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1、.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。3.1 根本不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解根本不等式的证明过程及其几何解释(难点)2了解算术平均数，几何平均数的定义(重点)3会用根本不等式推出与根本不等式有关的简单不等式(重点)1.通过根本不等式的推导，培养逻辑数学素养 2通过根本不等式的应用，提升数学运算素养.1根本不等式 阅读教材 P88P89阅读材料以上局部，完成以下问题(1)根本不等式 如果a，b都是非负数，那么ab2ab，当且仅当ab时，等号成立，称上述不等式为根本不等式，其中ab2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式(2)根本不
2、等式的文字表达 两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数(3)意义 几何意义：半径不小于半弦 数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 思考：(1)不等式a2b22ab(a，bR)成立吗？如何证明？提示 成立，证明如下：由a2b22ab(ab)20，知a2b22ab(2)设x0，y0，比拟1x1y和2xy的大小 提示 在不等式ab2ab中令a1x，b1y可得1x1y2xy.2根本不等式的证明 一般地，对于任意实数a，b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立 特别地，如果a0，b0，我们用a，b分别代替a，b可得ab2ab，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。通常我们
3、把上式写作abab2(a0，b0)下面我们来证明一下：要证 ab2ab，只要证 ab2ab，要证只要证ab2ab0，要证只要证(ab)20，显然成立，当且仅当ab时中的等号成立 1给出以下条件：ab0；ab0；a0，b0；a0，b0，其中能使baab2成立的条件有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 C 当ba，ab均为正数时，baab2，故只须a、b同号即可，均可以 2不等式x44x(x0)中等号成立的条件是_ x4 由ab2ab(a0，b0)中等号成立的条件是ab知x4.3比拟大小：x232_ 3x.在不等式a2b22ab中令ax，b 3，可得x232 3x，当x 3时等号成立 4设
4、常数a0，假设 9xa2xa1 对一切正实数x成立，那么a的取值范围是_ 15，由题意知，当x0 时，(x)9xa2x29xa2x6aa1a15.利用根本不等式比拟大小【例 1】0a1,0b0，b0，所以ab2ab，a2b22ab，所以四个数中最大数应为ab或a2b2.又因为 0a1,0b1，所以a2b2(ab)a2ab2ba(a1)b(b1)0，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。所以a2b20，b0，试比拟ab2，ab，a2b22，21a1b的大小，并说明理由 解 因为a0，b0，所以1a1b2ab；即ab21a1b(当且仅当ab时取等号)，又ab22a22abb24a2b2a2b2
5、4 a2b22，所以ab2a2b22(当且仅当ab时等号成立)，而abab2，故a2b22ab2ab21a1b(当且仅当ab时等号成立)用根本不等式 证明不等式【例 2】x，y都是正数 求证：(1)yxxy2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.证明(1)x，y都是正数，xy0，yx0，yxxy2yxxy2，即yxxy2，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy2xy0，x2y22x2y20，x3y32x3y30.(xy)(x2y2)(x3y3)2xy2x2y22x3y38x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，
6、当且仅当xy时，等号成立 利用根本不等式证明不等式的注意点(1)在利用根本不等式证明时，要注意查看根本不等式成立的条件是否满足，假设所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立(2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便利用根本不等式 2a，b，c为正数，且abc1，证明：(1a)(1b)(1c)8abc 证明(1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab)2bc2ac2ab8abc 当且仅当bca13时，等号成立 根本不等式ab2ab 的几何解释 探究问题 1如何用a，b表示PQ、OP的长度？提示 由射影定理可知PQab，而OP12ABab
7、2.2通过OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？提示 半径OPab2，显然，它大于或等于PQ，即ab2ab，其中当且仅当点Q与圆心O重合 如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连结AP，PB你能利用这个图形得出根本不等式ab2ab的几何解释吗？.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。【例 3】a，b，c0，求证：abcabbcca.思路探究：利用根本不等式及不等式的性质证明 证明 a0，b0，c0，ab2ab，bc2bc，ac2ac，2(abc)2(abbcac)，即abcabbcac，当且仅当abc时等号成立 1(变结论)例 3 的条
8、件不变，求证：(ab)(bc)(ca)8abc 证明 因为a0，b0，c0，所以ab2ab0，bc2bc0，ac2ac0，所以(ab)(bc)(ca)2ab2bc2ac8abc，即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时等号成立 2(变条件)例 3 的条件中添加“1a1b1c1”，试比拟abc与 9 的大小关系 解 因为1a1b1c1，所以abc1a1b1c(abc)3bacaabcbacbc3baabcaaccbbc32baab2caac2cbbc32229.当且仅当abc3 时等号成立，即abc9.利用根本不等式证明不等式的技巧(1)证明不等式时要对其进展合理的拆分，如例 3 中
9、把abc拆分为ab，bc和ca，以便应用根本不等式得出不等关系(2)证明不等式时要注意应用不等式的性质，如不等式的可加性、可乘性等 1在利用根本不等式时要注意等号成立的条件，特别是连续应用根本不等式时要注意各.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。不等式等号成立的条件是否一致 2在利用根本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理拆分或适当恒等变形，以便于利用根本不等式 3由根本不等式变形得到的常见的结论(1)abab22a2b22(a，bR)；(2)abab2a2b22(a，bR)；(3)baab2(a，b同号)；(4)(ab)1a1b4(a，bR)；(5)a2b2c2abbcca(a，b，c
10、R)1判断正误(正确的打“，错误的打“)(1)假设a，bR，那么ab2ab.()(2)不等式a2b22ab中等号成立的条件是ab()(3)ab22ab成立的条件是a0，b0.()答案(1)(2)(3)提示(1)错误，当a0，b0 时，不等式才能成立；(2)正确；(3)错误，由ab22aba2b22ab4ab a2b22ab414(ab)20 可知，ab22ab对任意的a，bR 都成立 2假设xy3，那么()Ax2y26 Bx2y26 Cx2y23 Dx2y23 A 由x2y22xy得x2y26.3假设aR 时，以下不等式成立的是_ a214a；a(1a)14；1aa2；a21a22.由根本不等式知，正确，显然正确，只有当a0 时才成立 4设a0，b0，c0，且abbcac1，求证a2b2c21.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。证明 a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，相加可得(a2b2)(b2c2)(a2c2)2ab2bc2ac 即a2b2c2abbcac1.当且仅当abc时等号成立