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1、高数一第一章函数与极限现在学习的是第1页，共55页 教教 师师 信信 息息岳洪岳洪（0）F 527Tel:59925831E-mail:ye142 理学院数学系理学院数学系现在学习的是第2页，共55页 为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？（1）学习先进的思想方法）学习先进的思想方法（2）训练自己的思维）训练自己的思维（3）为后续课程打基础）为后续课程打基础（4）为进一步深造作准备）为进一步深造作准备现在学习的是第3页，共55页 如何学好高等数学如何学好高等数学?听课听课 学习的中心环节学习的中心环节(1)首先做好中学到大学的过渡首先做好中学到大学的过渡（2）抓好四个环节：）抓好四个环节
2、：预习预习听课听课复习复习作业作业 做好课堂笔记，记下例题。做好课堂笔记，记下例题。紧跟教师思路不懂之处作记号。紧跟教师思路不懂之处作记号。认识对象辨识问题，归纳问题。认识对象辨识问题，归纳问题。学会类比解题思路，挑选方案。学会类比解题思路，挑选方案。现在学习的是第4页，共55页作业作业 自我训练的重要一步自我训练的重要一步要求：清洁工整、要求：清洁工整、抄上题目抄上题目、写出步骤。、写出步骤。总评成绩总评成绩：期期终考考试 80%平平时测验、作、作业 20%现在学习的是第5页，共55页本学期内容本学期内容本学期内容本学期内容第一章第一章 函数与极限函数与极限第二章第二章 导数与微分导数与微分
3、第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用现在学习的是第6页，共55页第一章第一章函数与极限函数与极限现在学习的是第7页，共55页数学中的数学中的转折点是笛卡折点是笛卡儿的儿的变数数，有了，有了变数，运数，运动进入了数学，入了数学，辩证法法进入了数学，入了数学，微分和微分和积分也就立刻成分也就立刻成为必要必要的了。的了。第一、二节第一、二节 函数函数 恩格斯恩格斯笛卡儿笛卡儿 (法法)（Descartes）（15961650）1637年出版的年出版的方法论方法论的附录的附录几何几何部分是他部分是他关于坐标几何和代数的思想关于坐标几何和代数的思想现在学习的是第8页，共55页
4、一一.区间与邻域区间与邻域 闭区间；闭区间；数集数集(a,b)开区间；开区间；a,b),(a,b 半开半开(半闭半闭)区间区间有有限限区区间间数集数集 a,b 无限区间无限区间区间区间：现在学习的是第9页，共55页此区间称为此区间称为点点 a 的的 邻域邻域,记为记为称为点称为点 a 的的 去心邻域去心邻域,称为称为邻域半径邻域半径。a 称为称为邻域中心邻域中心，若此邻域中不包含点若此邻域中不包含点 a,即即记为记为或或x。a.邻域：邻域：现在学习的是第10页，共55页 二、函数二、函数函数的定义函数的定义1：两变量两变量 x,y,当一个变量当一个变量 x 在实数域的在实数域的某个范围某个范围
5、 取一确定值时，取一确定值时，另一个变量另一个变量 y 依照一定的法则（依照一定的法则（f），），总有确定的数值与它对应总有确定的数值与它对应则称则称 y 是是 x 的函数。的函数。x 自变量，自变量，y 因变量因变量.（定义域定义域 D）（y 的取值的取值范围称为范围称为值域值域 W）,函数是数学分析函数是数学分析这门学科研究的基本学科研究的基本对象，是用来表达象，是用来表达变量量之之间完全确定的依完全确定的依赖关系的一个数学概念。关系的一个数学概念。1.函数概念函数概念现在学习的是第11页，共55页函数的定义函数的定义x 自变量自变量，y 因变量因变量.定义域定义域 D值域值域 现在学习的
6、是第12页，共55页函数的函数的自然定义域自然定义域：自变量的最大取值范围自变量的最大取值范围例：例：=D=R=Z0 xy-11构成函数的基本要素：构成函数的基本要素：定义域及对应法则定义域及对应法则函数的图象：函数的图象：所确定的平面点集。所确定的平面点集。(一般为平面曲线一般为平面曲线)现在学习的是第13页，共55页函数的函数的自然定义域自然定义域：自变量的最大取值范围自变量的最大取值范围例：例：0 xy构成函数的基本要素：构成函数的基本要素：定义域及对应法则定义域及对应法则函数的图象：函数的图象：所确定的平面点集。所确定的平面点集。(一般为平面曲线一般为平面曲线)现在学习的是第14页，共
7、55页现在学习的是第15页，共55页相等函数：相等函数：判断下列函数是否为相等函数：判断下列函数是否为相等函数：必须对应关系与定义域都相等。必须对应关系与定义域都相等。例：例：（常值函数）（常值函数）定定义义域域不不同同对应关系不对应关系不同同现在学习的是第16页，共55页单值函数与多值函数：单值函数与多值函数：这种对应关系称为这种对应关系称为 单值对应单值对应。当自当自变量在量在D D内任取一数内任取一数值时，对应的的函数函数值是唯一的一个，是唯一的一个，则函数称函数称为单值函数，函数，否否则称称为多多值函数。函数。为多值函数，为多值函数，为多值函数，为多值函数，其主值其主值为单值函数，为单
8、值函数，为其单值分支。为其单值分支。现在学习的是第17页，共55页(1)绝对值函数绝对值函数(2)符号函数符号函数再介绍几种函数：再介绍几种函数：0 xysgn x=0 xy1-1显然，显然，.。现在学习的是第18页，共55页(3)取整函数取整函数符号函数与取整函数都是微机中的标准符号函数与取整函数都是微机中的标准表示不大于表示不大于 x 的最大整数。的最大整数。如：如：3.14 0.15(图象见书图象见书 P.9 图图15)函数。函数。把把 3.14159 四舍五入取四位小数，四舍五入取四位小数，可作可作 3.1415910 4+0.5 10 4=3.1416=3,=-4,=0.现在学习的是
9、第19页，共55页(4)狄里克利函数狄里克利函数由此，还可构造出许多奇特的函数，由此，还可构造出许多奇特的函数，如：如：它们符合函数的定义，但它们的图象却它们符合函数的定义，但它们的图象却不是曲线段所能表示的。不是曲线段所能表示的。现在学习的是第20页，共55页函数的（显式）公式表示法函数的（显式）公式表示法（分段函数）（分段函数）若在自变量的不同范围内用若在自变量的不同范围内用不同的式子所表示的函数，如符号函数，不同的式子所表示的函数，如符号函数，绝对值函数等，绝对值函数等，0 xy12又如又如现在学习的是第21页，共55页函数的隐式表示函数的隐式表示：隐函数隐函数为函数的显式表示为函数的显
10、式表示又如又如 显函数显函数若写成：若写成：为函数的隐式表示为函数的隐式表示若其中隐含若其中隐含现在学习的是第22页，共55页函数的参数表示函数的参数表示：表示摆线（旋轮线）的一摆。表示摆线（旋轮线）的一摆。引入参数来建立引入参数来建立 x,y 的函数关系：的函数关系：表示：表示：f：X Y如：如：表示上半圆周表示上半圆周现在学习的是第23页，共55页xa圆上任一点所画出的曲上任一点所画出的曲线。关于关于旋轮线旋轮线的的动画演示动画演示一一圆沿直沿直线无滑无滑动地地滚动，现在学习的是第24页，共55页x来看来看动点的慢点的慢动作作圆上任一点所画出的曲上任一点所画出的曲线。一一圆沿直沿直线无滑无
11、滑动地地滚动，关于关于旋轮线旋轮线的的动画演示动画演示现在学习的是第25页，共55页2a2 a0yx ax=a(t sin t)y=a(1 cos t)其其几何意几何意义如如图示示ta当当 t 从从 0 2，x 从从 0 2 a即曲即曲线走了一拱走了一拱a观察动点的轨迹观察动点的轨迹:现在学习的是第26页，共55页x=a(t sin t)y=a(1 cos t)将旋将旋轮线的一拱一分的一拱一分为二，并倒置成二，并倒置成挡板板旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线单摆现在学习的是第27页，共55页.将旋将旋轮线的一拱一分的一拱一分为二，并倒置成二，并倒置成挡板板 旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线单摆x=a(t
12、 sin t)y=a(1 cos t)现在学习的是第28页，共55页.将旋将旋轮线的一拱一分的一拱一分为二，并倒置成二，并倒置成挡板板 旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线单摆两个旋两个旋轮线形状的形状的挡板板,使使摆动周期与周期与摆幅完全无关。幅完全无关。在在1717世世纪，旋，旋轮线即以此性即以此性质出名，所以旋出名，所以旋轮线又称又称摆线。摆的运的运动轨迹也是一条旋迹也是一条旋轮线，现在学习的是第29页，共55页xyoa a(圆内旋内旋轮线)一一圆沿另一沿另一圆内内缘无滑无滑动地地滚动，动圆圆周上任一点周上任一点所画出的曲所画出的曲线。观察察动点的运点的运动星形星形线现在学习的是第30页，共55
13、页xyoa a观察察动点的运点的运动 星形星形线(圆内旋内旋轮线)现在学习的是第31页，共55页xyoa a0 2 或或.P 星形线星形线(圆内旋内旋轮线)现在学习的是第32页，共55页函数的函数的极坐标极坐标表示表示现在学习的是第33页，共55页xyoaa一一圆沿另一沿另一圆外外缘无滑无滑动地地滚动，动圆圆周上任一点周上任一点所画出的曲所画出的曲线。心形线心形线 (圆外旋外旋轮线)函数的函数的极坐标极坐标表示表示观察察动点的运点的运动现在学习的是第34页，共55页xyoaa2a观察察动点的运点的运动 心形线心形线 (圆外旋外旋轮线)函数的函数的极坐标极坐标表示表示现在学习的是第35页，共55
14、页xyo2ar=a(1+cos )0 2 0 r 2aP r 心形线心形线 (圆外旋外旋轮线)函数的函数的极坐标极坐标表示表示现在学习的是第36页，共55页2ar=a(1+sin )0 2 0 r 2aP r 心形线心形线 (圆外旋外旋轮线)函数的函数的极坐标极坐标表示表示xyoa现在学习的是第37页，共55页三、具有特殊性质的四类三、具有特殊性质的四类函数函数(1)奇偶性奇偶性f(x)的定义域的定义域 D 关于原点对称，对任一关于原点对称，对任一若都有若都有则称则称 f(x)为为偶函数偶函数；若都有若都有则称则称 f(x)为为奇函数奇函数。偶偶函数的图形关于函数的图形关于 y 轴轴对称，对称
15、，奇奇函数的图形关于函数的图形关于 原点原点对称。对称。现在学习的是第38页，共55页例例1：解：解：例例2：解：解：（奇）（奇）现在学习的是第39页，共55页(2)有界性有界性有界。有界。否则称否则称 f(x)在在 D 上上无界无界。设设 f(x)的定义域为的定义域为D，若存在正数，若存在正数 M，使对任一使对任一 则称则称 f(x)在在 D 上上有界有界，如：如：=M，为为D上的有界函数。上的有界函数。无界。无界。oxy1现在学习的是第40页，共55页但但 不单调。不单调。(3)单调性单调性统称统称 f(x)为为 I 上的上的单调函数单调函数，I 为为单调区间单调区间。设设 f(x)的定义
16、域为的定义域为D，区间，区间对对 I 上任二点上任二点 x1,x2,当当 x1 x2 时，若都有时，若都有则称则称 f(x)在在 I 上单调增加上单调增加则称则称 f(x)在在 I 上单调减少上单调减少如：如：0 xy现在学习的是第41页，共55页(4)周期性周期性且指最小正周期。且指最小正周期。设设 f(x)的定义域为的定义域为D，若存在数若存在数 l(l 0),使对任一个使对任一个都有都有则则 f(x)为周期函数，为周期函数，l 为为 f(x)的周期，的周期，y=sin x,y=cos x 都是以都是以 2 为周期的为周期的周期函数。周期函数。（函数的四则运算自复习）（函数的四则运算自复习
17、）现在学习的是第42页，共55页四、函数的四则运算四、函数的四则运算设设 f(x),g(x)的定义域为的定义域为D1，D2,则定义两个函数的运算如下：则定义两个函数的运算如下：现在学习的是第43页，共55页五、复合函数五、复合函数简称简称 复合函数复合函数，记作，记作其中其中 u 称为称为中中间变量量。即即u=(x)的值域的值域 Z()与与y=f(u)的定义域的定义域D(f)的交集非空时的交集非空时为复合函数。为复合函数。设设 y 是是 u 的函数：的函数：y=f(u),而而 u 又是又是 x 的函数：的函数：u=(x),且且 (x)的值域的值域全部或部分全部或部分包含在包含在 f(u)的定的
18、定义域内义域内,则则 y 通过通过 u 成为成为 x 的函数：的函数：由由 y=f(u),u=(x)复合而成，复合而成，现在学习的是第44页，共55页例题讨论例题讨论(1)1.讨论下列函数的复合情况：讨论下列函数的复合情况：全部落入全部落入(2)部分落入部分落入(3)没有落入没有落入不能复合不能复合现在学习的是第45页，共55页2.把下列复合函数分解成简单函数：把下列复合函数分解成简单函数：(1)(2)(3)(4)现在学习的是第46页，共55页课内练习课内练习1.下列函数能否复合成一个函数：下列函数能否复合成一个函数：2.下列函数由哪些较简单的函数复合而成下列函数由哪些较简单的函数复合而成？现
19、在学习的是第47页，共55页练习答案练习答案1.(1)(2)2.(1)现在学习的是第48页，共55页六、六、反函数反函数反函数与直接函数的图象关于反函数与直接函数的图象关于 y=x 对称对称。反函数反函数反函数与直接函数是一对一的反函数与直接函数是一对一的。现在学习的是第49页，共55页 七、初等函数七、初等函数基本初等函数基本初等函数：熟练掌握它们的定义域、图象、性质等性态熟练掌握它们的定义域、图象、性质等性态幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数反三角函数反三角函数现在学习的是第50页，共55页 由基本初等函数由基本初等函数经过有限次四有限次四则运算和有运算和有限次复合运算而构成的函数，称限次复合运算而构成的函数，称为初等函数初等函数。如：如：现在学习的是第51页，共55页双曲函数双曲函数双曲正弦函数双曲正弦函数双曲余弦函数双曲余弦函数双曲正切函数双曲正切函数双曲余切函数双曲余切函数现在学习的是第52页，共55页不是初等函数的称为非初等函数不是初等函数的称为非初等函数绝对值函数、符号函数及其它分段函数绝对值函数、符号函数及其它分段函数都看成非初等函数。都看成非初等函数。现在学习的是第53页，共55页综合举例综合举例解：解：例例1.现在学习的是第54页，共55页解：解：例例2.现在学习的是第55页，共55页