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1、.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。第 3 章 不等式 三个二次间的关系【例 1】设关于x的一元二次方程ax2x10(a0)有两个实根x1，x2，求证：x11且x20)，由14a0，得 02a12，12a20，交点中右侧的那个也在直线x1 的左侧 而函数f(x)与x轴交点的横坐标分别为方程ax2x10 的两根x1，x2，x11 且x21.对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：相应的二次函数图像及与x轴的交点，相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图像及与x轴的交点
2、).下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。1假设关于x的不等式ax26xa20 的解集是(1，m)，那么m_.2 因为ax26x2a21 m1，1m6a，1ma m2，a2.不等式的恒成立问题【例 2】不等式mx2mx10.(1)假设xR 时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)假设x1,3时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)假设满足|m|2 的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围 解(1)假设m0，原不等式可化为10，显然恒成立；假设m0，那么不等式mx2mx10 恒成立 m0，m24m0，解得4m0.综上可知，实数m的取值范围是(4,0(2)令f(x)mx2mx1，当m
3、0 时，f(x)10 时，假设对于x1,3不等式恒成立，只需 f10，f30即可，f110，f39m3m10，解得m16，0m16.当m0 时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x12，假设x1,3时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)0 即可，解得mR，m0 符合题意 综上所述，实数m的取值范围是，16.(3)令g(m)mx2mx1(x2x)m1，假设对满足|m|2 的一切m的值不等式恒成立，那么只需 g20，g20，即 2x2x10，2x2x10，解得1 32x1 32.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。实数x的取值范围是1 32，1 32.对于不等式恒成立求参数范围问
4、题常见类型及解法有以下几种(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定适宜的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元(2)别离参数法：假设f(a)g(x)恒成立，那么f(a)g(x)恒成立，那么f(a)g(x)max.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化 2(1)f(x)x24x3，x0，x22x3，x0，不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，那么实数a的取值范围是()A(，2)B(，0)C(0,2)D(2,0)A 因为f(x)为 R 上的减函数，故f(xa)f(2ax)xa2ax，从而 2xa，所以2(a1)a，解得a0，36k24kk80.解得 0k1
5、.综上，k的取值范围是0,1 简单线性规划问题【例 3】两类药片有效成分如下表所示，假设要求至少提供 12 毫克阿司匹林，70 毫克小苏打，28 毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。成分 种类 阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)A(毫克/片)2 5 1 B(毫克/片)1 7 6 解 设A，B两种药品分别为x片和y片(x，yN)，那么有 2xy12，5x7y70，x6y28，x0，y0，两类药片的总数为zxy，两类药片的价格和为kxy.如下图，作直线l：xy0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最
6、近 解方程组 2xy12，5x7y70，得交点A坐标149，809.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是xy11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为 11.药片最小总数为 11 片同理可得，当x3，y8 时，k取最小值 1.9，因此当A类药品 3 片、B类药品 8 片时，药品价格最低 解线性规划问题的一般步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(4)求：通
7、过解方程组求出最优解(5)答：作出答案.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。31xy4 且 2xy3，那么z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)3,8 作出不等式组 1xy4，2xy3表示的可行域，如图中阴影局部所示 在可行域内平移直线 2x3y0，当直线经过xy2 与xy4 的交点A(3,1)时，目标函数有最小值zmin23313；当直线经过xy1 与xy3 的交点B(1，2)时，目标函数有最大值zmax21328，所以z3,8 利用根本不等式求最值 探究问题 1利用不等式ab2ab的条件是什么？提示 一正：即a0，b0；二定：ab为定值，ab有最大值；ab为定值，ab有最小值；三相
8、等当且仅当ab时等号成立，三者缺一不可 2设x0，y0，xy1，求xy的最大值，你有几种思路解决这个问题？提示 法一(直接应用不等式)：xyxy2214，当xy12时等号成立 法二(消元法)：由xy1 得y1x，那么xyx(1x)x1x2214，当x12时等号成立 法三(函数法)：由xy1 得y1x，那么xyx(1x)x2xx1221414，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。当x12时等号成立【例 4】x0，y0，x2y2xy8，那么x2y的最小值是()A3 B4 C92 D112 思路探究：法一：通过分解因式，配凑出含x1 与 2y1 的积的定值，利用根本不等式求解 法二：利用条件，
9、用x表示y代入x2y，配凑出积的定值，利用根本不等式求解 法三：在条件x2y2xy8 中配凑出双变量x与 2y，利用根本不等式消去 2xy，然后解二次不等式可解 B 法一：依题意得，x11,2y11，易知(x1)(2y1)9，那么(x1)(2y1)2 x12y12 96，当且仅当x12y13，即x2，y1 时，等号成立，因此有x2y4，所以x2y的最小值为 4.法二：由题意得，x82y2y12y192y1192y1，x2y192y12y192y12y11292y12y124，当且仅当 2y13，即y1 时，等号成立 法三：由x2y2xy8 得x2y14(x2y)2x2y2xy8，即(x2y)2
10、4(x2y)320，所以(x2y)8(x2y4)0，因为x0，y0，所以x2y40，即x2y4，当且仅当x2，y1 时等号成立 1(变结论)例 4 的条件不变，求xy的最大值 解 因为x2y2 2xy，且x2y2xy8，所以 2 2xy2xy8，即(xy)2 2xy40 故(xy2 2)(xy 2)0，又xy0，故xy 20.所以xy2，当且仅当x2y，即x2，y1 时等号成立即xy的最大值为 2.2(变条件)例 4 的条件变为：x0，y0，x2yxy0，求x2y的最小值 解 由x2yxy0 得x2yxy，2x1y1，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。故x2y(x2y)2x1y44yxxy424yxxy8，当且仅当4yxxy，即x4，y2 时等号成立 利用根本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值，直接应用根本不等式求解，但要注意利用根本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换或“常数 1”的替换，构造不等式求解