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1、.第第 3 3 章章 不等式不等式不等关系与不等式【例 1】(1)如果a，b，c满足cba且acacBc(ba)0Ccb2ab2Dac(ac)0a3，2b1，求ab，b2(2)2a的取值范围(1 1)C C因为ca，且ac0，所以c0.A 成立，因为cb，所以acacB 成立，因为ba，ba0.C 不一定成立，当b0 时，cb2ab2不成立D 成立，因为c0，所以ac(ac)0.(2)解：因为2b1，所以 1b2.又因为 2a3，所以 2ab6，所以6ab2.因为2b1，所以 1b24.2因为 2a3，所以131a11b2，所以3a0，b0，且ab，比拟 与ab的大小baab解因为(ab)ba
2、a2b2a2b2b2a2 b ababa122122ab(ab)(ab)22baabab ab，2ab因为a0，b0，且ab，所以(ab)0，ab0，ab0，2ab所以(ab)0，baa2b2即 abba222不等式的恒成立问题【例 2】假设不等式xax3a0 对于满足2x2 的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围思路探究因为(x1)的符号不确定，所以参变量a不能别离，只好研究二次函数yxax3a解设f(x)xax3a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足22下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.2x2 的一切实数x恒有f(x)0，只需满足：(1)a4(3a)0，(2)f27a0，
3、a220，成立a243a0，f273a0，或f27a0，a220.2a243a0，解(1)(2)得，当7a0 对于满足2x2 的一切实数x恒对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定适宜的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元(2)别离参数法假设f(a)g(x)恒成立，那么f(a)g(x)恒成立，那么f(a)g(x)max.(3)数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化2在 R R 上定义运算：abcdx1a2adbc假设不等式1 对任意实数xxa13B23D22恒成立，那么实数a的最大值为()1A21C3D D原不
4、等式等价于x(x1)(a2)(a1)1，即xx1(a1)(a2)对任意x5512522恒成立，xx1x ，所以 aa2，4424下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.13 a.应选 D22【例 3】设函数f(x)x利用均值不等式求最值ax1，x0，).(1)当a2 时，求函数f(x)的最小值；(2)当 0a0，x120，x1222 2，当且仅当x1，x1x1即x 21 时，f(x)取最小值，此时f(x)min2 21.(2)当 0a1 时，f(x)x1假设x1ax11，ax12a，那么当且仅当x1ax1时取等号，此时xa10，b0)解“定积求和，和最小ab2问题，用ab解“定和求积，积最大
5、问题2(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)x(k0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等特别是利用拆项、添项、配凑、别离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证4163(1)假设x，y都是正数，且满足 1，求xy的最小值；kxxy11(2)假设正实数x，y满足xy 5，求xy的最大值xy416解(1)xy1(xy)(xy)xy204y16x202yx4y16x36，xy当且仅当x12，y24 时，等号成立，xy的最小值为 36.xy(2)xy，x0，y0，44xy4，2，xyxyxyxy144xyt，即t 5，得到t25t40.xyt2xy解得 1t4.xy
6、的最大值为 4.线性规划问题【例 4】某人上午 7 时，乘摩托艇以v海里/时(4v20)的速度从A港出发匀速驶到距离A港 50 海里的B港去，然后乘汽车以u千米/时(30u100)的速度从B港向距离B港300 千米的C市匀速驶去，应该在同一天下午4 时至 9 时到达C市设乘汽车、摩托艇所花费的时间分别是x，y小时如果所需经费p1003(5x)2(8y)(元)，那么v，u分别是多少时最经济？此时需花费多少元？5030050300思路探究由题设知v，u，4v20,30u100.所以 420,30yxyx下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.525100，所以 3x10，y，又由于乘汽车、摩托艇
7、所需时间的和xy应在 9 小时至2252514 小时之间，也就是 9xy14，由此说明x，y满足y，229xy14，化为一个线性规划问题3x10，525解分析题中条件可知约束条件为y，229xy14，3x10，所以问题就转目标函数为p1003(5x)2(8y)，即p3x2y131.作出可行域，如图中阴影局部设 131pk，那么k最大时，p最小作一组平行直线l：3x2yk，当直线过可行域50300上的点A(10,4)时，k最大，即当x10，y4 时，p最小，此时v12.5，u30，yxp的最小值为pmin3102413193(元)故当v为 12.5 海里/时，u为 30 千米/时时最经济，此时需
8、花费93 元1线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务消耗的人力、物力资源最少2解答线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(4)求：通过解方程组求出最优解(5)答：作出答案x10，4假设x，y满足约束条件xy0，xy40，yx那么 的最大值为_yx3画出
9、可行域如图阴影所示，表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时 最大x1，由xy40，yxx1，得y3.A(1,3)，的最大值为 3.yx一元二次方程、一元二次不2等式与二次函数的关系【例 5】设不等式x2axa20 的解集为M，如果M 1,4，求实数a的取值范围思路探究由题意，知方程x2axa20 的两根均在区间1,4内，由此可知，函数f(x)x2axa2 的图象与x轴的交点在区间1,4内，因此可得函数的系数应满足的条件不等式，即可求解解当M时，满足M 1,4，有4a4(a2)0，所以1a2.当M时，因为M 1,4，所以方程x2axa20 的两根x1，x2均在区间
10、1,4内因此函数f(x)x2axa2 与x轴的两交点均在区间1,4内，如下图22222下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.f40，那么有0，2a124，a18，7即a1或a2，1a4，a3，f10，187a0，所以4a4a20，1a4，23a0，18解得 2a.718综上可知，实数a的取值范围是a1a7.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不
11、等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象提醒其解(或解集)的几何特征5假设关于x的方程 4 a2 a10 有实数解，求实数a的取值范围解法一：令2 t，那么t0，方程4 a2 a10 有实数解转化为方程tata10 在(0，)上有实数解令f(t)tata1.假设方程tata10 有一正一负两根，那么必须只需f(0)0，即a10，a1；22xxxxx2假设方程tata1020，f00，有两个正根，那么必须且只需a20，即下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.a4a40，a10，a0，22解得1a22 2；假设方程tata10 有零根，那么a1，方程变为tt0，解得t0 或t1，
12、符合题意综上所述，实数a的取值范围是(，22 2法二：令 2 t0，原方程化为tata10.2t21t12所以a1tt12x2t1222t1t1t12 2222 2.当且仅当t12 2.2，即t 21 时，取等号，所以实数a的取值范围是(，2t1xx20，【例 6】假设不等式组22x2k5x5k0，得x2.对于方程 2x(2k5)x5k0 有两个实数解，22x1，x2k.55(1)当 k，即k 时，不等式的解集为225xkx2525，显然2k，.252(2)当k 时，不等式 2x(2k5)x5k0 的解集为.255(3)当 k，即k 时，225 xk不等式的解集为x2.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.x1，不等式组的解集由5 x2，或5 xk2确定原不等式组整数解只有2，20，0，x2，x1x2，x11(a1)x2ax110，x2解原不等式可化为即(a1)xa2(x2)0(*)，a1(1)当a1 时，(*)式即为xa2a2aa2(x2)0，而20，所以2 或x.a1(2)当a1 时，(*)式即为xa2a2a(x2)0，而 2，a1a1a1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.假设 0a2，此时 2x；a1a12假设a0，那么(x2)0，此时无解；假设a0，那么a2a22，此时x2.a1a1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。