导数及其应用.pdf

《导数及其应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数及其应用.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、暑假必刷 900 题 1 导数及其应用导数及其应用 一、单选题一、单选题 1若函数( )lnf xkxx=在区间()1,+上单调递增，则实数k的取值范围是 A(, 2 B(, 1 C)2,+ D)1,+ 2函数y( )y( )f xfx=，的导函数的图象如图所示，则函数y( )f x=的图象可能是 A B C D 3设函数( )f x的导函数为( )fx，若( )f x的图象如图所示，则( )f x( )0fx 的解集为（ ） A(,0) B(0,3) C(,0)(0,3) D(,0)(3,4) 4已知函数322( )232f xxmxnxm=+在1x =处有极小值，且极小值为6，则m =（

2、） A5 B3 C2 D2或5 5设0a ，若xa=为函数( )() ()2fxa xaxb=的极大值点，则（ ） Aab Bab C2aba D2aba 6已知函数32( )31f xaxx=+，若( )f x存在唯一的零点0 x，且00 x ，则a的取值范围是 A()2,+ B()1,+ C(), 2 D(), 1 2022 高考 2 7已知非负函数( )f x的导函数为( )fx，且( )f x的定义域为()0,+，若对于定义域内的任意x，均满足( )( )f xfxx，则下列式子中不一定正确的是（ ） A( )( )221ff B( )( )32fe f C( )( )7436ff D

3、( )122f ee f 8已知函数21( )ln2f xxax=+，若对任意两个不等的正数1x，2x，都有( )()12124f xf xxx恒成立，则a的取值范围为 A4,)+ B(4.?)+ C(,4 D(,4) 9已知函数( )(3)(2ln1)xf xxeaxx=+在(1,)+上有两个极值点，且( )f x在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A( ,)e + B2( ,2)ee C2(2,)e + D22( ,2)(2,)eee+ 10已知函数21( )3121xxf xx=+，且()2(34)2f afa+，则实数 a的取值范围是（ ） A( 4,1) B( 3,2

4、) C(0,5) D( 1,4) 11若函数( )221ee22xxfmxxm=有两个极值点，则实数m的取值范围是（ ） A1,2+ B()1,+ Ce,2+ D()e,+ 12若0, elnxxxxxa +，则实数a的取值范围是（ ） A(,ln2) B(,1) C(ln2,)+ D(1,)+ 13已知( )f x是定义在()0,+上的可导函数，( )fx是( )f x的导函数，若( )( )2xxf xx fxe+=，( )1fe=，则( )f x在()0,+上（ ） A单调递增 B单调递减 C有极大值 D有极小值 二、多选题二、多选题 14已知函数( )2lnf xxx= ，则（ ） A

5、( )0f x 恒成立 B( )f x是()0,+上的减函数 暑假必刷 900 题 3 C( )f x在12xe=得到极大值12e D( )f x只有一个零点 15已知函数( )2lnf xxaxx=()aR，则下列说法正确的是（ ） A若1a = ，则( )f x在区间10,2上单调递减 B若1a =，则( )0f x C若01a，则( )f x有两个零点 D若1a ，则曲线( )yf x=上存在在相异两点M，N处的切线平行 16已知定义在(0,2)上的函数( )f x，( )fx是( )f x的导函数，且恒有cos( )sin( )0 xfxxf x+成立，则（ ） A()2 ()64ff

6、 B3 ()()63ff C()3 ()63ff D2 ()3 ()64ff 17已知1x =和3x =是函数( )323( ,)f xaxbxxk a bR=+的两个极值点，且函数( )f x有且仅有两个不同零点，则k值为（ ） A43 B43 C1 D0 三、填空题三、填空题 18若x2=是函数( )()21f1xxxaxe=+的极值点，则( )f x的极小值为 _ 19函数21( )2ln2f xxxx=+的极值点是_. 20函数( )212lnf xxx= 的最小值为_. 21写出一个存在极值的奇函数( )f x =_ 22函数2( )ln22axf xxx=（aR）在1,116内不存

7、在极值点，则 a的取值范围是_ 23设( )fx是奇函数( )f x的导函数，()23f =，且对任意xR都有( )2fx，则( )2f=_，使得()e2e1xxf成立的 x的取值范围是_ 24已知函数19( )0cos2cos2f xxxx=+，当x =_时，( )f x的最小值为_ 2022 高考 4 四四、解答题、解答题 25已知函数( )(1)ln1f xxxx=.证明： （1）( )f x存在唯一的极值点； （2）( )=0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 26已知函数1( )elnlnxf xaxa=+ （1）当ae=时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切

8、线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 27已知函数2( )(1)xf xxeaxb=+ （1）讨论( )f x的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：( )f x只有一个零点 21,222eaba； 10,22aba 暑假必刷 900 题 5 28已知函数( )232xf xxa=+ （1）若0a =，求( )yf x=在( )()1,1f处切线方程； （2）若函数( )f x在1x = 处取得极值，求( )f x的单调区间，以及最大值和最小值 29设函数( )()lnf xax=，已知0 x =是函数( )yxf x=的极值点 （1）求 a； （

9、2）设函数( )( )( )xf xg xxf x+=证明:( )1g x 30已知函数( )()1 lnf xxx=. （1）讨论( )f x的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab=，证明：112eab+. 2022 高考 6 参考答案参考答案 1D 2D 3D 4A 5D 6C 7B 8A 9C 10A 11B 12B 13A 14CD 15AB 16CD 17BD 181 191 201 21sin x（不唯一） 221,3,)16 + 233 ()ln2,+ 243 8 25 【解析】 （1）由题意可得，( )f x的定义域为(0,)+， 由( )(1)l

10、n1f xxxx=， 得11( )ln1lnxfxxxxx=+ =， 显然1( )lnfxxx=单调递增； 又(1)10f = ，1ln4 1(2)ln2022f=， 故存在唯一0 x，使得0()0fx=； 又当0 xx时，0()0fx，函数( )f x单调递增；当00 xx时，0()0fx，函数( )f x单调递减； 因此，( )f x存在唯一的极值点； （2）由（1）知，0()(1)2f xf= ，又22()30f ee=， 所以( )0f x =在0(,)x+内存在唯一实根，记作x=. 由01x得011x ， 又1111( )()(1)ln10ff= =， 故1是方程( )0f x =在

11、0(0,)x内的唯一实根； 综上，( )=0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 26 【解析】 （1）( )ln1xf xex=+Q，1( )xfxex=，(1)1kfe=. (1)1fe= +Q，切点坐标为(1,1+e), 函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为1(1)(1)yeex =,即()12yex=+, 切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e, 所求三角形面积为1222 |=211ee ; （2）解法一：1( )lnlnxf xaexa=+Q, 暑假必刷 900 题 7 11( )xfxaex=，且0a . 设( )( )g xfx=,则121( )0

12、,xg xaex=+ g(x)在(0,)+上单调递增，即( )fx在(0,)+上单调递增， 当1a =时，( )01f =,( )( )11minf xf=,( )1f x 成立. 当1a 时，11a ，111ae，111( )(1)(1)(1)0affa eaa=, 存在唯一00 x ，使得01001()0 xfxaex=，且当0(0,)xx时( )0fx，当0(,)xx+时( )0fx，0101xaex=，00ln1lnaxx+ = ， 因此01min00( )()lnlnxf xf xaexa=+ 000011ln1ln2ln122ln1axaaxaxx=+ + +=+1, ( )1,f

13、 x ( )1f x 恒成立； 当01a时， (1)ln1,faaa=+(1)1,( )1ff x不是恒成立. 综上所述，实数 a的取值范围是1,+). 解法二：( )111xlna xf xaelnxlnaelnxlna+ =+=+等价于 11lna xlnxelnaxlnxxelnx+ + +=+, 令( )xg xex=+,上述不等式等价于()()1g lnaxg lnx+, 显然( )g x为单调增函数，又等价于1lnaxlnx+ ，即1lnalnxx+， 令( )1h xlnxx= +,则( )111xh xxx= = 在()0,1上 h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上 h

14、(x)0,h(x)单调递减， ( )( )10maxh xh=, 01lnaa，即，a 的取值范围是1,+). 27 【解析】(1)由函数的解析式可得：( )()2xfxx ea=， 当0a时，若(),0 x ，则( )( )0,fxf x单调递减， 若()0,x+，则( )( )0,fxf x单调递增； 2022 高考 8 当102a时，若()(),ln 2xa ，则( )( )0,fxf x单调递增， 若()()ln 2,0 xa，则( )( )0,fxf x单调递减， 若()0,x+，则( )( )0,fxf x单调递增； 当12a =时，( )( )0,fxf x在R上单调递增； 当1

15、2a 时，若(),0 x ，则( )( )0,fxf x单调递增， 若()()0,ln 2xa，则( )( )0,fxf x单调递减， 若()()ln 2,xa+，则( )( )0,fxf x单调递增； (2)若选择条件： 由于2122ea ，故212ae，则( )21,010bafb= ， 而()()210bfbb eabb= +， 而函数在区间(),0上单调递增，故函数在区间(),0上有一个零点. ()()()()2ln 22ln 21ln 2faaaaab=+ ()()22ln 21ln 22aaaaa+ ()()22 ln 2ln 2aaaa= ()()ln 22ln 2aaa=， 由

16、于2122ea ，212ae，故()()ln 22ln 20aaa， 结合函数的单调性可知函数在区间()0,+上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件： 由于102a，故21a ，则( )01210fba= ， 当0b 时，24,42ea，( )2240feab=+， 而函数在区间()0,+上单调递增，故函数在区间()0,+上有一个零点. 暑假必刷 900 题 9 当0b时，构造函数( )1xH xex=，则( )1xHxe=， 当(),0 x 时，( )( )0,HxH x单调递减， 当()0,x+时，( )( )0,HxH x单调递增， 注意到( )00H=，故( )0H x

17、恒成立，从而有：1xex+，此时： ( )()()()22111xf xxeaxbxxaxb= +()()211a xb=+， 当11bxa时，()()2110a xb+， 取0111bxa=+，则()00f x， 即：( )100,101bffa+， 而函数在区间()0,+上单调递增，故函数在区间()0,+上有一个零点. ()()()()2ln 22ln 21ln 2faaaaab=+ ()()22ln 21ln 22aaaaa+ ()()22 ln 2ln 2aaaa= ()()ln 22ln 2aaa=， 由于102a，021a，故()()ln 22ln 20aaa， 结合函数的单调性可

18、知函数在区间(),0上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 28 【解析】 （1）当0a =时，( )232xf xx=，则( )()323xfxx=，( )11f=，( )14f = ， 此时，曲线( )yf x=在点( )()1,1f处的切线方程为()141yx = ，即450 xy+=； （2）因为( )232xf xxa=+，则( )()()()()()222222223223xaxxxxafxxaxa+=+， 由题意可得()()()22 4101afa =+，解得4a =， 2022 高考 10 故( )2324xf xx=+，( )()()()222144xxfxx+=+，列表如

19、下： x (), 1 1 ()1,4 4 ()4,+ ( )fx + 0 0 + ( )f x 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数( )f x的增区间为(), 1 、()4,+，单调递减区间为()1,4. 当32x 时，( )0f x ；当32x 时，( )0f x . 所以，( )()max11f xf=，( )( )min144f xf= . 29 【解析】 （1）由( )()( )n1lafxaxfxx=，( )()lnxyaxxayxf x =+， 又0 x =是函数( )yxf x=的极值点，所以( ) 0ln0ya=，解得1a =； （2）由（1）得( )()ln 1f xx=

20、，()()ln 1( )( )( )ln 1xxxf xg xxf xxx+=，1x 且0 x ， 当 ()0,1x时，要证()()ln 1( )1ln 1xxg xxx+=，()0,ln 10 xx， ()ln 10 xx，即证()()ln 1ln 1xxxx+，化简得()()1ln 10 xxx+； 同理，当(),0 x 时，要证()()ln 1( )1ln 1xxg xxx+=，()0,ln 10 xx， ()ln 10 xx，即证()()ln 1ln 1xxxx+，化简得()()1ln 10 xxx+； 令( )()()1ln 1h xxxx=+，再令1tx= ，则() ()0,11,

21、t+，1xt= ， 令( )1lng tttt= +，( )1ln1lngttt= + =， 当()0,1t时，( )0g t ，( )g t单减，假设( )1g能取到，则( )10g=，故( )( )10g tg=； 当()1,t+时，( )0g t ，( )g t单增，假设( )1g能取到，则( )10g=，故( )( )10g tg=； 综上所述，()()ln 1( )1ln 1xxg xxx+=在()(),00,1x 恒成立 暑假必刷 900 题 11 30 【解析】 （1）函数的定义域为()0,+， 又( )1 ln1lnfxxx= = ， 当()0,1x时，( )0fx，当()1,

22、+x时，( )0fx， 故( )f x的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+. （2）因为lnlnbaabab=，故()()ln1ln +1baab+=，即ln1ln +1abab+=， 故11ffab=， 设1211,xxab=，由（1）可知不妨设1201,1xx. 因为()0,1x时，( )()1 ln0f xxx=，(),xe+时，( )()1 ln0f xxx=， 故21xe. 先证：122xx+， 若22x ，122xx+必成立. 若22x ， 要证：122xx+，即证122xx，而2021x， 故即证( )()122f xfx，即证：()()222f xfx，其中212x.

23、设( )( )()2,12g xf xfxx=， 则( )( )()()2lnln 2g xfxfxxx=+= ()ln2xx= ， 因为12x，故()021xx，故()ln20 xx， 所以( )0gx，故( )g x在()1,2为增函数，所以( )( )10g xg=， 故( )()2f xfx，即()()222f xfx成立，所以122xx+成立， 综上，122xx+成立. 设21xtx=，则1t ， 结合ln1ln +1abab+=，1211,xxab=可得：()()11221 ln1 lnxxxx=， 即：()111 ln1 lnlnxttx=，故11lnln1tttxt =， 20

24、22 高考 12 要证：12xxe+，即证()11txe+，即证()1ln1ln1tx+， 即证：()1lnln111ttttt +，即证：()()1 ln1ln0tttt+， 令( )()()1 ln1ln ,1S ttttt t=+， 则( )()112ln11 lnln 111tS tttttt=+ =+， 先证明一个不等式：()ln1xx+. 设( )()ln1u xxx=+，则( )1111xuxxx= =+， 当10 x 时，( )0ux；当0 x 时，( )0ux， 故( )u x在()1,0上为增函数，在()0,+上为减函数，故( )( )max00u xu=， 故()ln1xx+成立 由上述不等式可得当1t 时，112ln 11ttt+，故( )0S t恒成立， 故( )S t在()1,+上为减函数，故( )( )10S tS=， 故()()1 ln1ln0tttt+成立，即12xxe+成立. 综上所述，112eab+.