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1、导数及其应用 A 组 一、选择题 1已知 f x定义在R上的函数，fx是 f x的导函数，若 1f xfx，且 02f，则不等式 1xxe f xe（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A,01,B 1,C0,D,10,答案 C 解析：设 Rxexfexgxx,，则 1xfxfeexfexfexgxxxx，1f xfx，01xfxf，xg，xgy 在定义域上单调递增，1xxexfe，1xg，又 10000efeg，0gxg，0 x，不等式的解集为0,故选：C.2设函数()(31)xf xexaxa，其中1a，若仅有一个整数0 x，使得0()0f x，则a的取值范围是（）A2,1)e B2 3,
2、)4e C2 3,)4e D2,1)e 答案 D.解析：()4xfxea，由题意得，()f x的单调性为先递减后递增，故0a，即()f x在(,ln)4a上单调递减，在(ln,)4a上单调递增，又(1)20fe，(0)10fa，只需42(1)20faaee，即实数a的取值范围是2,1)e，故选 D.3已知函数 2112xxfxxxa ee 有唯一零点，则a=A.12 B.13 C.12 D.1 【答案】C【解析】函数 f x的零点满足2112eexxxxa ，设 11eexxg x，则 21111111e1eeeeexxxxxxgx，当 0g x时，1x；当1x时，0g x，函数 g x单调递
3、减；当1x 时，0g x，函数 g x单调递增，当1x 时，函数 g x取得最小值，为 12g.设 22h xxx，当1x 时，函数 h x取得最小值，为1，若0a，函数 h x与函数 ag x没有交点；若0a，当 11agh时，函数 h x和 ag x有一个交点，即21a ，解得12a.故选 C.4.曲线13xye在点26,e处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A232e B23e C26e D29e 答案 A 解析:因xey31/31,故切线的斜率231ek,切线方程)6(3122xeey，令0 x得2ey；令0y 得3x，故围成的三角形的面积为2223|321eeS，应选 A。5.
4、曲线sinyxx在点(,0)P处的切线方程是（）A2yx B2yx C2yx D2yx 答案 A 解析：sinyf xx，sincosfxxx，f，曲线sinyxx在点(,0)P处的切线方程是2yxx，故选 A.二、填空题 6已知函数()xxf xaee的导函数()fx的图象关于原点对称，则a 。答案1 解析：依题意 xxfxaee关于原点对称，1a 时 fx为奇函数，符合题意。7已知函数 lnf xxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是_ 答案10,2 解析：1()ln()1ln2fxxaxxaxaxx，由题意1 ln20 xax在(0,)上有两个根，设()1ln2g xxax，若0a，
5、则()g x在(0,)为增函数，()0g x 最多只能有一解，不合题意，故0a，当0 x或者x时，()g x ，1()2g xax，当1(0,)2xa时，()0g x，1(,)2xa时，()0g x，因此1()()2g xga最大，由题意111()1ln20222gaaaa，所以102a 三、解答题 8已知函数2()ln(21),f xxaxax其中0a.（1）当2a 时，求()f x在点(1,(1)f处的切线方程；（2）求()f x的单调区间；（3）当0a 时，判断函数()f x零点的个数.（只需写出结论）.解析：（1）当时，541)(xxxf，0)1(,3)1(ff，所以切线方程为30y.
6、（2）)(xf的定义域：0 xx，xxaxxxaaxaaxxxf)2)(1(1)12(2)12(21)(2，令0)(xf，axx21,121，当0a 时，令0)(xf，得01x，令0)(xf，得1x，)(xf的增区间为0,1，)(xf的减区间为),1(.当21a时，0)(xf恒成立，)(xf在),0(上单调递增，当210 a时，0)(xf，01x或ax21；0)(xf，121 xa，所以)(xf的增区间为0,1，),21(a，)(xf的减区间为)1,21(a.当21a时，0)(xf，1x 或ax210，0)(xf，121 xa，2axxxxf52ln)(2所以)(xf的增区间为)21,0(a，
7、),1(，)(xf的减区间为)1,21(a.（3）当0a 时，零点的个数为1.9设函数 ln1,2abxfxg xxabx（其中e为自然对数的底数，,a bR且0a），曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为1yae x（）求b的值；（）若对任意1,xe，f x与 g x有且只有两个交点，求a的取值范围 解析：（）由 lnabxfxx，得 21 lnabxfxx，由题意得 1fabae，0a，be；（）令 21ln2h xx fxg xxae xaex，则任意1,xe，f x与 g x有且只有两个交点，等价于函数 h x在1,e有且只有两个零点，由 21ln2h xxae xaex，得 xa
8、xeh xx，当1ae时，由 0h x得xe，由 0h x得1xee，此时 h x在1,ee上单调递减，在,e 上单调递增，2211ln022h eeae eaeee，242221112ln2220222h eeae eaeee eeae eee，（或当x时，0h x 亦可），要使得 h x在1,e上有且只有两个零点，则只需22221 221111ln022eeeaaehaeeeeee，即221221eaee，当1aee时，由 0h x得1xae或xe，由 0h x得axe，此时 h x在,a e上单调递减，在1,ae和,e 上单调递增 此时 222111lnln0222h aaaeaeaaa
9、eaeea ，此时 h x在1,e至多只有一个零点，不合题意，当ae时，由 0h x得1xee或xa，由 0h x得exa，此时 h x在1,ee和,a 上单调递增，在,e a上单调递减，且 2102h ee，h x在1,e至多只有一个零点，不合题意，综上所述，a的取值范围为221 2,21eee 10已知mR，函数1()lnmf xmxxx，1()lng xxx.（1）求()g x的极小值；（2）若()()yf xg x在1,)上为单调增函数，求m的取值范围；（3）设2()eh xx，若在1,e（e是自然对数的底数）上至少存在一个0 x，使得000()()()f xg xh x成立，求m的取
10、值范围.解析：（1）由题意，0 x，22111()+xg xxxx，所以01x时，()0g x；当1x 时，()0g x.所以()g x在(0,1)上是减函数，在(1,)上是增函数，故()(1)1g xg极小值.（2）因为()()2lnmf xg xmxxx，所以222()()mxxmf xg xx，由于()()f xg x在1,)内为单调递增函数，所以220mxxm在1,)上恒成立，即221xmx在1,)上恒成立，故max22()11xmx，所以m的取值范围是1,).（3）构造函数2()()()()2lnmeF xf xg xh xmxxxx，当0m时，由1,xe得0mmxx，22ln0ex
11、x，所以在1,e上不存在一个0 x，使得000()()()f xg xh x.当0m时，22222222()memxxmeF xmxxxx.因为1,xe，所以220ex，20mxm，所以()0F x 在1,)上恒成立，故()F x在1,e上单调递增，max()()4mF xF emee，所以要在1,e上存在一个0 x，使得()0F x，必须且只需40mmee，解得241eme，故m的取值范围是24(,)1ee.另外：（3）当1x 时，(1)(1)(1)fgh，当(1,xe时，由()()()f xg xh x，得222 ln1exxmx.令222 ln()1exxG xx，则2222(22)ln
12、(242)()0(1)xxxexG xx，所以()G x在(1,e上递减，min24()()1eG xG ee.综上，要在1,e上存在一个0 x，使得000()()()f xg xh x，必须且只需241eme.11对于函数 yf x的定义域为D，如果存在区间,m nD，同时满足下列条件：f x在,m n上是单调函数；当 f x的定义域为,m n时，值域也是,m n，则称区间,m n是函数 f x的“K区间”对于函数 ln,00,0axx xfxaxa x（1）若1a，求函数 f x在,1ee处的切线方程；（2）若函数 f x存在“K区间”，求a的取值范围 解析：（1）1a 时，1ln0,1f
13、xxx xfxx，则 11fee，函数 f x在,1ee处的切线方程为111yexee，即11yxe（2）100102axxfxaxx，列表如下：x,0 0,a a,a fx 0 f x 减 增 极大值 减 设函数 f x存在“K区间”是,m n（i）当0mn时，由上表可知mannam，两式相减得mnnm，即mnmnmn，所以1mn，代入mannam，得11annamm ，欲使此关于,m n的方程组在0mn时有解，需使ya与210yxxx 的图象有两个交点，21yxx在10,2是减函数，在1,2是增函数，且1023,14xxyy，所以此时满足 f x存在“H区间”的a的取值范围是3,14（ii
14、）当0mna时，由上表可知，lnlnammmannn，即1ln21ln2mamnan，设 2ln1ln,22xxg xgxxx，当0,xe时，0g x，g x为增函数，当,xe时，0g x，g x为减函数，欲使此关于,m n的方程1ln21ln2mamnan有两解，需使1ya与ln2xyx在0,a有两个交点，所以有 1aeg ag ea，解得22eae 所以此时满足 f x存在“H区间”的a的取值范围是22,e e （iii）当amn时，由上表可知，lnlnammmannn，两式相减得，lnln0amn，此式不可能成立，所以此时 f x不存在“H区间”综上所述，函数 f x存在“H区间”的a的
15、取值范围是23,12,4e e B 组 一、选择题 1已知等比数列 na的前n项的和为12nnSk，则 3221f xxkxx的极大值为（）A2 B3 C72 D52 答案 D 解析：因kaSSkaaSkaS4,2,132321211,即2,1,1321aaka,故题设21,1)1(2kk,所以1221)(23xxxxf,由于)1)(23(23)(2/xxxxxf,因此当)1,(x时,)(,0)(/xfxf单调递增；当)32,1(x时,)(,0)(/xfxf单调递减,所以函数)(xf在1x处取极大值2512211)1(f,应选 D.2设函数 fx是函数 f xxR的导函数，02,xffxf x
16、e，则使得 2xxf xxee成立的x的取值范围是（）A0,B1,C0,1 D,答案 A 解析：令 ,11xxxxg xef xx gxef xfx eefxf x ，由 xfxf xe得 0gx，所以 g x在定义域上递增，2xxf xxee即是 20 xg xef xxg，可得0 x，使得 2xxf xxee成立的x的取值范围是0,，故选 A。3定义在R上的可导函数 f x，当(1,)x时，10 xfxf x恒成立，1(2),(3),(21)(2),2afbfcf 则,a b c的大小关系为（）Acab Bbca Cacb Dcba 答案 A 解析：构造函数 1fxg xx（），当1x（，
17、）时，211(0)fxxf xg xx（），即函数g x（）单调递增，则 2222 1fafg（）（）,同理 133,2bfg c2122fg,由 223ggg（）（）,可知cab.故本题选 A 4己知定义在R上的可导函数()f x的导函数为()fx，满足()()fxf x，且(2)f x为偶函数，(4)1f，则不等式()xf xe的解集为（）A(2,)B(4,)C(1,)D(0,)答案 D 解析：因为函数()f x满足(2)f x为偶函数且(4)1f，所以)2()2(xfxf且1)0(f，令xexfxg)()(，则0)()()(xexfxfxg在R上恒成立，即函数)(xg在R上单调递减，又因
18、为1)0()0(0efg，所以由1)(xg，得0 x，即不等式的解集为),0(；故选 D 二、填空题 5若直线0ykx k是曲线 322f xxx的一条切线，则k _ 答案18 解析：262fxxx，设切点为00,x kx，则2003200062,2,xxkxxkx 将代入得32320000262xxxx，即32004xx，00 x或014x，0k（舍去）或18k 6已知函数21(),()2ln2(),f xkx g xxexee若()f x与()g x的图象上分别存在点,M N 使得MN关于直线ye对称，则实数k的取值范围是 ()exf x 答案2,2 ee 解析：设),(),(21ytNy
19、tM,由题意eyy221,即0ln2tkt在,12ee上有意义,即ttkln2在,12ee上有意义,令ttthln)(,求导2/ln1)(ttth,当,12eet 时,etheth)(,1)(minmax,则eke21,即k2,2ee.三、解答题 7已知函数21()ln2()2f xxmxmR。（1）曲线()yf x在(1,(1)f处的切线与直线230 xy 垂直，求m的值；（2）若关于x的不等式2()2(1)1f xmxmx恒成立，求整数m的最小值。解析：（1）1()fxmxx 切线的斜率(1)1kfm 112m，32m。（2）由题意，21ln(1)102xmxm x 设21()ln(1)1
20、2G xxmxm x 1()(1)G xmxmx 当0m时，因为0 x，所以()0G x，所以()G x在(0,)上是单调递增函数，213(1)ln11(1)12022Gmmm 所以关于x的不等式()0G x 不能恒成立，当0m时，21()(1)(1)1()m xxmxm xmG xxx 令()0G x，因为0 x，得1xm，所以当1(0,)xm时，()0G x，当1(,)xm时，()0G x，因此函数()G x在1(0,)xm是增函数，在1(,)xm是减函数，故函数()G x的最大值为2111111()ln()(1)1ln22Gmmmmmmmm 令1()ln2h mmm，因为()h m在(0
21、,)m上是减函数，又因为1(1)02h，1(2)ln204h，所以当2m时，()0h m。所以整数m的最小值为 2。8已知函数 2xaxfxe，直线1yxe为曲线 yf x的切线（e为自然对数的底数）（1）求实数a的值；（2）用min,m n表示,m n中的最小值，设函数 1min,0g xfxxxx，若函数 2h xg xcx为增函数，求实数c的取值范围 解析：（1）对 f x求导得 2222xxxxxxx ex efxaaee 设直线1yxe与曲线 yf x切于点00,P x y，则 0020000121xxaxxeexxaee，解得01ax，所以a的值为 1.（2）记函数 211,0 x
22、xF xf xxxxxex，下面考察函数 yF x的符号，对函数 yF x求导得 2211,0 xxxFxxex 当2x时，0Fx恒成立 当02x时，22212xxxx，从而 2222211111111 10 xxxxFxexexxx 0Fx在0,上恒成立，故 yF x在0,上单调递减 214310,202QFFee，120FF，又曲线 yF x在 1,2上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的01,2x，使 00F x 00,0 xxF x；0,xx，0F x，0201,01min,xxxxxg xf xxxxxxe，从而 2022201,0,xxcxxxxh xg xcx
23、xcxxxe，020112,022,xcxxxxh xxxcx xxe，由函数 2h xg xcx为增函数，且曲线 yh x在0,上连续不断知 0h x在00,x，0 x,上恒成立 当0 xx时，220 xxxcxe在0 x,上恒成立，即22xxce在0 x,上恒成立，记 02,xxu xxxe，则 03,xxuxxxe，当x变化时，,u x u x变化情况列表如下：x 0,3x 3 3,u x 0 u x 极小值 3min13u xu xue 极小，故“22xxce在0,x 上恒成立”只需 3min12cu xe，即 312ce 当00 xx时，2112h xcxx，当0c时，0h x在00
24、,x上恒成立，综合知，当312ce 时，函数 2h xg xcx为增函数 故实数c的取值范围是31,2e 9已知函数 ln(,1mfxnx m nx为常数）的图象在1x 处的切线方程为20 xy.（1）判断函数 f x的单调性；（2）已知0,1p,且 2fp,若对任意,1xp,任意 321,2,222tfxttat与 3222f xttat中恰有一个恒成立,求实数a的取值范围.解析:（1）由 ln1mfxnxx的定义域为0,可得 21mnfxxx,由条件可得 114mfn ,把1x 代入20 xy可得1,y,11,2mf 12,2mn,21ln,12fxxx 221,21fxxx 0,0 xf
25、x,f x在0,上递减.（2）由（1）可知,f x 在,1p上单调递减,f x在,1p上的最小值为 11f,最大值为 2fp,只需32221ttat或32222ttat,即212attt 对1,22t恒成立，或22att对1,22t恒成立,令 21g tttt,则 2322221 2112121tttttgttttt ,令 0g t 可得1t.而2210tt 恒成立,当112t 时,0,g tg t单调递减；当12t 时,0,g tg t单调递增.g t最大值为 1max,22gg,而11172,2424g 1524222g,显然 122gg,g t在1,22上最大值为 522g.又21,2,
26、4tt 522a或124a ,即54a 或18a ,实数a的取值范围是15,84.10已知函数 xexfx2（1）若曲线)(xfy 在点 0,0 xfx处的切线方程为0 yax，求0 x的值；（2）设函数 bxxfxF21，其中 b 为实常数，试讨论函数 xF的零点个数，并证明你的结论 解析：（1）2,2xexexfxx，因为切线0 yax过原点，所以00200000 xxexexexxx，解得：20 x（2）000bxxfF等价于，等价于02bxex，注意0 x 令 bxexHx2，所以 320 xexHxxx（i）当,0,0 xHb所以 H（x）无零点，即 F x定义域内无零点。（ii）当
27、0b，当 x0 时，单调递增；，)(,0 xHxH 因为），在（0-xH上单调递增，而bbebHb11 又01-,11bHeb所以 又因为nbnbeenbnbH111-，其中 Nn，取31bn，所以3,11neenb，由此01-nbH 由零点存在定理知，xH在0-，上存在唯一零点（2）当20 x时，)(,0,xHxH单调递减；当2x时，)(,0,xHxH单调递增。所以当2x时，H（x）有极小值也是最小值，beH422。（1）当 上不存在零点；，）在（时，即040,04222xHebbeH（2）当；上存在唯一零点，）在（时，即204,04222xHebbeH（3）当,0b114,0421122b
28、beHeebbeHbb）（有时，由即 而）上存在唯一零点；，）在（所以20,02xHH 又因为 232224442,32bbebbebHbbb 令321tetht，其中3,3,23,22,2,tttethtethtethbt 所以 上单调递增，在因此2,03,2,theth，从而06)2(2,ehth，06222,ehthth上单调递增，因此，在所以，故 04222ehthth上单调递增，所以，在 上存在唯一零点，即在）上存在唯一零点，）在（由零点存在定理知，由上得2b22,02xHbH 综上所述：；的零点个数为时，函数当；的零点个数为时，函数当；的零点个数为时，函数当；的零点个数为，函数当3
29、42414000222xFebxFebxFebxFb C 组 一、选择题 1已知函数 2212,3ln2fxxax g xaxb，设两曲线 ,yf xyg x有公共点，且在该点处的切线相同，则0,a时，实数b的最大值是（）A6136e B616e C2372e D2332e 答案 D 解析：设切点为(,)x y，则由切点处的斜率相同且切线相同得，20032axax，2000123ln2xaxaxb。因为(0,)a，所以由得x a,并将其代入得，2253ln2baaa设225()3ln2h aaaa,利用导数法求得函数在区间130e（，）上单调递增，在区间13(,)e上单调递减，所以1233ma
30、x3()()2h ah ee,则maxb2332e选 D 2已知直线l是曲线1C：2xy 与曲线2C：)1,0(,lnxxy的一条公切线，若直线l与曲线1C的切点为P，则点P的横坐标t满足（）A210 t B121 t C222 t D12,22 答案 D 解析：记直线l与曲线2C的切点为因为,ln,0,1mmm,则直线l的方程为1lnymxmm,又直线l的方程为22ytt xt,从而12tm且2ln1mt ,消去m得21ln12tt ,即 21ln 210,2ttt,设 21ln 21,2fxxxx,则 21122xfxxxx,令 0fx 解得1222x,则函数 f x在12,22上递增，又
31、102f，12,22无零点，0fx 得 f x在2,2上单调递减，可得 20,30ff，所以12,22，故选D.3已知函数 lnf xxxx,若kZ,且 2k xf x对任意的2x 恒成立,则k的最大值为（）A3 B4 C5 D6 答案 B 解析：由题设可得2lnxxxxk,令2ln)(xxxxxh,则2/)2(ln24)(xxxxh.令xxxgln24)(.则函数xxxgln24)(的零点就是函数)(xhy 的极值点.设0ln24xx并记极值点为0 x,则24ln00 xx,由于03ln45)9(,044)(22geeg,故970 x,而且不难验证当02xx 时,0)(/xh,)(xh单调递
32、减；当0 xx 时,0)(/xh,)(xh单调递增,所以22)24(2ln)()(0000000000minxxxxxxxxxxhxh,因此20 xk,由于Zk且970 x,所以4maxk,故应选 B.4 已知函数,0,()ln,0 xxxef xxxx，12()421()xxg xaaaaR，若()f g xe对xR恒成立（其中e是自然对数的底数），则a的取值范围是（）A.1,0 B（-1,0）C 2,0 D1,02 答案A 解析：当0 x时,01)(2/xxxxexexeexf,故函数)(xf在)0,(上单调递减；当0 x时,2/ln1)(xxxf,故当ex 0时,0)(/xf,函数)(x
33、f在),0(e上单调递增；当ex 时,0)(/xf,函数)(xf在),(e上单调递减.故在),0(上函数取最大值)(xfeexf1)(max.而当0 x时，设eexx,可得1x，故不等式()f g xe可化为1)(xg,即不等式02242aaaxx在(,0)恒成立，令2,(0,1)xtt，也即不等式0222aaatt在(0,1)上恒成立。当对称轴0a时,只需02 aa，即01a时不等式恒成立;当1a时，只需0212aaa，但这不可能；当10 a时，则只需02222aaaa，这也不可能.所以综上实数a的取值范围是01a,应选 A。二、填空题 5已知函数()|e|()exxaf xaR在区间0,1
34、上单调递增，则实数a的取值范围是_.答案 1,1.解析：当0a 时，()|e|eeexxxxaaf x，则函数的导数2e()e,eexxxxaafx且()0f x 恒成立，由()0fx 解得2,xea即1ln2xa，此时函数单调递增，由()0fx 解得2,xea即1ln2xa，此时函数单调递减，若()f x在区间0,1上单调递增，则1ln0,2a解得01a，即(0,1.a当0a 时，()|e|eexxxaf x 在区间0,1上单调递增，满足条件当0a 时，eexxay 在R上单调递增，令e0exxay，则ln,xa则()|e|exxaf x 在(0,lna 为减函数，在ln,)a上为增函数则l
35、n0a，解得1a.综上，实数a的取值范围是 1,1，故答案为：1,1.6已知函数axxxxfln)(在e,0上是增函数，函数2)(2aaexgx，当3ln,0 x时，函数)(xg的最大值M与最小值m的差为23，则a 答案25解析：因为函数axxxxfln)(在e,0上是增函数，所以0ln1)(xaxf在e,0上恒成立，即02a，即2a；因为axaaeaxaeaaaexgxxxln,2ln0,22)(222，若3lnlna，即3a时，)(xg在3ln,0单调递减，则2)3(ln)0(ggmM（舍），当3lnlna，即32 a时，函数)(xg在aln,0上递减，在3ln,ln a上递增，且042)
36、3(ln)0(agg，所以23)(ln)0(aggmM，即2312)21(22aaaa，解得25a；故填25 三、解答题 7设函数 2123ln2fxxmxx mR（1）讨论函数 f x在定义域上的单调性；（2）若对任意的1,2x，总有 2f x ，求m的取值范围 解析：（1）函数 f x的定义域为 223110,23xmxfxxmxx 令22310 xmx，则22342125mmm 当1522m时，0，所以22310 xmx，从而 0fx；当52m 时，因为0 x，所以22252312312102xmxxxxx ，所以 0fx；当12m 时，0，方程22310 xmx 有两个不相等的实数根1
37、2,x x（不妨设12xx）因为12121323220,102xxmx x ，所以120,0 xx，所以当12xxx时，22310 xmx，从而 0fx；当10 xx或2xx时，22310 xmx，从而 0fx 综上可知，当12m 时，函数 f x在定义域0,上单调递增；当12m 时，函数 f x在区间10,x和2,x 上单调递增，在区间12,x x上单调递减，其中22123224432244,22mmmmxx（2）2f x ，即2123ln22xmxx 在区间1,2上，221ln211ln2223ln22322xxxxmxxmxxx 令 1ln2,1,22xg xxxx，则 2221ln21
38、2ln222xxxgxxx 令 22ln2,1,2h xxxx，则 22 1220 xh xxxx，所以函数 h x在区间1,2上单调递减因为 110,22ln220hh，所以存在唯一的01,2x，使得 00h x，且01,xx时，0h x，即 0g x；当时0,2xx，0h x，即 0g x 所以函数 g x在区间01,x上单调递增，在区间0,2x上单调递减，因此在 1,2上，minmin1,2g xgg 因为 15ln22ln212,2122222gg ，所以 1ln21 ln2210222gg，即 21gg 故当1,2x时，1g xg因此5123,24mm 故实数m的取值范围是1,4 8
39、已知函数(1)()ln().a xf xxaRx（）求函数()f x的单调区间；（）求证：(1,2)x，不等式111ln12xx恒成立 解析：（）()f x的定义域为(0,)，2()xafxx 若0,()0afx，()f x在(0,)上单调递增 若0a，当(0,)xa时，()0fx，()f x在(0,)a单调递减，当(,)xa时，()0fx，()f x在(,)a 单调递增（）11112 ln12xxx等价于(1)ln2(1)0 xxx 令()(1)ln2(1)F xxxx，则(1)1()ln2ln1xF xxxxx 由（）知，当1a 时min()(1)0fxf，()(1)f xf，即1ln10
40、 xx.所以()0F x，则()F x在(1,2)上单调递增，所以()(1)0F xF 即有12x时，111.ln12xx 9已知函数 2ln01xf xaxxx aa且（1）求函数 f x在点 0,0f处的切线方程；（2）求函数 f x的单调区间；（3）若存在12,1,1x x ，使得 121fxfxe（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围 解析：（1）因为函数 2ln0,1xf xaxxa aa，所以 ln2ln,00 xfxaaxa f，又因为 01f，所以函数 f x在点 0,0f处的切线方程为1y （2）由（1），ln2ln21 lnxxfxaaxaxaa，因为当0,1aa时，总
41、有 fx在R上是增函数 又 00f，所以不等式 0fx的解集为0,，故函数 f x的单调增区间为0,，递减区间为,0 （3）因为存在12,1,1x x ，使得 121fxfxe成立，而当1,1x 时，12maxminfxfxfxfx，所以只要 maxmin1f xf xe 即可 又因为 ,x fxf x的变化情况如下表所示：x,0 0 0,fx 0 f x 减函数 极小值 增函数 所以 f x在1,0上是减函数，在 0,1上是增函数，所以当1,1x 时，f x的最小值 min01f xf f x的最大值 maxf x为 1f 和 1f中的最大值 因为 11111ln1ln2lnffaaaaaa
42、a ，令 12ln0g aaa aa，因为 22121110gaaaa，所以 12lng aaaa在 0,1,1a上是增函数，而 10g，故当1a 时，0g a，即 11ff；当01a时，0g a，即 11ff 所以，当1a 时，101ffe，即ln1aae，函数lnyaa在1,a上是增函数，解得ae；当01a时，101ffe，即1ln1aea，函数1lnyaa在0,1a上是减函数，解得10ae 综上可知，所求a的取值范围为10,aee 10设函数2()ln(1).f xxmx （1）若函数 f x是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若1m ，试比较当(0,)x时，f x与3x的大
43、小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式201 42 9(1 n)n(3)2n neeee 成立 解析：（1）222()211mxxmfxxxx又函数()f x在定义域上是单调函数 ()0fx或()0fx在(1,)上恒成立 若()0fx在(1,)上恒成立，即函数()f x是定义域上的单调地增函数，则2211222()22mxxx 在(1,)上恒成立，由此可得12m；若()0fx在(1,)上恒成立，则()201mfxxx在(1,)上恒成立即2211222()22mxxx 在(1,)上恒成立 2112()22x在(1,)上没有最小值 不存在实数m使()0fx在(1,)上恒成立 综上所述，实数m的取
44、值范围是1,)2 （2）当1m 时，函数2()ln(1)f xxx 令332()()ln(1)g xf xxxxx 则32213(1)()3211xxg xxxxx 显然，当(0,)x时，()0g x，所以函数()g x在(0,)上单调递减 又(0)0g，所以，当(0,)x时，恒有()(0)0g xg，即恒成立 故当时，有3()f xx （3）法 1：证明：由（2）知),0(),1ln(32xxxx 即),1ln()1(2xxx 令xn，nN，即有2(1)ln(1),nnn 所以2(1)1nnen（nN）因此201 42 9(1)(3)2345(1)2nnn neeeen 故对任意的正整数n，
45、不等式201 42 9(1)(3)2n nn neeee 成立 3()0f xx(0,)x法 2：数学归纳法证明：1、当1n时，左边=10e，右边=2241，原不等式成立 2、设当kn 时，原不等式成立，即2)3(2)1(92410kkeeeekk 则当1 kn时，左边=222)1()1()11()1(924102)3(kkkkkkekkeeeee 只需证明2)4()1(2)3(2)1(kkekkkk 即证22)1(kekk，即证)2ln()1(2kkk 由（2）知),0(),1ln(32xxxx 即),1ln()1(2xxx 令1 kx，即有)2ln()1(2kkk 所以当1 kn时成立 由 1、2 知，原不等式成立