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1、专题1 6导数及其应用【2 014年高考真题】1.【2 014高考安徽卷文第15题】若直线/与曲线C满足下列两个条件：（i）直线/在点P（Xo,打）处与曲线。相切；（而）曲线。在p附近位于直线/的两侧，则称直线/在点尸处“切过”曲线C.下 列 命 题 正 确 的 是（写出所有正确命题的编号）直线/:夕=0在点尸（0,0）处 物 过”曲线C：y=x3直线/:x =1在点产（1,0）处“切过”曲线C ：y=（x +直线/:夕=x在点尸（0,0）处“切过”曲线C：y=sinx直线/:夕=x在点尸（0,0）处“切过”曲线C ：y=tanx直线/:夕=x 1在点尸（1,0）处“切过”曲线C：y=I nx
2、【答案】【解析】由题意，了=/上在Fu,O i处的切线方程为x =0,曲线C在尸附近位于切线的两侧，满足条件；y=（x+l）2上 在R L O i妇的切线方程为x =0,曲线C在尸附近位于切线的同侧，不满足条件；y=si nx上在P Q O i处的切纥方程为了:,定线C在尸附近位于切线的两侧，满足条件；=1跄工上在户0,01处的切线方程为了=%,曲线C在尸附近位于切线的两侧，满足条件；丁=l nx上在R LO i处的切线方程为了=工-1，曲线C在尸附近位于切线的同侧，不满足条件.故选.如下图:【考点定位】函数的切线方程2.12 014 高考广东卷文第11题】1 1.曲线夕=-5/+3在点（0,
3、-2）处的切线方程为【答案】1y=-5工-2或5工+*-0.【解析】.y=-5e+3,-故所二、的切线的字.弓代=一为=一5,故所求的切线的方程为y-i-2i=-5 x山丁=-5工-2 N 5x+y+2=0.【考点定位】导数的应用3.12 014 高考湖南卷文第9 题】若0 玉/I n x2-I n/B,e*-ex xtet2D.x2eXl xteX2t答案】c【解析】设函数y g =J-l n x 且 二水函数寸寻可得X1|T T -1|j p=/-上，g i x i =一5，因为xee l i,所 尸 符 号不确定且g x i 0,所以函数X XXI 单调性不确定，函数g i XI 在 电
4、 l i 上 白 生 疯 贝 I j g i j q x2ex 0,则。的取值范围是()(2,+8)(B)(l,+o o)(C)(-8,-2)(D)(-c o,-1)【答案】C【解析】根据题中函数特征，当a =0广.函 数.彳.;)=-3,.1显然有两个零点且一正一负；当白0时，求导可得：/(X)=玄-6 x=3 x(a x-二)，利用耳颔:的正U与函数单调性的关系可得：xe (-8,0)和x e(2,帝)时函数单调递增，xe (0,2)时巴故单调=诚，显，厅在负零点；当a 0时，求导可得：a ao/*(x)=3 a x2-6x =3x(a x-2)利用导致印正负与函数占.匕的关系可得：x e
5、(-o o,)ft x e (0,-K)S ta函 数 单 调 述 减xe (2,0)时函数单调展噌，Z要使得函散有唯一的零点且为正，则满足：,即。7(0)0得：(/3-3(1小0,可解得：/4,则a 2(舍 若),a l,所以0 工 1,故X X X左的取值范围是 1,+0 0).【考点】导数的应用-x +a,x 0,.X围是.【答案】(-0。,2【解析】山题意，当x 0时，/(x)的极小值为/(I)=2,当x 0时，/(x)极小值为/(0)=a ,/(0)是/(x)的最小值,则a42.【考点】函数的最值问题11.12014高考安徽卷文第20题】设函数/(x)=l +(l +a)x Y d,
6、其中a0(1)讨论/(x)在其定义域上的单调性；(2)当xe 0,l 时，求/(x)取得最大值和最小值时的x的值.【答案】(1)/)在(-0 0,土)和(9,+8)内单调递减，在(0毛)内单调递增；(2)所以当0。1时，f(x)在x=l处取得最小值；当a=l时，f(x)在x=O和x=l处同时取得最小只；当la4时，f(x)在x=0处取得最小值.【解析】(1)对原函数进行求导，/(x)=l +a-2x-3x2,令f(x)=O,解得xx=9 3 a,马=+：+.知 当工%或毛时/(x)O.ifef(x)在(8,毛)邙 2，+内单调递减，在(外,毛)内单调递增.(2)依据 第(1)题，对a进行讨论，
7、当a之 j,“由(1，知，f(x)在 0,1上单调递增，所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最.眉.当0-，/4时，/1由(1)知，f(x)在 0,马 上单调速噌，在 三 上单调递减，因此f (%)7tx=电=-1 +9*”处取得最大值.又f(0)=l、/Q)=a,所以当0al时，f(x)在、，=1处取俱最小值；当a=l时，f(x)在x=0和x=l处同时取得最小只；当la4时，f(x)在x=0处取得最小值.(1)f(x)的定义域为正,r(x)=l+a 2%一3一.令/，(x)=O,得-1 4+3a 1 +J4+3a .,、/./=-，毛=-,毛 x2,所 以/(X)=-3(x-毛)(
8、工一毛).当x 毛时当天 工 0.故/(X)在(-叫 毛)和(马叶0 0)内单调递减，在(W，毛)内单调递增.因为a 0,所以王 0当a 2 4时，x2 1,由(1)知，f(x)在 0,1上年周递噌，所以f(x)在x=0和x=l处分别取得最小值和最大值.当0 a 4时，马 1山(1)知，f(x)在 。,马 上单调通噌，在 马 上单调递减,因 此/(X)在x=/=_1+二+5 处取得最大俨7/(0)=l,/U)=a,所以当0 a 1时,/(X)在x=l处取得最小值；当a=l时，=0和v-1处同时取得最小只；当l a 4时，f(x)在x=0处取得最小值.【考点定位】导致的应用12.12014高考北
9、京卷文第20题】已知函数/(x)=2x3-3x.(1)求/(x)在 区 间 上 的 最 大 值；(2)若过点P(l,/)存在3条直线与曲线y=/(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点/(一1,2),8(2,10),。(0,2)分别存在几条直线与曲线 =/(x)相切？(只需写出结论)【答案】0;(-3,-1);详见解析.【解析】(1)由/(x)=2/-3 x得/。)=6/一3,令 二 )=0,得 工=一 手 或 工=学，因为/(-2)=-10，/(-)=V2,_ 而)，因此一 比=(6勺2-笏(1 一 通),整 理 律4勺3-,/+?U,设g(x)=4 6X2+3,则“过点产(匕)存 在3条直
10、线与曲线y=/(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”，g(x)=12x2-12x=12x(x-l).g(x)与g(x)的情况如下:X(-8,0)0(0,1)1(1,+0)g(x)+00+g(x)/t+3/+1/所以，g(0)=Z +3 是 g(x)的极大值，g =+1 是 g(x)的极小值，当 g(0)=2+3W0,即工-3 时，此时g(x)在区间(-8,1 和(l,4 o o)上分别至多有1 个零点，所以g(x)至多有2 个零点，当 g(l)=+1 2 0,时，此时g(x)在区间(-8,0)和 0.2)上分别至多有1 个零点，所以g(x)至多有2 个零点.当 g(0)0 且 g(l)0
11、,即一3 -1 时，因为70,所以g(x)分别为区间-1,0),0,1)和 1,2)卜，：零点，中于g(x)在区间(-8,0)和(1,施上单调，所以g(X)分别在区间(-8,0)和口,+8、二恰有1 个零点.综上可知，当过点尸(1/)存 在 3 条直线m注线相切k，t的取值范围是(-3,-1).(3)过 点 A(-1,2)存 在 3 条直线与曲线y =/(x)相切；过 点 B(2,1 0)存 在 2 条直线与曲线y=/(x)相切；过 点 C(0,2)存 在 1 条直线与曲线y=/(x)相切.1 3.2 0 1 4 高考大纲卷文第2 1 题】函数f(x)=a x3+3 x2+3 x(a/0).(
12、1)讨论函数R x)的单调性；(2)若函数f(x)在 区 间(1,2)是增函数，求 a的取值范围.【答案】(1)a2l时，在(-c o ,+o o )是增函数；0 a l 时，f(x)在(一 o o,X2),(xi,+0 0 )匕 是增函数：f(x)在(X/X,)上是减函数：(2),0)U(0,+8)4【解析】(1)首先求出函数的导数，然后求出 是/(x)0 或/(x)0成立的条件，并求出参数a的取值范围即可(1)=3ax2+6 x+3,/(x)=3 a x?+6 x+3=0的判别式a=3 6 (1-a).(i)若6 1,贝之0,且丁(必0当且俨当a=L k 1,故此时f(x)在R上是噌函数.
13、(i i)由于 a W O,故当息 0 故 f(x)在(-8,x：)(x：+8)上是噌函数，当xG (x；x：)时，/(x)0,x0时，f(x)0,所以当a 0时，f(x)在 区 间(1,2)是噌函数.若小。时，f(x)在 区 间(1,2)是噌函数当且仅当/(I)之。且/(2)2 0,解得2M a 0 时，x2 ex(3)证明：对任意给定的正数e,总存在%,使得当xe(Xo，+8)时,恒 有xc e*【答案】当x=l n 2时,/有极小值/(I n 2)=2-I n 4,/(x)无极大值.(2)见解析.(3)见解析.【解析】(1)由/(0)=1-。=-1,得a=2.从而 f (x)=ex-2.
14、令/(x)=0 ,得驻点x=I n 2 .讨论可知：当xl n 2时，/(x)l n 2时，/(X)0,/(x)单调递噌.当x=l n 2时，/(x)有极小值/Q n 2、=2-l n d,/(x)于:极大值.(2)令g(x)=e*-/,则 g(x)=-2 x.根据8 0)=/。)2 _/(1 1 1 2)=2-1 1 1，0,如占(x)在 Q 上单调递噌，又g(0)=l 0,当 x 0时，由 g(x)g(0)0,即空.(3)思 路 对 任 意 给 定 的 正 数c,?.C根据/得到当时，C思路二：令上=1(左0),转化得工；只需x、立.c分0 9应用导致研究/(x)=x-l n x-l n上
15、的单调性.思路三：就匕之1,0 匕1,加以讨论.解法口(1)由/(x)=/a x,得/(工)=/一4.又/(0)=1 a =1,得a =2.所以/(x)=e*-2 x/(x)-e?-2.令/(x)=0,得x=；n 2.当xl n 2时，/(x)l n 2时，f X x j 0,_/(元；“弓递增.所以当x=I n 2时，了。汴 极小值，且极小值为/Q n 2)=产 一 2 1 n 2 =2 -I n 4,/(x)无极大值.(2)令g(x)=e*-/,则 g(x)=e*-2 x.由(1)得，g(x)=/(x)/(I n 2)=2 -I n 4 0,即 g(x)0.所以g(x)在R上单调递噌，又g
16、(0)=l 0,所以当 x0 时，g(x)g(0)0,即/0时，x2 v/.所以当了 与时，x2 x,即八c因此，对任意给定的正数c,总存在画，当xe (而,4 0 0)时，恒有x v c/.解法二：(1)同解法(2)同解法丁.(3)令上=(上 0),要 使 不 等x 成立，匚要产 去成立.c而要使e*Ax成立,则只需人即x l r .十I n k成立.若0 Lx之I n 矛+l n后成立.即对任意c e L+o o),取 而=0,当xe (而,+0 0)时，恒有x v c e.1 若上 1,令人(x)=x-l n x-l n h 则4(x)=l-=-,x x所以当五 1时，h(x)0 ,%0
17、)在(1,4 0 0)内单调邀曾.取=4上，6 a o)=4左 一 l n(4 A)-I n A=2(k-I n A:)+2(k-I n 2)易知人 I n左，k n 2 ,所以力(%)()._4，一因此对任意C (0,1),取与=,当工(%,+8)时，恒有xc e C综上，对任意给定的正数C,总存在,当X(Xo，+8)时，恒有x 2 x,所以当 xe （而,+0 0）时，有c o”之/2 x x,即xc c e”.若0 c l n时，A（x）0 ,%（工）单调递窄.c2取 飞=2 1 n ，c,、过 0 1 2 2 2力（而）=ce c-2 1 n =2（-I n -）,c c c2 2 易
18、知一-出一 0,又及（x）在（而,+双而）0,即综上，对任意给定的正数c,总存在演，当xe （飞,+0 0）时，恒有x【考点定位】导致的计算及导致的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.1 5.【201 4高考广东卷文第21题】已知函数+Q X+1 （Q 尺）（1）求函数/（X）的单调区间；（2）当 0进行分类讨论，根据导数的M负求出函数/（x）的单调区间；（2）由作差法/（%）/0将等式进行因式分解，得到/（x。）-）（4 x；+1 4 x 0+7 +1 2。），于是将问题转化为方程 4 x；+1 4 x 0+7 +1 2。=0 在（0,卯（g,l）上有解，并求出该方程的两
19、根，并判定其中根演尸耳=-7+一48a在区间(。,加朋上,并由0 f 1以 及+4：-4弘=|确定满足条件/,/时”的取值范围，然后取相应的补集作为满足条 件/1帚=_/(?)时a的取值范围.(1)/ix i=/+2五 +,方程 X，+2x+=。的判别式jA=4-4，当口之1时，A 0,贝I J/E N 0,叱时力r在K)之碧函数；当 0 9解得x Ji a,解彳、等式x+2x+以 0 9 解得：-J l-a-1 (2,此时，函数力凶 的单调递噌区间声ooi-3二7 i和 1+而7 z 0 1，单调递减区间为I 1-Jl a,1 +J l-a I ；综上所述，当时，函 数 的 单 调 递 噌
20、区 间 为lYO,48i，当a 1时，函 数/1 xi的单调递噌区间为I -o0，-1一 J l-a I和 -1 +J1-a,+oo,单调递减区间为I -1-Jl-a,-1 +J l-a I ；g)=$；+x；+/+1 _；.(3)+(g)+a，g+l3_*(I +x；-0 +h。-1=4卜。一 心+与+|+卜。.小。+扑心)若存在使得/)=/(：/1/I X必须4k+14而+7+12以=0在o,_ U-,1上有解，I 2J 12 J*:a 0,LM而t 7 4-2 J21-482 7 J21-48a万程的两根为x=-1-=-1-,-14+2121 4 4 7+421 48a:-=-，8 4c
21、t-7+J21-Sda而 0，%=勺=-，依题意，0 一,十 皿1一4。以 ,即 彳J21-48 T,425 749 21 48 121,艮 口 以 0,即0 x e时,函 敢j(x)单泻递增;当了(工)e时，函数了(“单调漫式；故函数，(x)的单调噌区间为(0,e),5调减区f l j为(e 3 Q).(2)因为 e 3 ”，所以 e l n 3 r，7 r M-.i n 3 .即 l n 3 l n k，I n e1 ,于是根据函数y =l n x、y=e,y =兀 主 定义域上单调递噌，所以3 7 f(苏，e3 e”3,，故 这6个数的最大数在 炉 与3,之中，最小数在3 与之中，由e
22、3 4及(1)的结论得/(3)/(e),即叱V吧包,7T 3 e由 史 也得1n工 ,7T 3由 也也得 1n 3 I n/,所以3，0).(1)求/(x)的单调区间；1 I 1 7(2)记王为/(x)的从小到大的第，(i e N*)个零点，证明：对一切 w N*,有-5r+0 L求x，大 于0和小于0的解集得到单调减区间和单调噌区间,但是必须注意正余弦的周期性和原函数的定义域I 0,-KO.利用问的结果可知函数 力x在区间(0,m上是单调递减的,即 力x，在区间10,m上至多一个零点，根据正余弦的函数值可得/(2)=0=g,再根据/.X.在区间上 wr,5 +h不 单调性和函数/XI在区间I
23、皿I%+117n端点处函数g聂号可得函数了|XI在区间(见3 +1 I7H上有且只有一个零点，即n?r xK+1 i+l izr=-)，一 Oi,令/“xi=0可得x=k7Vk 27*i,当 x e 2k?r,2上 +1 M ke 曾*i时，sinx 0.此时b/(xi 0,故函数小x 的单调递减区间为 2k7T,y2k+nyk&N*,单调递噌区间为“2k+11兀 2片+2 ITTII上c W*i.由可知函数dx i在区间(0,m上单调递减，又(?)=0,所以再=?当万 6 曾*时,因 为 力 阀不(%+1|箱=-1 1*7T+1J-1 I*11 +11 7T+1 0,且函数 17 t XI
24、的图像是连续不断的,所以/|XI在区间I切,5+11杆I内至少存在一个零点,又_/I X I在区间i7T,i +1 IFI是单调的，故 市 4+1 IM+1S,因此，=13 时，r1 =4-7 3时,14+1 +1中+1 1 1 1 1 r 1 1=F +f l-71-17 -r 5 d-1-F-%x；x；x；乃1x2(/7-2)(/?-1)综上所述，对 切 的 wN*,2 .31 1 1 +再 W X,【考点定位】导数及其应用1 8.12014高考江苏第19题】已知函数/(x)=e*+e 7,其中e是自然对数的底数.(1)证明：/(x)是/?上的偶函数；(2)若关于x的不等式切XxlW eT
25、+m-1在(0,+8)上恒成立，求实数加的取值范围；(3)已知正数。满足：存在xe(l,+8),使得/(x0)/+3%)成立，试 比 较 与/t的大小，并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析；(2)活工-工(3)当L(e+3 ae时，e N a f 当a=e时，e =c f-3 2 e当时，产1成【解析】(1)证明：函数了)定义域为五，/(x)=e f+/=0时，然 1,因此/(x)=+g 2,即/(x)1 1 0,所/(x)-1 ex+ex-1 e+l-el-e*1 H-z?+t 1 11y=设=1一炭，则20,-=J=+-1,-0,.-.t+-2 (Z =-1 3 e2 x+l-ex、t
26、 t号 成 立),即1工一2-1=一3,j7 所以?y 3 3(3)由题意，不等式(工)。(一/+3 X)在口,+0 0)上有解，由/(工)。(一/+3力得oa3-3a x+ex+ex 记力(x)=a N -3 a x+e*+e-*,k(x)=-1)+ex-ex 显然力=0,当x l时，A(x)0 (因为a 0),故函数：力(%)在 1,+co)上噌函数:，(x)星小=，于是内8)0在 1,+8)上有解，等价 于%(D=a-3 a+a +L (e+l)l.考察函数e2 盘g(x)=(e-l)l n x-Cc-l),Cc l),g (*-1,当x=.-l时，g 8 =0,当时，Xg,3 0,当x
27、 e-l时?(工)0,即 二:在“道-”.罡噌函数，在(e-l,+co)上是减函数，又g Q)=O,g(e)=0,1(e+1)1,所以当 1 (e+3 x 0,8 P(e-l)l n x x-l,ex1,当 x e2 e 2?时，g(x)0.P(e-l)l n x x-l,.；1 ex 因此当e +3 a e时，e0-1 e时，e Z T.【考点】(1)偶函数的判断；(2)不等式域成立问题与函数的交汇，(3)导数与函数的单调性，比较大小.19.1 2 0 1 4高考江西文第1 8题】已知函数/(x)=(4/+4办+/),其中“o.(1)当a =4时，求/(x)的单调递增区间；(2)若/(x)在
28、区间 1,4 上的最小值为8,求a的值.2【答案】(0,)和(2,+8),(2)-1 0.【解析】(1)利用导数求函数单调区间，首先确定定义域：0,+8),然后对函数求导，在定义域内求导函数的,、/。)、厂 4 x2+4a x +a2 2 0 x2+1 2 a r+2(1 0 x +a)(2 x +a)、=.,零点：/(x)=(8 x +4“)Jx +-,=-=-,=-=-当。=-4 时，2y/x 2yx 2y/x/，(X)=2(5X?(X 2),由/，(x)=o得=2或x =2,列表分析得单调增区间：(0,2)和(2,+oo),(2)已知函数最值，求参数，解题思路还是从求最值出发.由(1)知
29、,“、A、r 4 x2+4a x +a2 2 0 x2+1 2 or+i72(1 0 x +a)(2 x +a)fx)=(8 x +4a)y/x +-尸=-尸-=-乍-,所以导函数的零点为2y/x 2Vx 2y/xX =R或X =g 列表分析可得：函数增区间为(0,得)和(一+8),减区间为(养9.由于/(_ 彳)=0,所 以 _1 e 1,4,当0 _ 1 4时，/(女”1 沦 八1),/(4),由于 1)#8,所以/(4)=2(6 4 +1 6 a +*=8,且/(4)/(1),解得。=1 0或。=6 (舍)，当。=一1 0时，/(x)在(1,4)上单调递减，满足题意,综上o=-1 0.(
30、1)定义域：0,+8),而/,=(8 x +4a)&+-+4”=20 x2+管+/=(10 x+喂+。)，当。v时，2Tx 2 vx 2y/xf(x)=2(5x二警二 2),由 /,(x)=o 得 X =2 或 x =2 ,列表:Jx 5X(0,|)25(|,2)2(2,+oo)fM+00+2所以单调增区间为：(0,1)和(2,+8),(2)山(1)知，、小 A、厂 4 x2+4 7X+a2 2 0 x2+1 2 or+JxX =，或X =-|,列表分析可得：函数增区间为(0,)和(一|,+8),减区间为(一养，一最).由于/(|)=(),所以e 1,4,当0 _ 4时，/(x)m M=m i
31、n /,/(4),由于/工8,所以/(4)=2(6 4 +1 6 +。2)=8,且/(4).【答案】详见解析；(2)详见解析【解析】(1)依题意，只需证明函数了(X)在区间(0,今 上 存 在唯一零点.往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点，从而判断函数大致图索，进而说明零点分布情况.本题当x e(0,殳 时，/(x)0,故/(x)在(0,令)上为噌函数，再说明端点函翻g患；(2)与(1)类似，只需证明函数g(x)在区间(，,用上存在唯一零点.但是不易利用导数判断函数g(x)=(7T-x)/空+-1大致图霆，考虑到结论中1 +sin x 7T 7 TX o+X j 7T,故需考虑第二间与第一
32、间的芳系，利 用 的 结 心，设=开一工，则f e(0,5),口)=/，根据第一问中了(介的侍号，可判断色数的单调性，进而判断函数u(Z)大致图7T(l +sin t)蓼，确定函数的零点，寻求函数g。)的零点与“零点冏关系，从而证明不等式.证明：当x e(0令 时，/(x)=7T+7FS)r,/cos X 0,所以/(x)在(0,令 上为噌函数.又_2/(0)=-T T-2 0 加以存在吃 f C (。,，使八 而)=0.(2)当 占6(三,用时，化简得 g(H=(r-X、-+2-1.令=开一工.记=g(；T T)=-2 1 4-sin x 7V匕 史 一 四+1.6(0,马.则=/.由得，当
33、z c(0,X。)时，0.从而在(而,令 上 处 为噌函数，由 吗)=0知，当俎 而 百 时，咐 0,所以收)在 而,今 上 无 零 点.在(0,X。)上必(/)为减函数，由(0)=1及。(%)0撅 藕 唯 一4 (0,x0),庾得7T 7Tu(x o)=0 .于是存在唯一4 e(。，)，使得以备)=0.设药=7r-t0 e(,T T).g(x j =g Q r f)=6)=0ZT.因此存在唯一的勺e(5，开)，使得g(x D=0.由于玉=开一4,4 开.【考点定位】导数的应用2 1.【2 0 1 4高考全国1文第2 1题】设函数/()=1 1 +宁/一 以(4 W 1),曲线y =/(x)在
34、 点(1,/)处的切线斜率为0(1)求 b;(2)若 存 在 使 得/(x 0)0,在Q )单源7噌，所史，存 在 丽 之1,使得了(而)J 的充要条以一1件为了6一，BP-1 1,故(2 -1 2 a 1 2 1 -当xe Q/一)时，/J，x)在(1,一)单调递减，在(3,田)-a -a -a 1-a单调递增.所以，存在近2 1,使得/a：一的充f,、=*为(旦)1,则/(1)=上巴一1=三 口 一.冰上，a的取值沱围是(一点一1,应1)U(1,T 8).2 2 -1(1)/(%)=+(l-a)x-6，x由题设知/(1)=0,解得占=1.(2)/(x)的定义域为(0,用)，由(1)知，/(
35、x)=a l n x +-五，”,/、a/V 、4 1-以/a 、，八/(x)=-+(l-a)x-l =(X-)(x-l)x x 1-a(i)若工，则 一 工1,故当x wQ+oo)时，/(X)0 /(x)在(1,+oo)单调递噌，2 1-a所以，存在为之1,使得/(%)一的充要条件为了(1)二 一，即 匕?一1 ，_,a-a-1 2 a-所以-血-1 a A/2 1.(ii)若l。1,故当 x w(l,L)时，/,(x)0；2 1-0,/(x)在(1,一)单调递减，在,+8)单调递增.-a -a -a所以，存在x 0 2 1,使得/(/)勺 的充要条件为/(L)/二，所以不合题意.1-a l
36、-a 2(1 a)a-a-(i i i)若al,则/(1)=4 l =2 2 a-综 匕a的取值范围是(一行l,J I l)U(l,+8).【考点定位】导数的应用2 2.12 014高考全国2文第2 1题】已知函数/(X)=x 3-3/+办+2,曲线歹=/(X)在点(0,2)处的切线与X轴交点的横坐标为一2 .(I )求。；(H)证明：当左 1时,曲线y=/(x)与直线y=而一 2只有一个交点.【答案】a=h(2)详见解析.【解析】(1)尸(x)=3 x?-6 x+a ,电 导 数 融 煦 意 义 得k =1(0)=a ,故切线方程为y=a x +2,将点(-2,0)代人求a；(2)曲线y=f
37、(x)与直线y h3一2 P一个交E发化为函数g(x)=/(x)-k x+2 =x3-3 x2+(1-k、，4有且F W零点一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致戢，再说明f *轴只有-个交点.本题首先入手点为左 0,且g(-l)=k l 0时无根即可，因为(l-k)x 0,故只需说明-3 x2+4 ,进而转化为求函数&(x)的最小值问题处理.(1)/(x)=3 x2-6 x+a,f (0)=a 曲线y h/(x)在占.0、2)处的切线方程为丫=a x +2.由题2设得，一 =2,所以a=l.a(2)由(1)得，/(X)=X3-3?+X+2.i ft g(x)=/(x)
38、-k x+2 =x3-3 x2+(l-k)x+4.由题设得l k0.当x =0时，g (x)=3 x2-6 x+l-0,g(x)单调递增，g(-l)=k-l/?(x).(X)=3X2-6X=3X(X-2),/(x)在(0,2)单调递减；在(2,+o o)单调递增.所 以g(x)(x)N(2)=0.所以g(x)=0在(0,+。)没有实根，综上，g(x)=0在R上有唯一实根,即曲线y=/(x)与直线y=k x-2只有一个交点.【考点定位】导数的应用丫 一 12 3【2 014高考山东文第2 0题】设函数/(x)=ln x +土，其中。为常数.x +1(1)若4=0,求曲线y=/(X)在点(1J)处
39、的切线方程；(2)讨论函数/(x)的单调性.【答案】(1)x-2 y-=0.(2)当a N O时，函数/(x)在(0,+03)上单调递噌；当a W-;时，函数_7 0)在(0,+8)上单调递减；w 1 八 a-八一(4+1)+1、/(a+1)+1、当以 0时，/(X)在(0,八),a q,+-x(x +l)2当a 2 0时，f (x)0.函数/(x)在(0,+8)上单调递噌,当以2-(x-1)2/(X)=-T-0,函数/(x)在(0,+8)上单调递减，x(x +l)2当 时，A 0,g(x)0,/,(x)0,函数(x)在(0,+8)_单调递二，当-La 0,2设公，电()是函数g (x)的 法
40、 零点，则 =一(+1)+恒亘,叼=卫 叨 一 二 三，a a,0-a-a所以x e(0,x J时，g(x)0,/(x)0,/1(x)0,函数/(x)单调递增，x e(2，K o)时，g(x)0,/1(x)0.函数/(x)单调递减,综上可知，当a 2 0时，函数在(0,*o)上单调递增；当a =时，函数/)在(0,m)上单调递减；、1.1 八 a/八(以+D+j 2 a +l、/(白 +1)-J 2 a +1、L+E、当 _ _ a 0,/S)1恒成立,求加的取值范围.b-a2 2【答案】(1)2；(2)当我 一时，函数g(x)无零点；当 加=一或冽V 0时，函数g(x)有且仅有一Is21零点
41、；当0 V冽，令 H=Q,得 活=一工r+x(x 0),3x x 3 3设立(x)=+x(x 2 0),由我(x)=-/+1=-yx-i y,+1)求出函数(x)的单调性以及极值，并且求出函数a(x)在x 20的零点，画出双外为大致时深，并从工像中，可以得知，当的在不同范围的时候，函数y=溶和函数y=%。)的交点个数(3)对任意S a 01 W3)0)在(0,+o o)上:曰阔递减，H (x)=1一与一1W0 在(0,+o o)恒成立，x x x求出活的取值范围.(1)当 活=2时，/(x)=ln x +x易得函数/。)的定义域为(0,+8).当x e(0,c)时，尸(力 0,此时在(0,e)
42、上是噌函数;当x =时，/(x)取得极小值/(e)=I n +二=2&.函数g(x)=3 x .3令g(x)=O,得 冽=-$3+x(x 0)设/(五)=一g x3 4-x(x 0)1(x)=-/+1=-(x-l)(x +l)当x e(0,l)时，h x)0,此时应)心 方 上 式噌函葩;当x e(l,x)。)时，h x)0,此中/(x)在(L ；上式悌圆数1 9.当x =l时，(x)取极大值力(1).一+1 令人(x)=0,即-gd+x=0,解得彳=0,或x=S：.函数/(x)的图像如图所示：当初 时，函数y=冽 和函数y=力(工)无交点；2当附=一时，函数y=活 和函数y=有P，.?一个交
43、点；2当0加 时，函数y=冽 和函数y二w(x)有两个交点；活X 0时，函数y=w和函数y=我。)有且仅有一个交点；2 2综上所述，当 冽-时，函数g(x)无零点；当 冽=-或 加 工0时，函数g(x)有且仅有一个零点；当20 我时，函数g(x)有两个零点.对任意5 a 01 一 1恒成立等价于/他)6 0)xh(x)在(0,+8)上单调递减1 ni.hf(x)=-一 1 W 0 在(0,+8)恒成立X Xm 2 x-+x=(x 5)+W 2 W(X0)1:.m 4当且仅当当x=L时，m=2 4 加的取值范围是 士+0 0)4【考点定位】导数的应用25.1 20 1 4高考四川文第21题】已知
44、函数/(8)=炉一方2一区一1,其中e =2.7 1 8 28 为自然对数的底数。(I )设g(x)是函数/(x)的导函数，求函数g(x)在区间 0,1 上的最小值;(H)若/(1)=0,函数/(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e-2 a 1时，g(x)e-2a-b.(I I)a 的范围为(0,1).【解析】(I )易得g(x)=e*-2a x-瓦g (x)=e*2a,再对分a情况确定g(x)的单调区间，根据g(x)在 0,1 上的单调性即可得g(x)在 0,1 上的最小值.(H)设两为/(x)在区间(0,1)内的一个零点，注意到 了 (0)=0 .联系到函数的图象X知，导已效g (x)右
45、K间(0,而)内存在零点，g (x)在区间1 a(七,1)内存在零点X 2，即g (x)在 区 间 内至少各两个零去、.由(I)可知，当GV及以2 时，g(x)1 g在(0,1)内都不可能有两个零点.所以5 -万,此J,8。)1土0,1口2旬上单调递减，在 I n 2a,1 上单调递噌，因此再 (0,l n(2a),Q wQ n(2a),l、.且必有g0,g(l)=u-2a-l 0.由/(I)=a-1 =0得：b e a 1,代、.占两个不等式即可得a的取值范围.(I )g(x)=ex-2a x-b,g X x)=ex-2a当a W O时，gf(x)=-2 a0,所以g(x)=g(0)=1-从
46、当 a 0 时，由 gr(x)=&x-2a 0 得/2a,x I n(2a).1Q若a,则l n(2a)0；若则l n(2a)L所以当0 0fg(J)=&-2a-b 0.由/(I)=a 8 1 =0得：a +b =e1 0,g(1 i)=e-2a-b =1-a 0.解 得 2 以 1.所以，函数/。)在区间(0,1)内有零点时，&-2 以 O),x eR(1)求/(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的须(2,+8),都存在马6(1,+0 0),使得/(%/(2)=1,求。的取值范围【答案】/的单调增区间是C,单调减区间是(一叫和%+8),当x=时，/(幻 取极1 1r3 3、X -I I小
47、值，当“时，/取极大值3/,(2)4 2.【解析】(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R,再求导数，(x)=2x-2 25。).在定义域下求导函数的零点：x=0或x=L,通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即/x)的a单调增区间是(0,工)，单调减区间是(8,0)和(工,+8),当x=0时，f(x)取极小值0 ,当x=，时,a a a/（X）取极大住一!，（2）本题首先要正确转化：“对 任意的玉（2,+。），都存在（1,+8）,使得3a/（西）,/（X 2）=l”等价于两个函数值域的包含关系.设集合力=/（X）|X E（2,+8）,集合B=一|xe （l,+o o）
48、,/（x）w 0,则4u 8 ,其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向.由于/（X）3 3 30 任 8,所以 0 日 4,因此一4 2,乂 A=B,所以/(1)2 0,即一。一.2a 4 2解由已知有/（）=2、一2分2（。0）.令/（x）=0,解得 =0或%=工，列表如下:a所以/（X）的单调增区间是（0,3,单调减区间是（-8,0）和（1,加0）,当x=0时，/（X）取极小值0，当x=1 时，/（x）取 极 大1 值，（2）由/（0）=/（3土）=0及（1）知，当x e（0,3）时，a 3a 2a 2a31当时,/（x）2即0。3二 时，由（3二：二0可知O u 所 以A不 是B的
49、子集2a 4 2a当3 即3 巳32时，有/（2）M l亘此时/（x）在（2,枚）上单调递减，故j=（一8,/（2）,2a 4 2因而上=（-8,0）由y（1）N 0有/（x）在（1,+0 0）上的取值范围包含（-co,0）,所以/q B当 1即时，有/（I）0)，若/(x)在-覃 上的最小值记为 g(a).(1)求 g(a)；(2)证明：当 时，恒有/(x)Vg(a)+4.【答案】(1)g(a)=F l【解析】(1)因为-1V X 41,对实数a分类讨论，分别用导数法求函数了(x)单调区间，从而确定g(a)的值，再用分段函数表示g(a)；(2)构造函数应(x)=/(x)-g(x),对实数:a
50、分类讨论,0 a l,a之l,分别用导数法求函数为 (x)单调区间，从而确定网x)的最大值，即可证明当x e时 期 了(玲工8()+4成 立(1)因 为-iKxWl,当0 a ，+30,七 八x)在(%1)上是噌函数；所以，g(a)=j(a)=a3.当a N l,则 xVa,/(x)=x3-3x-3a,/7-.)=3x2-0 0,故/(x)在(一 1,1)上是减函数,所以 g(a)=/(I)=-2+3a,综上所述,g(a)=a：0 a 1-2+%,心 1(2)令&(x)=/(x)-g(x),当 0 a l时，g(a)=a3若%(x)=/+3x-3得 (x)=3/+3,所以(x)在(a,1)上是