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1、高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结：1第肯定义中要重视“括号内的限制条件：椭圆中，及两个定点F，F的间隔 的和等于常数，且此常数肯定要大于，当常数等于时，轨迹是线段，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，及两定点F，F的间隔 的差的肯定值等于常数，且此常数肯定要小于，定义中的“肯定值及不行无视。假设，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设，那么轨迹不存在。假设去掉定义中的肯定值那么轨迹仅表示双曲线的一支。2第二定义中要留意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔 及此点到相应准线间隔 间的关系，要擅长
2、运用第二定义对它们进展互相转化。练习：1.定点，在满意以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是答：C；A B C D2.方程表示的曲线是答：双曲线的左支3.点及抛物线上一动点P,那么的最小值是答：2标准方程是指中心顶点在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程：1椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数，焦点在轴上时1。方程表示椭圆的充要条件是什么？0，且A，B，C同号，AB。2双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1。方程表示双曲线的充要条件是什么？0，且A，B异号。3抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。练习：1.方程表示椭圆，那么的取值范围为答：；2.假设，且，那么的最大
3、值是，的最小值是答：3.双曲线的离心率等于，且及椭圆有公共焦点，那么该双曲线的方程4.设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为答：5.方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是 首先化成标准方程，然后再推断：1椭圆：由,分母的大小确定，焦点在分母大的坐标轴上。2双曲线：由,项系数的正负确定，焦点在系数为正的坐标轴上；3抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号确定开口方向。特殊提示：1在求解椭圆、双曲线问题时，首先要推断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它确定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形态和大小，
4、是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要推断开口方向；2在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。：1椭圆以为例：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心0,0，四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。2双曲线以为例：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心0,0，两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特殊地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。 3抛物线以为例：范围：；焦点：一个
5、焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的间隔 ；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点0,0；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。练习：1.假设椭圆的离心率，那么的值是答：3或；2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，那么椭圆长轴的最小值为 3.双曲线的渐近线方程是，那么该双曲线的离心率等于答：或；4.双曲线的离心率为，那么=答：4或；5.设双曲线a00中，离心率e,2,那么两条渐近线夹角的取值范围是答：；6.设，那么抛物线的焦点坐标为答：；五、点和椭圆的关系：1点在椭圆外；2点在椭圆上1；3点在椭圆内六直线及圆锥曲线的位置关系：1相交：直线及椭圆相交； 直线及双曲线
6、相交，但直线及双曲线相交不肯定有，当直线及双曲线的渐近线平行时，直线及双曲线相交且只有一个交点，故是直线及双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线及抛物线相交，但直线及抛物线相交不肯定有，当直线及抛物线的对称轴平行时，直线及抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线及抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如2相切：直线及椭圆相切；直线及双曲线相切；直线及抛物线相切；3相离：直线及椭圆相离；直线及双曲线相离；直线及抛物线相离。特殊提示：1直线及双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。假如直线及双曲线的渐近线平行时,直线及双曲线相交,但只有一个交点；假如直线及抛物线的轴平行时
7、,直线及抛物线相交,也只有一个交点；2过双曲线1外一点的直线及双曲线只有一个公共点的状况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条及渐近线平行的直线和分别及双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条及渐近线平行的直线和只及双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是及另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；3过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.练习：1.假设直线2及双曲线x22=6的右支有两个不同的交点，那么k的取值范围是2.直线y1
8、=0及椭圆恒有公共点，那么m的取值范围是3.过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，假设4，那么这样的直线有条4.过点作直线及抛物线只有一个公共点，这样的直线有答：2；5.过点(0,2)及双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为6.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，假设4，那么满意条件的直线有7.对于抛物线C：，我们称满意的点在抛物线的内部，假设点在抛物线的内部，那么直线：及抛物线C的位置关系是答：相离；8.过抛物线的焦点作始终线交抛物线于P、Q两点，假设线段及的长分别是、，那么答：1；9.设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，那么和的大小关系
9、为(填大于、小于或等于) 答：等于；10.求椭圆上的点到直线的最短间隔 答：；11.直线及双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以为直径的圆过坐标原点？答：；七、焦半径圆锥曲线上的点P到焦点F的间隔 的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的间隔 ，即焦半径，其中表示P到及F所对应的准线的间隔 。练习：1.椭圆上一点P到椭圆左焦点的间隔 为3，那么点P到右准线的间隔 为答：；2.抛物线方程为，假设抛物线上一点到轴的间隔 等于5，那么它到抛物线的焦点的间隔 等于；3.假设该抛物线上的点到焦点的间隔 是4，那么点的坐标为答：；4.点P在椭圆上，它到左焦点的间隔
10、 是它到右焦点间隔 的两倍，那么点P的横坐标为5.抛物线上的两点A、B到焦点的间隔 和是5，那么线段的中点到轴的间隔 为6.椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，那么点M的坐标为答：；八、焦点三角形椭圆或双曲线上的一点及两焦点所构成的三角形问题：常利用第肯定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的间隔 分别为，焦点的面积为，那么在椭圆中， ，且当即为短轴端点时，最大为；，当即为短轴端点时，的最大值为；对于双曲线的焦点三角形有：；。练习：1.短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，那么的周长为答：6；2.设P是等轴双曲线右支上一点，F1
11、、F2是左右焦点，假设，16，那么该双曲线的方程为 答：；3.椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当0时，点P的横坐标的取值范围是答：；4.双曲线的虚轴长为4，离心率e，F1、F2是它的左右焦点，假设过F1的直线及双曲线的左支交于A、B两点，且是及等差中项，那么答：；5.双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程答：；九、抛物线中及焦点弦有关的一些几何图形的性质：1以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；2设为焦点弦， M为准线及x轴的交点，那么；3设为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，假设P为的中点，那么；4假设的延长线交准线于C，那么平行
12、于x轴，反之，假设过B点平行于x轴的直线交准线于C点，那么A，O，C三点共线。十、弦长公式：假设直线及圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，那么，假设分别为A、B的纵坐标，那么，假设弦所在直线方程设为，那么。特殊地，焦点弦过焦点的弦：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。练习：1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Ax1，y1，Bx2，y2两点，假设x12=6，那么等于2.过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，10，O为坐标原点，那么重心的横坐标为答：3；十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理或“点
13、差法求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。练习：1.假如椭圆弦被点A4，2平分，那么这条弦所在的直线方程是 答：；2.直线1及椭圆相交于A、B两点，且线段的中点在直线L：x20上，那么此椭圆的离心率为答：；特殊提示：因为是直线及圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！十二你理解以下结论吗？1双曲线的渐近线方程为；2以为渐近线即及双曲线共渐近线的双曲线方程为为参数，0。3中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；4椭圆、双曲线的通径过焦点且垂直于对称轴的弦为，焦准距
14、焦点到相应准线的间隔 为，抛物线的通径为，焦准距为； 5通径是全部焦点弦过焦点的弦中最短的弦；6假设抛物线的焦点弦为，那么；7假设、是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，那么直线恒经过定点13动点轨迹方程：1求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；2求轨迹方程的常用方法：干脆法：干脆利用条件建立之间的关系；如动点P到定点F(1,0)和直线的间隔 之和等于4，求P的轨迹方程答：或；待定系数法：所求曲线的类型，求曲线方程先依据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段过x轴正半轴上一点Mm，0，端点A、B到x轴间隔 之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，那
15、么此抛物线方程为答：；定义法：先依据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义干脆写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆作两条切线、，切点分别为A、B，600，那么动点P的轨迹方程为答：；2点M及点F(4,0)的间隔 比它到直线的间隔 小于1，那么点M的轨迹方程是 答：；(3) 一动圆及两圆M：和N：都外切，那么动圆圆心的轨迹为答：双曲线的一支；代入转移法：动点依靠于另一动点的改变而改变，并且又在某曲线上，那么可先用的代数式表示，再将代入曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，那么M的轨迹方程为答：；参数法：当动点坐标之间的关系不易干脆找到，也没有相关动
16、点可用时，可考虑将均用一中间变量参数表示，得参数方程，再消去参数得一般方程。如1是圆O的直径，且2a，M为圆上一动点，作，垂足为N，在上取点，使，求点的轨迹。答：；2假设点在圆上运动，那么点的轨迹方程是答：；3过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，那么弦的中点M的轨迹方程是答：；留意：假如问题中涉及到平面对量学问，那么应从向量的特点动身，考虑选择向量的几何形式进展“摘帽子或脱靴子转化，还是选择向量的代数形式进展“摘帽子或脱靴子转化。如椭圆的左、右焦点分别是F1c，0、F2c，0，Q是椭圆外的动点，满意点P是线段F1Q及该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满意1设为点P的横坐标，证明；2
17、求点T的轨迹C的方程；3试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F12的面积假设存在，求F12的正切值；假设不存在，请说明理由. 答：1略；2；3当时不存在；当时存在，此时F122曲线及曲线方程、轨迹及轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应留意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性及纯粹性的影响.在及圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程及函数性质化解析几何问题为代数问题、“分类探讨思想化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系等等.假如在一条直线上出现“三个或三个以上的点，那么可选择应用“斜率或向量为桥梁转化.
18、14、解析几何及向量综合时可能出现的向量内容：1 给出直线的方向向量或；2给出及相交,等于过的中点;3给出,等于是的中点;4给出,等于及的中点三点共线;5 给出以下情形之一：；存在实数；假设存在实数,等于三点共线.6 给出，等于是的定比分点，为定比，即7 给出,等于,即是直角,给出,等于是钝角, 给出,等于是锐角,8给出,等于是的平分线/9在平行四边形中，给出，等于是菱形;10 在平行四边形中，给出，等于是矩形;11在中，给出，等于是的外心三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；12 在中，给出，等于是的重心三角形的重心是三角形三条中线的交点；13在中，给出，等于是的垂心
19、三角形的垂心是三角形三条高的交点；14在中，给出等于通过的内心；15在中，给出等于是的内心三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；16 在中，给出,等于是中边的中线;求解圆锥曲线问题的几种措施 圆锥曲线中的学问综合性较强，因此解题时就须要运用多种根底学问、采纳多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、根本公式、法那么当然重要，但要做到快速、精确解题，还须驾驭一些方法和技巧。一. 紧扣定义，敏捷解题敏捷运用定义，方法往往干脆又明了。例1. 点A3，2，F2，0，双曲线，P为双曲线上一点。求的最小值。 解析：如下图， 双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线间隔 。
20、二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解：取如下图的坐标系，设点F到准线的间隔 为p定值，椭圆中心坐标为Mt，0t为参数 ，而 再设椭圆短轴端点坐标为Px，y，那么 消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数及“形两者结合起来，充分发挥“数的严密性和“形的直观性，以数促形，用形助数，结合运用，能使困难问题简洁化，抽象问题形象化。娴熟的运用它，常能奇妙地解决很多貌似困难和费事的问题。例3. ，且满意方程，又，求m范围。 解析：的几何意义为，曲线上的点及点3，3连线的斜率，如下图 四. 应用平几，
21、一目了然用代数探讨几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几题中的一些图形性质就和“平几学问相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例4. 圆和直线的交点为P、Q，那么的值为。 解： 五. 应用平面对量，简化解题向量的坐标形式及解析几何有机融为一体，因此，平面对量成为解决解析几何学问的有力工具。例5. 椭圆：，直线：，P是上一点，射线交椭圆于一点R，点Q在上且满意，当点P在上挪动时，求点Q的轨迹方程。 分析：考生见到此题根本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而假如用向量共线的条件便可简便地解出。 解：如图，共线，设，那么， 点R在椭圆上，P点在直线上 ， 即 化简整理得
22、点Q的轨迹方程为： 直线上方部分六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以敏捷运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例6. 求经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： 那么圆心为，在直线上 解得 故所求的方程为七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采纳点差法，此法比其它方法更简捷一些。例7. 过点A2，1的直线及双曲线相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。 解：设，那么 得 即 设P1P2的中点为，那么 又，而P1、A、M、P2共线 ，即 中点M的轨迹方程是解析几何题怎么解高考解析几何
23、试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考察的学问点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察. 选择题和填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的根底学问. 解答题重点考察圆锥曲线中的重要学问点, 通过学问的重组及链接, 使学问形成网络, 着重考察直线及圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的根本学问,这点值得考生在复课时强化. 例1 点T是半圆O的直径上一点，2、 (0t1)，以为直腰作直角梯形，使垂直且等于，使垂直且等于，交半圆于P、Q两点，建立如下图的直角坐标系.(1)写出直线的方程； 2计算出点P、Q的坐标
24、； 3证明：由点P发出的光线，经反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标.(1 ) 明显, 于是 直线的方程为；2由方程组解出、； 3, . 由直线的斜率和直线的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.须要留意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 好玩吗例2 直线l及椭圆有且仅有一个交点Q，且及x轴、y轴分别交于R、S，求以线段为对角线的矩形的一个顶点P的轨迹方程 讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后，得关于的一元二次方程 于是其判别式由，得=0即 在直线方程中
25、，分别令0，0，求得 令顶点P的坐标为x，y， 由，得 代入式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗 例3双曲线的离心率，过的直线到原点的间隔 是 1求双曲线的方程； 2直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 讲解：1原点到直线：的间隔 . 故所求双曲线方程为 2把中消去y，整理得 . 设的中点是，那么 即故所求.为了求出的值, 须要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且F12的最大值为90，直线l过左焦点F1及椭圆交于A、B两点，2的面积最大值为
26、12 1求椭圆C的离心率； 2求椭圆C的方程 讲解：1设, 对 由余弦定理, 得，解出 2考虑直线的斜率的存在性，可分两种状况： i) 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入，消去得 ,整理为的一元二次方程，得 .那么x1、x2是上述方程的两根且，也可这样求解： ，边上的高 ) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当2面积最大时椭圆的方程为： 下面给出此题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.椭圆的方程为：由得：于是椭圆方程可化为：把代入并整理
27、得：于是是上述方程的两根.,边上的高,从而当且仅当0取等号，即由题意知, 于是 .故当2面积最大时椭圆的方程为： 例5 直线及椭圆相交于A、B两点，且线段的中点在直线上.求此椭圆的离心率；2 假设椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.讲解:1设A、B两点的坐标分别为 得, 依据韦达定理，得 线段的中点坐标为. 由得，故椭圆的离心率为 . 2由1知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为解得 由得 ，故所求的椭圆方程为 .例6 M：轴上的动点，分别切M于A，B两点，1假如，求直线的方程；2求动弦的中点P的轨迹方程.讲解:1由，可得由射影定理，得 在中， ，故，所以直线方程是2
28、连接，设由点M，P，Q在始终线上，得由射影定理得即 把*及*消去a，并留意到，可得适时应用平面几何学问，这是快速解答此题的要害所在，还请读者反思其中的微妙. 例7 如图，在中，90，2，。于O点，2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| |的值不变.1建立适当的坐标系，求曲线E的方程；A O B C2过D点的直线L及曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围讲解: 1建立平面直角坐标系, 如下图| | 动点P的轨迹是椭圆曲线E的方程是 . 2设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得设M1, 那么 i) L及y轴重合时， ) L及y轴不重合时， 由得 又, 或
29、01 ,而 , ,的取值范围是 . 值得读者留意的是，直线L及y轴重合的状况易于遗漏，应当引起警觉. 例8 直线过抛物线的焦点，且及抛物线相交于A两点. 1求证：;2求证：对于抛物线的随意给定的一条弦，直线l不是的垂直平分线. 讲解: 1易求得抛物线的焦点. 假设lx轴，那么l的方程为.假设l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得. 综上可知 .2设，那么的垂直平分线的方程为假设过F，那么整理得 ，. 这时的方程为0，从而及抛物线只相交于原点. 而l及抛物线有两个不同的交点，因此及l不重合，l不是的垂直平分线.此题是课此题的深化，你可以找到它的原形吗？学问在记忆中积累，实力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例9 某工程要将直线马路l一侧的土石，通过马路上的两个道口A和B，沿着道路、运往马路另一侧的P处，100m，150m，60，试说明怎样运土石最省工？讲解: 以直线l为x轴，线段的中点为原点对立直角坐标系，那么在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，那么,即50,M在双曲线的右支上.故曲线右侧的土石层经道口B沿运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿运往P处，按这种方法运土石最省工.