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1、第一章函数与极限第一章函数与极限 函数与极限函数与极限 函数函数 极限极限 函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 数列极限的定义数列极限的定义 函数极限的定义函数极限的定义 断定方法断定方法 夹逼准则夹逼准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 无穷小与无穷大量、无穷小的性质无穷小与无穷大量、无穷小的性质 求极限的方法求极限的方法 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 无穷小量的性质、无穷小的替换定理无穷小量的性质、无穷小的替换定理 极限
2、的运算法则、函数的连续性极限的运算法则、函数的连续性 1、极限的性质（、极限的性质（1）唯）唯一性（一性（2）有界性（）有界性（3）归并性，（判断极限不归并性，（判断极限不存在的方法）（存在的方法）（4）保）保号性号性2、极限的运算法则、极限的运算法则3、初等函数的连续性、初等函数的连续性1第一章函数与极限第一章函数与极限一基本要求一基本要求一基本要求一基本要求:1理解函数的概念理解函数的概念,反函数、复合函数、初等函数的概念；反函数、复合函数、初等函数的概念；了解函数的四种特性，掌握基本初等函数的性质及其图形。了解函数的四种特性，掌握基本初等函数的性质及其图形。2掌握极限的定义和极限的有关性
3、质，掌握极限存在的掌握极限的定义和极限的有关性质，掌握极限存在的夹逼准则和单调有界数列收敛准则，并能熟练运用极限运算法夹逼准则和单调有界数列收敛准则，并能熟练运用极限运算法则求数列和函数的极限。则求数列和函数的极限。3了解无穷小与无穷大的定义及其性质，掌握无穷小的了解无穷小与无穷大的定义及其性质，掌握无穷小的运算法则。运算法则。掌握函数连续性的概念，连续函数的性质，了解函数掌握函数连续性的概念，连续函数的性质，了解函数的间断点及其类型，了解闭区间上连续函数的性质。的间断点及其类型，了解闭区间上连续函数的性质。2二主要内容：二主要内容：二主要内容：二主要内容：函数的定义、反函数、复合函数、初等函
4、数。函数的定义、反函数、复合函数、初等函数。函数的特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性。函数的特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性。数列及其极限：数列及其极限：（）数列即一列数，其第（）数列即一列数，其第n项称为一般项；从数列项称为一般项；从数列中取无穷项且保持原来的次序而得到的新的数列称为中取无穷项且保持原来的次序而得到的新的数列称为的的子数列子数列。（）数列的极限（）数列的极限则称数列则称数列 极限存在或收敛极限存在或收敛。称为称为 的极限。的极限。数列极限不存在也称该数列数列极限不存在也称该数列发散发散。34函数极限函数极限定义定义 则则时，函数时，函数 的极限、的极限、给定的一个数列给
5、定的一个数列 可以看作定义在自然数集可以看作定义在自然数集N上的函数上的函数 因此数列极限因此数列极限 是函数极限是函数极限 因此数列极限因此数列极限 与函数极限都有下面的性质：与函数极限都有下面的性质：5极限的性质极限的性质 （1 1）唯一性）唯一性 若极限存在，则极限唯一。若极限存在，则极限唯一。（2 2）有界性）有界性 若极限存在，则函数（数列）有界。若极限存在，则函数（数列）有界。注：注：函数的有界是指局部有界，即在自变量变化过程中的某邻域函数的有界是指局部有界，即在自变量变化过程中的某邻域 或某无穷区间内函数有界。或某无穷区间内函数有界。4（3 3）归并性）归并性（i）对于一个数列来
6、说，一个数列收敛的充分必要条件是其对于一个数列来说，一个数列收敛的充分必要条件是其任意子列都收敛，且收敛于同一极限。任意子列都收敛，且收敛于同一极限。（ii）对于函数来说，有）对于函数来说，有对于单侧极限：对于单侧极限：存在的充分必要条件是对于每一列存在的充分必要条件是对于每一列 都存在，且极限都相等；都存在，且极限都相等；存在的充分必要条件是对于每一列存在的充分必要条件是对于每一列都存在，且极限都相等；都存在，且极限都相等；也有类似的结论。也有类似的结论。5（4 4）保号性）保号性若若当当有有（或（或），），且且则则（或（或）。）。而且而且（或（或），），则则当当有有（或（或）。）。若若（i
7、ii）上述极限的性质经常用于判断极限不存在：）上述极限的性质经常用于判断极限不存在：对于数列来说，若有两个数列均收敛，但极限值不相等，对于数列来说，若有两个数列均收敛，但极限值不相等，则原数列极限不存在；则原数列极限不存在；对于函数来说，若自变量有两个数列均收敛于对于函数来说，若自变量有两个数列均收敛于（但每（但每但其对应的函数值数列不但其对应的函数值数列不一项都不等于一项都不等于）（或趋于）（或趋于），），收敛或极限不相等，收敛或极限不相等，则原函数极限不存在。则原函数极限不存在。66极限的运算法则极限的运算法则都存在都存在(4)有界有界,则则(5)(复合函数复合函数)若若当当且且则则7无穷
8、小与无穷大无穷小与无穷大 （1）无穷小与无穷大的定义）无穷小与无穷大的定义 （2）无穷小与无穷大的关系）无穷小与无穷大的关系 （3）无穷小的比较）无穷小的比较 7（5）无穷小的替换性质：）无穷小的替换性质：设设 是同一极限过程中的无穷小，是同一极限过程中的无穷小，且且（），），则则 且且8极限存在的两个准则及两个重要极限。极限存在的两个准则及两个重要极限。准则准则：函数：函数 （1）准则）准则：数列数列 满足：满足：则则 （4）无穷小的运算法则：）无穷小的运算法则：的和的和,积是无穷小；积是无穷小；有界变量与无穷小的乘积是无穷小。有界变量与无穷小的乘积是无穷小。在同一极限过程中，有限多个无穷小
9、在同一极限过程中，有限多个无穷小8（2）准则）准则：单调有界数列必收敛。：单调有界数列必收敛。（3）两个重要极限及一些重要等价无穷小：）两个重要极限及一些重要等价无穷小：9函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 连续性连续性 9间断点：间断点：（）在（）在 点无定义点无定义 （）在（）在 点极限不存在点极限不存在 （）（）第一类间断点、第二类间断点第一类间断点、第二类间断点 10初等函数的连续性初等函数的连续性 11闭区间上连续函数的性质：闭区间上连续函数的性质：最大值、最小值定理；介值定理和零点定理及其推论最大值、最小值定理；介值定理和零点定理及其推论 10三例题三例题例例1求求 的反函数
10、，并问的反函数，并问 满足什么条件时，这反函数与直接函数相同？满足什么条件时，这反函数与直接函数相同？分析：分析：即即 从表达式从表达式 中知，中知，不同时为零，不同时为零，不妨设不妨设 解解由由 得：得：所以反函数为所以反函数为 11若反函数与直接函数相同，则若反函数与直接函数相同，则 比较系数得：比较系数得：所以所以 或或 12例例2 设设求求解解13例例3 用数列极限的定义证明用数列极限的定义证明 证证(1)对对 要证要证 当当有有 事实上事实上14（2）记记则则不妨设不妨设由于由于所以，要所以，要只要只要取取则当则当时，时，有有即即要使要使只需只需取取当当有有对对15例例4 已知当已知
11、当 时，时，与与是等价无穷是等价无穷 小，求常数小，求常数 解：解：又又16例例5 求极限求极限 17解解18而而夹逼定理夹逼定理 1920例例6 设设 证明数列证明数列 的极限存在的极限存在,并求此极限并求此极限.证证 所以所以 有界。有界。设设 则则 解得解得 是单增数列。是单增数列。当当 时，时，因此因此 极限必存在。极限必存在。21例例7 设设讨论讨论在在点的连续性。点的连续性。解解22所以，所以，在在点不连续。点不连续。是是的可去间断点。的可去间断点。若改变定义令若改变定义令在在函数函数点连续。点连续。23是是的跳跃间断点，属于第一类间断点。的跳跃间断点，属于第一类间断点。例例8 设
12、设，求，求的间断点，的间断点，并说明间断点的类型。并说明间断点的类型。解解的定义域为的定义域为属于第二类间断点属于第二类间断点.可能是分可能是分段函数的段函数的分段点，分段点，或者定义或者定义区间的端区间的端点点24例例9 设设则则(A)都是都是 的第一类间断点。的第一类间断点。(B)都是都是 的第二类间断点。的第二类间断点。(C)是是 的第一类间断点，的第一类间断点，是是 的第二类间断点。的第二类间断点。(D)是是 的第二类间断点，的第二类间断点，是是 的第一类间断点。的第一类间断点。由于由于 是是 的第一类间断点。的第一类间断点。所以所以是是 的第二类间断点；的第二类间断点；所以所以200
13、5年研究生入学年研究生入学 试题试题 数学二数学二25例例10 设设怎样选择怎样选择才能使函数才能使函数在在内连续。内连续。解解由初等函数的连续性可知，函数在由初等函数的连续性可知，函数在内连续，内连续，令令得得则当则当时，时，在在内连续。内连续。26例例11 证明证明其中其中至少有一个正根，至少有一个正根，并且它不超过并且它不超过证证设设则则在在上连续。上连续。若若则则即为原方程的一个正根；即为原方程的一个正根；若若注意到注意到由连续函数的零点定理知，由连续函数的零点定理知，使得使得综合综合、，说明结论成立。，说明结论成立。27例例12 若若在在内连续，内连续，且且存在，则存在，则在在内有界。内有界。证证由由存在，存在，不妨设极限为不妨设极限为则则对于对于有有当当又又在在内连续，内连续，则则在在上连续，上连续，由闭区间上连续函数的有界性定理知，由闭区间上连续函数的有界性定理知，使得使得取取则对于则对于都有都有则则在在内有界。内有界。28