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1、.第第 3 3 章章 不等式不等式探究问题1 1当a0 时，假设方程axbxc0 有两个不等实根，且0 的解集是什么？提示借助函数f(x)axbxc的图象可知，不等式的解集为x|x2 2假设探究 1中的a0 的解集是什么？提示解集为x|x3 3假设一元二次方程axbxc0 的判别式b4ac0 的解集是什么？提示当a0 时，不等式的解集为 R R；当a0【例 1 1】假设不等式组2的整数解只有2，求k的取值范围2x2k5x5k0，得x2.52对于方程 2x(2k5)x5k0 有两个实数解x1，x2k.25555，显然2k，.kxk，即k 时，不等式的解集为x2222252(2)当k 时，不等式
2、2x(2k5)x5k0 的解集为.255(3)当 k，即k 时，225不等式的解集为x xk.2x1，不等式组的解集由5 x2，或5确定 xk2原不等式组整数解只有2，2k3，故所求k的范围是3k2.(变条件，变结论)假设将例题改为“aR R，解关于x的不等式ax2xa0解(1)假设a0，那么原不等式为2x0(2)假设a0，44a.1 1a1 1a当0，即 0a1 时，方程ax2xa0 的两根为x1，x2，22222aa221 1a1 1a.原不等式的解集为xxaa当0，即a1 时，原不等式的解集为.当1 时，原不等式的解集为.(3)假设a0，即1a0 时，原不等式的解集为xxaa2当0，即a
3、1 时，原不等式可化为(x1)0，原不等式的解集为x|xR R 且x1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2.当0，即a1 时，原不等式的解集为R R.综上所述，当a1 时，原不等式的解集为；21 1a21 1a；当 0a1 时，原不等式的解集为xx0；221 1a1 1a；当a1 时，原不当1a0 时，原不等式的解集为xxaa等式的解集为x|xR R 且x1；当a0(a0)或axbxc0)的形式；求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集(2)含参数的一元二次不等式解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不
4、可少的22【例 2 2】不等式mxmx10.(1)假设xR R 时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)假设x1，3时不等式恒成立，求实数m的取值范围；2不等式恒成立问题(3)假设满足|m|2 的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题解(1)假设m0，原不等式可化为10，显然恒成立；假设m0，那么不等式mx2m0，mx10 恒成立解得4m0.2m4m0，综上可知，实数m的取值范围是(4，0(2)令f(x)mxmx1，当m0 时，f(x)10 显然恒成立；f10 时，假设对于x1，3不等式恒成立，只需即可，f302下载后可自行编
5、辑修改，页脚下载后可删除。.f110，11解得m，0m.66f39m3m10，1当m0 时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x，假设x1，3时不等式恒成2立，结合函数图象(图略)知只需f(1)0 即可，解得mR R，m0 符合题意综上所述，实数m的取值范围是1，6.(3)令g(m)mx2mx1(x2x)m1，假设对满足|m|2 的一切m的值不等式恒成立，那么只需g20，g20，22xx10，2x2x10，解得1 32x1 32.实数x的取值范围是1 31 32，2.对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定适宜的主元，一般知道取值范围
6、的变量要看做主元(2)别离参数法假设f(a)g(x)恒成立，那么f(a)g(x)恒成立，那么f(a)g(x)max.(3)数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化1 1设f(x)mx2mx6m，(1)假设对于m2，2，f(x)0 恒成立，求实数x的取值范围；(2)假设对于x1，3，f(x)0，所以g(m)在2，2上递增，所以欲使f(x)0 恒成立，需g(m)2maxg(2)2(xx1)60，下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。即.解得1x2.(2)法一：要使f(x)m(xx1)60 在1，3上恒成立，那么有m6在1，3上恒成立，xx122而当x1，3时，6xx1266
7、，29317x13246所以m266，xx1min76因此m的取值范围是，.7法二：当m0 时，f(x)60，那么f(x)在1，3上单调递增，要使f(x)0 对x1，3恒成立，只需f(3)0 即 7m60，6所以 0m.7假设m0，那么f(x)在1，3上单调递减，要使f(x)0 对x1，3恒成立，只需f(1)0 即m6，所以m0.6综上可知m的取值范围是，.7线性规划问题x4y130，【例 3 3】变量x，y满足约束条件2yx10，且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxy40，xmy取得最小值，那么m_思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m，故需讨论m的值，再结合可行
8、域，数形结合确定满足题意的m的值.1 1作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影局部所示下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.假设m0，那么zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意1z1假设m0，目标函数zxmy可看作动直线yx，假设m0，数形mmm结合知使目标函数zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个；1假设m0，那么 0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)m1在线段AB上，使目标函数zxmy取得最小值，即 1，那么m1.m综上可知，m1.1 1线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成
9、任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务消耗的人力、物力资源最少2 2解答线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(4)求：通过解方程组求出最优解(5)答：作出答案2 2制定投资方案时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个工程，根据预测，甲、乙工程可能的最大盈利率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为30%和 10%，投资人方案投资金
10、额不超过10 万元，问投资人对甲、乙两个工程各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个工程下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.xy10，xy，由题意，知x0，y0，目标函数zxy.画出可行域如图中阴影局部作直线l0：xy0，并作平行于l0的一组直线xyz，zR R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M时，z取得最大值xy10，由得xy，x4，即M(4，6)y6，此时z40.567(万元)当x4，y6 时，z取得最大值，即投资人用4 万元投资甲工程，6 万元投资乙工程，才能在确保亏损不超过万元的前提下，使可能的盈利最大.【例 4 4】设函数
11、f(x)x利用根本不等式求最值ax1，x0，)(1)当a2 时，求函数f(x)的最小值；(2)当 0a0，x120，x1222 2，当且仅当x1，x1x1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.即x 21 时，f(x)取等号，此时f(x)min2 21.(2)当 0a1 时，f(x)x1假设x1ax11ax12a，那么当且仅当x1ax1时取等号，此时xa10，b0)解“定积求和，和最小2问题，用abab解“定和求积，积最大问题2kx(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)x(k0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等特别是利用拆项、添项、配凑、别离变量、减少变元等，构造定值条件
12、的方法和对等号能否成立的验证3某种商品原来每件售价为25 元，年销售 8 万件(1)据市场调查，假设价格每提高1 元，销售量将相应减少2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进展全面技术革新12和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x600)万元作为技改费用，投入 50 万61元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少5应到达多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解(1)设每件定价为t元，依题意，有8(t25)0.2t258，整理得t65t1 0000，下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2.解得 25t40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元121(2)依题意，x25 时，不等式ax25850(x600)x有解，等价于x25 时，a6515011x 有解x651501x2x61501x10(当且仅当x30 时，等号成立)，x6a10.2.因此当该商品明年的销售量a，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件 30 元下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。