高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结31136.pdf-淘文阁

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1、.1/18 高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”的限制条件：椭圆中，与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a|F1F2|不可忽视。若2a|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（2）第二定义中要注意定点和定直线

2、是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。练习：1.已知定点)0,3(),0,3(21FF，在满足以下条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是（答：C）；A421 PFPF B621 PFPF C1021 PFPF D122221 PFPF 2.方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_（答：双曲线的左支）3.已知点)0,22(Q与抛物线42xy 上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_（答：2）二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是

3、指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号，AB）。（2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax=1，焦点在y轴上：2222bxay1（0,0ab）。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号）。（3）抛物线：开口向右时22(0)ypx p，开口向左时22(0)ypx p，开口向上时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy

4、 p。.2/18 练习：1.已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值围为_（答：11(3,)(,2)22）；2.若Ryx,，且62322 yx，则yx的最大值是_，22yx 的最小值是_（答：5,2）3.双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_ 4.设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线 C 过点)10,4(P，则 C 的方程为_（答：226xy）5.已知方程12122mymx表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值围是_ 三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦

5、点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。四.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：围：,axabyb ；焦点：

6、两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为 2a，短轴长为 2b；准线：两条准线2axc；离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。（2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：围：xa 或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a，其中实轴长为 2a，虚轴长为 2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k；准线：两条准线2axc；离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线.3

7、/18 2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。（3）抛物线（以22(0)ypx p为例）：围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线2px ；离心率：cea，抛物线1e。练习：1.若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是_（答：3 或325）；2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_ 3.双曲线的渐近线方程是023 yx，则该双曲线的离心率等于_（答：132或133）；4.双曲线221axby的离心

8、率为5，则:a b=（答：4 或14）；5.设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率 e2,2,则两条渐近线夹角的取值围是_（答：,3 2）；6.设Raa,0，则抛物线24axy 的焦点坐标为_（答：)161,0(a）；五、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；（3）点00(,)P xy在椭圆2200221xyab 六直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近

9、线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（2）相切：0 直线与椭圆相切；0 直线与双曲线相切；0 直线与抛物线相切；（3）相离：0 直线与椭圆相离；0 直线与双曲线相离；0 直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直

10、.4/18 线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.练习：1.若直线 y=kx+2 与双

11、曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值围是_ 2.直线 ykx1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则 m 的取值围是_ 3.过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则这样的直线有_条 4.过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）；5.过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值围为_ 6.过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则满足条件的直线l有_ 7.对于抛物线 C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的部，若点)

12、,(00yxM在抛物线的部，则直线l：)(200 xxyy与抛物线 C 的位置关系是_（答：相离）；8.过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是p、q，则qp11_（答：1）；9.设双曲线191622yx的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,，则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于)（答：等于）；10.求椭圆284722 yx上的点到直线01623 yx的最短距离（答：8 1313）；11.直线1 axy与双曲线1322yx交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以

13、 AB 为直径的圆过坐标原点？（答：3,3；1a ）；七、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到.5/18 相应准线的距离，即焦半径red，其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。练习：1.已知椭圆1162522yx上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为_（答：353）；2.已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；3.若该抛物线上的点M到焦点的距离是 4，则点M的坐标为_（答：7,(2,4)）；4.点 P 在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点

14、距离的两倍，则点 P 的横坐标为_ 5.抛物线xy22上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到y轴的距离为_ 6.椭圆13422yx有一点)1,1(P，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使MFMP2 之值最小，则点M 的坐标为_（答：)1,362(）；八、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy到两焦点12,F F的距离分别为12,r r，焦点12FPF的面积为S，则在椭圆12222byax中，)12arccos(212rrb，且当12rr即P为短轴端点时，最大为max222

15、arccosacb；20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；对于双曲线22221xyab的焦点三角形有：21221arccosrrb；2cotsin21221brrS。练习：1.短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于 A、B 两点，则2ABF的周长为_（答：6）；2.设 P 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：224xy）；3.椭圆22194xy的焦点为 F1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2PF10 时，点 P 的横坐标的取值

16、围是（答：3 5 3 5(,)55）；.6/18 4.双曲线的虚轴长为 4，离心率 e26，F1、F2是它的左右焦点，若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点，且AB是2AF与2BF等差中项，则AB_（答：8 2）；5.已知双曲线的离心率为 2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021PFF，31221FPFS 求该双曲线的标准方程（答：221412xy）；九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦，M 为准线与 x 轴的交点，则AMFBMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 A1，B

17、1，若 P 为 A1B1的中点，则 PAPB；（4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。十、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点 A、B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则AB2121kxx，若12,y y分别为 A、B 的纵坐标，则AB21211yyk，若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。练习：1.过抛物线 y2=4x 的焦点

18、作直线交抛物线于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若 x1+x2=6，那么|AB|等于_ 2.过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ABC 重心的横坐标为_（答：3）；十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0202yaxb；在双曲线22221xyab中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypx p中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0py。练习：1.如

19、果椭圆221369xy弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280 xy）；2.已知直线 y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L：x2y=0.7/18 上，则此椭圆的离心率为_（答：22）；特别提醒：因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！十二你了解以下结论吗？（1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称

20、轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2p，焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为 AB，1122(,),(,)A x yB xy，则12|ABxxp；221212,4px xy yp （7）若 OA、OB 是过抛物线22(0)ypx p顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点(2,0)p13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的围；（2）求轨迹方程的常用方法：直

21、接法：直接利用条件建立,x y之间的关系(,)0F x y；如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线3x的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答：212(4)(34)yxx 或24(03)yxx）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0）)0(m，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22yx）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点 P向圆221x

22、y作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=600，则动点 P 的轨迹方程为（答：224xy）；（2）.8/18 点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是_（答：216yx）；(3)一动圆与两圆M：122 yx和N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点(,)P x y依赖于另一动点00(,)Q xy的变化而变化，并且00(,)Q xy又在某已知曲线上，则可先用,x y的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P 是抛物线122 xy上任一点，定点为)1,0

23、(A,点 M 分PA所成的比为2，则M 的轨迹方程为 _（答：3162xy）；参数法：当动点(,)P x y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在 OM 上取点P，使|OPMN，求点P的轨迹。（答：22|xya y）；（2）若点),(11yxP在圆122 yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是_（答：2121(|)2yxx）；（3）过抛物线yx42的焦点 F 作直线l交抛物线于 A、B 两点，则

24、弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是_（答：222xy）；注意：如果问题中涉与到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是 F1（c，0）、F2（c，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2|1aQF点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q上，并且满足.0|,022TFTFPT（1）设x为点 P 的横坐标，证明xacaPF|1；（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点

25、 M，使F1MF2的面积 S=.2b若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（答：（1）略；（2）222xya；（3）当2bac时不存在；当2bac时存在，此时F1MF22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量围构造不等关系”等等.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或

26、向量”为桥梁转化.14、解析几何与向量综合时可能出现的向量容：（1）给出直线的方向向量ku,1或nmu,；.9/18（2）给出OBOA 与AB相交,等于已知OBOA 过AB的中点;（3）给出0 PNPM,等于已知P是MN的中点;（4）给出BQBPAQAP,等于已知QP,与AB的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：ACAB/；存在实数,ABAC使；若存在实数,1,OCOAOB 且使,等于已知CBA,三点共线.（6）给出1OBOAOP，等于已知P是AB的定比分点，为定比，即PBAP（7）给出0MBMA,等于已知MBMA,即AMB是直角,给出0mMBMA,等于已知AMB

27、是钝角,给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角,（8）给出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分线/（9）在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形;（10）在平行四边形ABCD中，给出|ABADABAD，等于已知ABCD是矩形;（11）在ABC中，给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在ABC中，给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC中，给出OAOCOCOBOBOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂

28、心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC中，给出 OAOP()|ABACABAC)(R等于已知AP通过ABC的心；（15）在ABC中，给出,0OCcOBbOAa等于已知O是ABC的心（三角形切圆的圆心，三角形的心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在ABC中，给出12ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线;求解圆锥曲线问题的几种措施圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一.紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1.已知点

29、A（3，2），F（2，0），双曲线xy2231，P 为双曲线上一点。.10/18 求|PAPF12的最小值。解析：如下图，双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定律知12|PF即点 P 到准线距离。|PAPFPAPEAM1252 二.引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例 2.求共焦点 F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如下图的坐标系，设点 F 到准线l的距离为 p（定值），椭圆中心坐标为 M（t，0）（t 为参数）pbc2，而ct bpcpt2 再设椭圆短轴端点坐标为 P（x，y），则 xctybpt 消去 t，得轨迹方程ypx2 三.数形

30、结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3.已知x yR,，且满足方程xyy2230()，又myx33，求 m 围。解析：myx33的几何意义为，曲线xyy2230()上的点与点（3，3）连线的斜率，如下图 kmkPAPB.11/18 332352m 四.应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4.已知圆

31、()xy3422和直线ymx的交点为 P、Q，则|OP OQ的值为_。解：OMPOQN|OP OQOM ON 5 五.应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例 5.已知椭圆：xy2224161，直线l：xy1281，P 是l上一点，射线 OP 交椭圆于一点 R，点 Q 在 OP 上且满足|OQ OPOR2，当点 P 在l上移动时，求点 Q 的轨迹方程。分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图，OQOROP，共线，设OROQ，OPOQ，OQxy()，则O

32、Rxy()，OPxy()，|OQ OPOR2|OQOQ222 2 点 R 在椭圆上，P 点在直线l上 222224161xy，xy1281 即xyxy222416128 化简整理得点 Q 的轨迹方程为：()()xy152153122（直线yx 23上方部分）六.应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例 6.求经过两圆xyx22640和xyy226280的交点，且圆心在直线xy40上的.12/18 圆的方程。解：设所求圆的方程为：xyxxyy2222646280()()()()1166284022xyxy 则

33、圆心为()3131，在直线xy40上解得 7 故所求的方程为xyxy227320 七.巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7.过点 A（2，1）的直线与双曲线xy2221相交于两点 P1、P2，求线段 P1P2中点的轨迹方程。解：设P xy111()，P xy222()，则 xyxy12122222211212 得()()()()xxxxyyyy211221122 即yyxxxxyy212112122()设 P1P2的中点为M xy()00，则 kyyxxxyP P1 22121002 又kyxAM0012，而 P1、A、M、P2

34、共线 kkP PAM1 2，即yxxy0000122 P P12中点 M 的轨迹方程是24022xyxy 解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为 20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t (0t1)，以

35、 AB 为直腰作直角梯形BBAA，使AA垂直且等于 AT，使BB垂直且等于 BT，BA交半圆于 P、Q 两点，建立如下图的直角坐标系.(1)写出直线BA的方程；（2）计算出点 P、Q 的坐标；（3）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通过点Q.讲解:通过读图,看出,BA点的坐标.(1)显然tA1,1,，tB 11 于是直线BA.13/18 的方程为1txy；（2）由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(2221112ttttQ；（3）ttkPT1001,tttttttttkQT1111201122222)(.由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知

36、，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点 Q.需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗?例 2 已知直线 l 与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S，求以线段 SR为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲解：从直线l所处的位置,设出直线l的方程,由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(kmkxy 代入椭圆方程，222222bayaxb 得 .)2(22222222bamkmxxkaxb 化简后，得关于x的一元二次方程 .02)(222222222bamamxkaxbk

37、a 于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka 由已知，得=0即.2222mbka 在直线方程mkxy中，分别令y=0，x=0，求得).,0(),0,(mSkmR 令顶点P 的坐标为（x，y），由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得 12222ybxa,即为所求顶点 P 的轨迹方程方程12222ybxa形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗?例 3 已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23 （1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5kkxy交双曲线于不同的点

38、 C，D 且 C，D 都在以B 为圆心的圆上，求 k 的值.讲解：（1）,332ac原点到直线 AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd.故所求双曲线方程为.1322 yx（2）把33522yxkxy代入中消去 y，整理得 07830)31(22kxxk.14/18 设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则 012000220115515,.21313BEyxxkxykxkkkxk ,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求 k=7.为了求出k的值,需要通过消元,想法设法建构k的方程.例 4 已知椭圆 C 的中心在原点

39、，焦点 F1、F2在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F1与椭圆交于 A、B 两点，ABF2的面积最大值为 12（1）求椭圆 C 的离心率；（2）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设112212|,|,|2PFrPFrFFc,对,21FPF 由余弦定理,得 1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，解出.22e（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i)当 k 存在时，设 l 的方程为)(cxky 椭圆方程为),(),(,12

41、|2,2222ycABc Scc 由知S 的最大值为22c 由题意得22c=12 所以2226bc2122a 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx 下面给出此题的另一解法,请读者比较二者的优劣：也可这样求解：|212121yyFFS|21xxkc.15/18 设过左焦点的直线方程为：cmyx （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：),(),(,122112222yxByxAbyax 由.22e得：,22222cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx 把代入并整理得：02)2(222cmcyym 于是21,yy是上述方程的两根.2221

42、21221|()()1|ABxxyymyy2)2(441222222mmccmm2)1(2222mmc,AB 边上的高212mch,从而222222)2(122122)1(2221|21mmcmcmmchABS.221111222222cmmc 当且仅当m=0取等号，即.22maxcS 由题意知1222c,于是 212,26222acb.故当ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx 例 5 已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于 A、B两点，且线段 AB的中点在直线02:yxl上.（）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆422 yx上，求

43、此椭圆的方程.讲解:（1）设 A、B 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由得 02)(2222222baaxaxba,根据韦达定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx 线段 AB 的中点坐标为（222222,babbaa）.由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa，故椭圆的离心率为22e.（2）由（1）知,cb 从而椭圆的右焦点坐标为),0,(bF 设)0,(bF关于直线02:yxl的对称点为.16/18 ,02221210),(000000ybxbxyyx且则解得bybx545300且

45、直线上，得(*),22xya 由射影定理得|,|2MQMPMB即(*),14)2(222ayx 把（*）与（*）消去 a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx 适时应用平面几何知识，这是快速解答此题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例 7 如图，在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC=22。DOAB 于 O 点，OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P在 E 上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，设DNDM，试确定实数

46、的取值围讲解:（1）建立平面直角坐标系,如下图|PA|+|PB|=|CA|+|CB|y=22)22(22222动点 P 的轨迹是椭圆2,1,1abc曲线 E 的方程是 1222 yx.（2）设直线 L 的方程为 2 kxy,代入曲线 E 的方程2222yx，得A O B C.17/18 068)12(22kxxk设 M1（),(),221,1yxNyx,则.126,128,06)12(4)8(2212212kxxkkxxkk i)L 与 y 轴重合时，31|DNDM ii)L 与 y 轴不重合时，由得 .232k 又21xxxxxxDNDMNDMD,012 xx 或 ,0

47、12 xx01,212)(122121221xxxxxxxx)12(332)12(664)(2222122kkkxxxx 而,232k.8)12(362k,316)12(33242k316214,31012,.131,3101,21,10的取值围是1,31.值得读者注意的是，直线 L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.例 8 直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点.（1）求证：2214pxx;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线.讲解:（1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF.若 lx

48、轴，则 l 的方程为4,2221PxxPx显然.若 l 不垂直于 x 轴，可设)2(Pxky,代入抛物线方程整理得4,04)21(221222PxxPxkPPx则.综上可知 2214pxx.（2）设dcdpdDcpcC且),2(),2(22，则 CD 的垂直平分线l的方程为)4(2222pdcxpdcdcy 假设l过 F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)(222dcpdc0p.18/18 02222dcp，0dc.这时l的方程为 y=0，从而l与抛物线pxy22只相交于原点.而 l 与抛物线有两个不同的交点，因此l与 l 不重合，l 不是 CD 的垂直平分线.此题是课此题的

49、深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升.课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例 9 某工程要将直线公路 l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和 B，沿着道路 AP、BP 运往公路另一侧的 P 处，PA=100m，PB=150m，APB=60，试说明怎样运土石最省工？讲解:以直线 l 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点，设这样的点为 M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|MB|=|BP|AP|=50,750|AB,M 在双曲线1625252222yx的右支上.故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿 AP 运往 P 处，按这种方法运土石最省工.

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