(2)1625.【分析】（1）由已知可得 为第三象限或第四象限角，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式即可求解（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可计算得解【详解】（1）解：因为3sin5，所以 为第三象限或第四象限角；若选，24sin3cos1 sin,tan5cos4 ；第 9 页 共 13 页
16、 若选，24sin3cos1 sin,tan5cos4.（2）解：原式22sincos(cos)316cos1costan()525 18（1）计算：1234232516log 3log 44；（2）化简：212sin40 cos40cos401cos 140【答案】（1）152；（2）1.【分析】（1）由幂运算及对数运算性质化简34168，1225542，log23log34=log24=2，整理即可；（2）由同角三角函数关系式及诱导公式化简即可【详解】（1）1234232516log 3log 44 255158log 410222；（2）212sin40 cos40cos401cos 1
17、40 222sin 40cos 402sin40 cos40cos40sin 140 sin40cos40cos40sin140 cos40sin40cos40sin40 1 19已知函数3()lg1xf xx定义域为 A，集22|240Bx xmxm.（1）求集合 A，B；（2）若xB是xA成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围.【答案】（1）(,13,)A，2,2Bmm；（2）(,1)(5,).【解析】（1）利用对数函数的定义域和一元二次不等式的解法化简求解集合A B、即可.（2）根据xB是xA成立的充分不必要条件，得集合 B 是 A 的真子集，求解得实数 m 的取值范围.第 10
18、页 共 13 页【详解】解：（1）由题意知：30(3)(1)01xxxx，解得3x 或1x.集合(,13,)A.对于集合 B 满足：2224(2)(2)0 xmxmxmxm.又22mm，2,2Bmm.（2）若xB是xA的充分不必要条件，则集合 B 是 A 的真子集，由（1）知，只需满足21m 或23m即可，解得1m 或5m.综述，满足题意的 m 的取值范围是(,1)(5,)【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数的范围，相关结论为：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条
19、件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含 20我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从 2021 年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本 1350 万元，每生产x（千台）电脑需要另投成本()T x万元，且2+100+1000,0 40,()=10000601+-7450,40,axxxT xxxx另外每台平板电脑售价为 0.6 万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知 2021 年共售出 10000 台平板电脑，企业获得年利润为 1650 万元.(1)求该企业获得年利润()W x（万元）关于年产量
20、x（千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】(1)210+500-2350,0 40,()=10000+6100,40.xxxW xxxx (2)100 千台，最大年利润为 5 900 万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040 x时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40 x时，利用基本不等式性质求最大值.【详解】（1）解：10 000 台=10 千台,则(10)1002000Ta，根据题意得：0.6 100001002000 1350165
21、0a，解得=10a，当040 x时，22()0.6 10001350101001000105002350W xxxxxx，第 11 页 共 13 页 当40 x时，1000010000()0.6 1000135060174506100W xxxxxx ，综上所述210+5002350,0 40()=10000+6100,40 xxxW xxxx.（2）当040 x时，22()10500235010(25)3900W xxxx 当25x 时，()W x取得最大值max()3900W x；当40 x时，1000010000()610026100900W xxxxx ，当且仅当=100 x时，max
22、()5900W x 因为59003900，故当年产量为 100 千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为 5 900 万元.21已知函数3()3f xxx(1)判断并证明函数()f x的奇偶性；(2)用定义证明函数()f x在 0,1 上为减函数；(3)已知0,2x，且(sin)(cos)fxfx，求x的值【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)证明见解析(3)4x或54 【分析】(1）根据函数奇偶性的定义进行证明（2）利用函数单调性的定义进行证明（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可【详解】（1）根据题意,函数3()3f xxx是奇函数,证明：函数3()3f xxx,其定义域为R
23、,有3()3()fxxxf x ,则函数()f x 为奇函数;（2）（2）证明：设 1201xx,第 12 页 共 13 页 则 3322121122121122333f xf xxxxxxxxx xx,又由 1201xx,则120 xx,同时:2211221,1,1xx xx,则有22112230 xx xx,故 120f xf x,故函数()f x 在 0,1上为减函数；（3）()f x在R上为奇函数且()f x在 0,1上为减函数,则有()f x 在 1,1 也是减函数,若0,2 x,则1sin1,1cos1xx ,若(sin)(cos)fxfx,必有sincosxx,解可得 4x或54
24、;故4x或54.22已知函数 2226fxxmxm，2xg x.(1)求 gf m的值；(2)若方程 128g fx在区间1,2上有唯一的实数解，求实数m的取值范围；(3)对任意mR，若关于x的不等式 f g xf gxt g xgx在R上恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)64(2)2,01,3(3),2 5 【分析】（1）根据题意得 f m的值，代入求解即可；（2）根据题意得222762=2xmx m，所以110 xmxm，根据零点位置和区间端点位置判断即可求解；（3）根据题意得22222 222+212220 xxxxxxmmt，化简得22(2)(2)22222xxxxt，构造 2
25、2(2)(2)2222xxxxx求解即可.【详解】（1）因为222266f mmmm，所以 66264gfmg 第 13 页 共 13 页（2）由 128g fx，得222762=2xmx m，即22267xmxm，即22210 xmxm，因式分解得110 xmxm，解得1xm或1xm，因为方程 128g fx在区间1,2上有唯一的实数解，注意到11mm，所以11212mm 或11112mm 解得13m，或20m.所以m的取值范围是 2,01,3.（3）由 f g xf gxt g xgx，所以2222222+6+222+622xxxxxxmmmmt，整理得22222 222+212220 xxxxxxmmt 因为式对任意mR恒成立，所以2222 22422+212220 xxxxxxt恒成立，所以 2222222+212220 xxxxxxt，整理得222 222+222xxxxt，即22(2)(2)22222xxxxt 记 22(2)(2)2222xxxxx，因为式在xR上恒成立，所以 2mintx恒成立，令22xxu，因为112222 2222xxxxxx，当且仅当0 x 时，等号成立，所以2u 则 22020+4 5uxh uuuu，当且仅当2 52,u 时，等号成立，所以 4 5minx.所以24 5t，即2 5t，所以实数t的取值范围是,2 5.