2022年高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结 .pdf-淘文阁

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1、高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一. 圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1， F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于 | F1F2| ，定义中的 “绝对值”与2a|F1F2| 不可忽视。若2a|F1F2| ，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2| ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（2）第二定义中

2、要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“ 点点距为分子、点线距为分母” ，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。练习：1. 已知定点) 0, 3(),0, 3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C）；A421PFPFB621PFPFC1021PFPFD122221PFPF2. 方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_（答：双曲线的左支）3. 已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是 _（答： 2）二. 圆锥曲线

3、的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay1 （0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC0，且 A，B，C 同号， A B）。（ 2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax =1 ，焦点在y轴上：2222bxay1（0,0ab）。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B 异号）。（ 3）抛物线：开口向右时22(0)ypx p，开口向

4、左时22(0)ypx p，开口向上时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页练习：1. 已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为 _（答：11( 3,)(,2)22）；2. 若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是 _（答：5,2）3. 双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_ 4. 设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线 C 过点)10, 4(P，则

5、 C 的方程为 _（答：226xy）5. 已知方程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是_ 三. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲

6、线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。四. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线：两条准线2axc；离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。（2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：范围：xa或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0

7、 xy，一个对称中心（0,0 ），两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k；准线：两条准线2axc；离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。（3）抛物线（以22(0)ypx p为例）：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点

8、（0,0）；准线：一条准线2px；离心率：cea，抛物线1e。练习：1. 若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是 _（答： 3 或325）；2. 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_ 3. 双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于_（答：132或133）；4. 双曲线221axby的离心率为5，则:a b= （答： 4 或14）；5. 设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率 e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是 _（答：,32）；6. 设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为_（答：)161

9、, 0(a）；五、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax 1；（3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab六直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点

10、，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒：（ 1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页与抛物线相交 ,也只有一个交点；（2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直

11、线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线. 练习：1. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_ 2. 直线 ykx 1=0

12、与椭圆2215xym恒有公共点，则m 的取值范围是_ 3. 过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B 两点，若 AB 4，则这样的直线有_条4. 过点)4 ,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_（答： 2）；5. 过点 (0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ 6. 过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B 两点，若AB4，则满足条件的直线l有_ 7. 对于抛物线C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200 xxyy与抛物线C

13、的位置关系是_（答：相离）；8. 过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是p、q，则qp11_（答： 1）；9. 设双曲线191622yx的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,，则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于) （答：等于）；10. 求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（答：8 1313）；11. 直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？（答：3,3；1a）；七、焦半径

14、（圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页相应准线的距离，即焦半径red，其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。练习：1. 已知椭圆1162522yx上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为_（答：353）；2. 已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；3. 若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为 _（答：7,(2,4)）；4. 点 P在椭

15、圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为 _ 5. 抛物线xy22上的两点 A、B 到焦点的距离和是5，则线段 AB 的中点到y轴的距离为 _ 6.椭圆13422yx内有一点)1, 1(P，F 为右焦点，在椭圆上有一点M，使MFMP2之值最小，则点 M 的坐标为 _（答：)1,362(）；八、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy到两焦点12,F F的距离分别为12,r r，焦点12F PF的面积为S，则在椭圆12222byax中， ) 12arcco

16、s(212rrb，且当12rr即P为短轴端点时，最大为max222arccosacb；20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；对于双曲线22221xyab的焦点三角形有：21221arccosrrb；2cotsin21221brrS。练习：1. 短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于A、B 两点，则2ABF的周长为 _（答： 6）；2. 设 P 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212FFPF， |PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：224xy）；3. 椭圆22194xy的焦点为F

17、1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2PF1 0 时，点 P的横坐标的取值范围是（答：3 5 3 5(,)55）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页4. 双曲线的虚轴长为4，离心率 e26，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是2AF与2BF等差中项，则AB_（答：8 2）；5. 已知双曲线的离心率为2， F1、 F2是左右焦点， P 为双曲线上一点，且6021PFF，31221FPFS 求该双曲线的标准方程（答：221412xy）；九、抛物线中与焦点弦有关的一些

18、几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ；（3）设 AB为焦点弦， A、B在准线上的射影分别为 A1，B1，若 P为 A1B1的中点，则PAPB ；（4）若 AO的延长线交准线于C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过B点平行于x 轴的直线交准线于C点，则 A，O，C三点共线。十、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,x x分别为A、B 的横坐标，则AB2121kxx，若12,yy分别为 A、B 的纵坐标，则AB21211yyk，若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121k

19、yy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。练习：1. 过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x1， y1）， B （x2， y2）两点，若 x1+x2=6，那么 |AB|等于 _ 2. 过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B 两点，已知 |AB|=10 ，O 为坐标原点，则ABC重心的横坐标为 _（答： 3）；十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k= 0202yaxb；在

20、双曲线22221xyab中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypx p中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。练习：1. 如果椭圆221369xy弦被点A （ 4， 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280 xy）；2.已知直线y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于 A、B 两点，且线段AB 的中点在直线L：x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：22）；特别提醒：因为0是直线与圆

21、锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！十二你了解下列结论吗？（1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数， 0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2p，焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为AB ，1122(,

22、),(,)A x yB xy，则12|ABxxp；221212,4px xy yp（7）若 OA 、OB是过抛物线22(0)ypx p顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立, x y之间的关系( , )0F x y；如已知动点 P到定点 F(1,0) 和直线3x的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答：212(4)(34)yxx或24 (03)yxx）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待

23、定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点M（m，0）)0(m，端点 A、B 到 x 轴距离之积为2m，以 x 轴为对称轴，过A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22yx）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1) 由动点 P向圆221xy作两条切线PA、PB，切点分别为A、B， APB=600，则动点 P的轨迹方程为（答：224xy）；（2）点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线05xl：的距离小于1，则点 M的轨迹方程是 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

24、- -第 7 页，共 18 页（答：216yx）； (3)一动圆与两圆M ：122yx和 N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点( , )P x y依赖于另一动点00(,)Q xy的变化而变化，并且00(,)Q xy又在某已知曲线上，则可先用,x y的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P是抛物线122xy上任一点，定点为)1,0(A, 点 M分PA所成的比为2，则 M的轨迹方程为 _（答：3162xy）；参数法：当动点( , )P x y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将, x y均

25、用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆 O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作 MN AB，垂足为 N，在 OM上取点P，使| |OPMN，求点P的轨迹。（答：22|xya y）；（2）若点),(11yxP在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是 _ （答：2121(|)2yxx）；（3）过抛物线yx42的焦点 F 作直线l交抛物线于A 、B两点，则弦AB的中点 M的轨迹方程是 _（答：222xy）；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，

26、还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆)0( 12222babyax的左、右焦点分别是F1（ c，0）、F2（c，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2|1aQF点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F2Q 上，并且满足.0| , 022TFTFPT（ 1）设x为点 P 的横坐标，证明xacaPF|1；（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点M，使 F1MF2的面积 S=.2b若存在，求 F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（ 2）222xya；（3）当2bac

27、时不存在；当2bac时存在，此时 F1MF22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于 “平面几何性质”数形结合( 如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 ) 、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化 . 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量ku,1或nmu,；（

28、2）给出OBOA与AB相交 ,等于已知OBOA过AB的中点 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页（3）给出0PNPM,等于已知P是MN的中点 ; （4）给出BQBPAQAP,等于已知QP,与AB的中点三点共线 ; （ 5 ）给出以下情形之一： ACAB /；存在实数,ABAC使；若存在实数,1,OCOAOB且使, 等于已知CBA,三点共线 . （6）给出1OBOAOP，等于已知P是AB的定比分点，为定比，即PBAP（7）给出0MBMA,等于已知MBMA,即AMB是直角 ,给出

29、0mMBMA,等于已知AMB是钝角 , 给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角 , （8）给出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分线 / （9）在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形 ; （10）在平行四边形ABCD中，给出| |ABADABAD，等于已知ABCD是矩形 ; （11）在ABC中，给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在ABC中，给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC中，给出OAO

30、COCOBOBOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC中，给出OAOP()|ABACABAC)(R等于已知AP通过ABC的内心；（15）在ABC中，给出,0OCcOBbOAa等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在ABC中，给出12ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线 ;求解圆锥曲线问题的几种措施圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧

31、扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1. 已知点 A（3，2），F（2，0），双曲线xy2231，P为双曲线上一点。求|PAPF12的最小值。解析：如图所示，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知12|PF即点 P 到准线距离。| | |PAPFPAPEAM1252二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l的距离为 p（

32、定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t 为参数）pbc2，而ctbpcpt2再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则xctybpt消去 t，得轨迹方程ypx2三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3. 已知x yR,，且满足方程xyy2230()，又myx33，求 m 范围。解析：myx33的几何意义为，曲线xyy2230()上的点与点（3， 3）连线的斜率，如图所示kmkPAPB332352m四. 应用平几，一目

33、了然精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4. 已知圆()xy3422和直线ymx的交点为 P、Q，则|OP OQ的值为 _。解：OMPOQN| |OP OQOMON5五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例 5. 已知椭圆：xy2224161，直线l：xy1281，P 是l上一点，射线OP 交椭圆于一

34、点R，点 Q 在 OP上且满足| |OQ OPOR2，当点 P 在l上移动时，求点Q 的轨迹方程。分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图，OQOROP，共线，设OROQ，OPOQ，OQxy()，则ORxy()，OPxy()，| |OQ OPOR2|OQOQ2222点 R 在椭圆上， P点在直线l上222224161xy，xy1281即xyxy222416128化简整理得点Q 的轨迹方程为：()()xy152153122（直线yx23上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效

35、。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例 6. 求经过两圆xyx22640和xyy226280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：xyxxyy2222646280()()()()1166284022xyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页则圆心为()3131，在直线xy40上解得7故所求的方程为xyxy227320七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7. 过点 A（2，1）的直线与双曲线xy2221

36、相交于两点P1、P2，求线段 P1P2中点的轨迹方程。解：设P xy111()，Pxy222()，则xyxy12122222211212得()()()()xxxxyyyy211221122即yyxxxxyy212112122()设 P1P2的中点为M xy()00，则kyyxxxyP P122121002又kyxAM0012，而 P1、A、M、P2共线kkP PAM1 2，即yxxy0000122P P12中点 M 的轨迹方程是24022xyxy解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4 题(2 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 30 分左右 , 考查的知识点约为20

37、个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2 、 OT=t (0t1) ，以 AB 为直腰作直角梯形BBAA，使AA垂直且等于AT，使BB垂直且等于BT，BA交半圆于 P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线BA的方程；（2）计算出点P、Q 的

38、坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q. 讲解 : 通过读图 , 看出,BA点的坐标 . (1 ) 显然tA1 , 1, ，tB11于是直线BA的方程为1txy；（2）由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(2221112ttttQ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页（3）ttkPT1001, tttttttttkQT1111201122222)(. 由直线 PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q. 需要注意的是

39、 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗 ? 例 2 已知直线 l 与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点Q，且与 x 轴、y 轴分别交于R、S，求以线段 SR为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程讲解：从直线l所处的位置 , 设出直线l的方程 , 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于x的一元二次方程.02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkab

40、abamabkamka由已知，得 =0即.2222mbka在直线方程mkxy中，分别令y=0 ，x=0，求得)., 0(),0,(mSkmR令顶点 P 的坐标为（ x，y），由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得12222ybxa, 即为所求顶点P 的轨迹方程方程12222ybxa形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例 3 已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求k 的值 . 讲解：（

41、1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去 y，整理得07830)31(22kxxk. 设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则012000220115515,.21313BEyxxkxykxkkkxk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求 k=7.为了求出k的值, 需要通过消元 , 想法设法建构k的方程

42、. 例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点F1、F2在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90，直线 l 过左焦点 F1与椭圆交于A、B 两点， ABF2的面积最大值为12（1）求椭圆 C 的离心率；（2）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设112212|,|,| 2PFrPFrF Fc, 对,21FPF由余弦定理 , 得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，解出.22e（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当 k 存在时，设l 的方程为)(c

44、，把直线cx代入椭圆方程得221,|2 ,2222ycABc Scc由知 S 的最大值为22c由题意得22c =12 所以2226bc2122a故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：. 12621222yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：cmyx（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）也可这样求解：|212121yyFFS|21xxkc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页椭圆的方程为：),(),(, 122112222yxByxAbyax由.22e得：,2222

45、2cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx把代入并整理得：02)2(222cmcyym于是21, yy是上述方程的两根. 222121221|()()1|ABxxyymyy2)2(441222222mmccmm2)1 (2222mmc, AB 边上的高212mch, 从而222222)2(122122)1(2221|21mmcmcmmchABS.221111222222cmmc当且仅当 m=0 取等号，即.22maxcS由题意知1222c, 于是212,26222acb. 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx例 5 已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax

46、相交于A、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:yxl上.（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程. 讲解 :（ 1）设 A、B 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由得02)(2222222baaxaxba, 根据韦达定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx线段 AB 的中点坐标为（222222,babbaa）. 由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa，故椭圆的离心率为22e . （ 2 ）由（ 1 ）知, cb从而椭

47、圆的右焦点坐标为),0 ,(bF设)0 ,(bF关于直线02:yxl的对称点为,02221210),(000000ybxbxyyx且则解得bybx545300且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页由已知得4, 4)54()53(, 42222020bbbyx，故所求的椭圆方程为14822yx . 例 6 已知 M：xQyx是, 1)2(22轴上的动点， QA，QB 分别切 M 于 A，B 两点，（1）如果324| AB，求直线 MQ 的方程；（2）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

48、讲解 :（ 1）由324| AB，可得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由射影定理，得, 3|,|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，523|2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线 AB 方程是;0525205252yxyx或（2）连接 MB，MQ ，设),0,(),(aQyxP由点 M，P，Q 在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|2MQMPMB即(*), 14)2(222ayx把（ *）及（ *）消去 a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例 7 如图，在 RtA

49、BC 中， CBA=90 ， AB=2 ，AC=22。DOAB 于 O 点， OA=OB ，DO=2 ，曲线 E 过 C点，动点 P 在 E 上运动，且保持 | PA |+| PB | 的值不变 . （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点M、N 且 M 在 D、N 之间，设DNDM，试确定实数的取值范围讲解 : （ 1 ）建立平面直角坐标系 , 如图所示 | PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=22)22(22222动点P 的轨迹是椭圆2,1,1abc曲线 E 的方程是1222yx . （

50、 2）设直线L 的方程为2kxy, 代入曲线E 的方程2222yx，得A O B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页068)12(22kxxk设 M1（),(),221,1yxNyx, 则.126,128, 06) 12(4)8(2212212kxxkkxxkki) L 与 y 轴重合时，31|DNDMii) L 与 y 轴不重合时，由得.232k又21xxxxxxDNDMNDMD, ,012xx或,012xx01 , 212)(122121221xxxxxxxx)12( 332)12(664)(222212

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