第一章 函数与极限习题.pdf

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1、第一章第一章函数与极限函数与极限【内容提要】【内容提要】1.函数的定义与性质(1 1)常量与变量、区间与邻域)常量与变量、区间与邻域 常量就是在某变化过程中不变的量;而变量则是在某变化过程中变化的量。(2 2)函数的概念函数的概念 设有两个变量 x 和 y,D 为一非空数集,如果对于 D 内每一个数 x,变量 y 按一定的法则 f 总有唯一确定的值与之对应,则称y 是 x 的函数。记作 y=f(x)。数集 D 称为函数的定义域。(3 3)函数的表示法)函数的表示法 解析法、列表法、图象法。(4 4)函数的性质)函数的性质 有界性、奇偶性、单调性、周期性。2.函数的极限(1 1)自变量趋于无穷大

2、时函数的极限)自变量趋于无穷大时函数的极限对于给定的任意小的正数,总存在一个正数 X,当|x|X 时,不等式|f(x)A|(A 是一个确定的常数)恒成立,则称常数A 为函数f(x)当x 时的极限,记作lim f(x)A或f(x)A(x )。x(2 2)自变量趋于有限值时函数的极限)自变量趋于有限值时函数的极限设函数 f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,如果对于任意给定的无论多么小的正数,总存在一个正数,当0|x x0|时,不等式|f(x)A|(A 是一个确定的常数)恒 成 立,则 称 常 数A为 函 数f(x)当x x0时 的 极 限,记 作l i m fx()或 Axf x()A0 x(

3、。x)(3 3)极限存在定理)极限存在定理函数 f(x)在点x0极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等,即lim f(x)A lim f(x)lim f(x)Axxx0 xx0(4 4)函数极限的性质)函数极限的性质定理 1(唯一性)若lim f(x)(或lim f(x))存在,则它的极限是唯一的。xxx0定理 2(局部有界性)若lim f(x)存在,则在点x0的某一邻域内函数 f(x)有界。xx0定理 3(局部保号性)若lim f(x)=A,且 A0(或 A0(或 f(x)0)。推论 1 若lim f(x)=A,且在点x0的某一去心邻域内恒有f(x)0(或f(x)0),xx0则必

4、有A 0(或A 0)。(5 5)无穷大与无穷小量)无穷大与无穷小量定理 5当x x0(或x ),函数 f(x)以常数 A 为极限的充分必要条件是在该变化过程中,函数 f(x)可表示为 A 与一个无穷小的和。性质 1 在同一变化过程中,有限个无穷小量的和仍是无穷小量。性质 2 在同一变化过程中,有限个无穷小量的积仍是无穷小量。性质 3 在同一变化过程中,一个有界变量与一个无穷小量的积仍是无穷小量。(6 6)函数极限的运算法则)函数极限的运算法则定理 4 四则运算法则 若lim f(x)A,lim g(x)B,则有xx0 xx0lim(f(x)g(x)A B。xx0lim f(x)g(x)AB。x

5、x0lim kf(x)kA。xx0limxx0f(x)A(B 0)。g(x)Ba0 xma1xm1一般地,limxb xnb xn101a0b,当m nam1xam0=0,当m n。bn1xbn,当m n3.两个重要极限(1)limsin x1。x0 x1xx(2)lim(1)e。x4.函数的间断与连续(1 1)函数连续性条件)函数连续性条件 函数连续的定义可知,函数在点x0处连续必须同时满足三个条件:函数 f(x)在点x0的处有定义。自变量x x0时函数 f(x)的极限存在。lim f(x)f(x0)。xx0(2 2)函数间断点的类型)函数间断点的类型如果函数连续性的三个条件中,任何一个得不

6、到满足,则称函数y fx在x x0处不连续。函数不连续点称为间断点。间断点可以按左、右极限是否存在进行分类,即:左、右极限都存在的间断点,称为第一类间断点。第一类间断点中,左、右极限相等的间断点,称为可去间断点。左、右极限至少有一个不存在的间断点,称为第二类间断点。(3 3)初等函数的连续性)初等函数的连续性定理 1 若函数 f(x),g(x)在点x0的处都连续,则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x0的处连续。定理 2 设函数 u=(x)当x x0时极限存在且等于 a,即lim(x)a,而函数xx0y f(u)在点 u=a 连续,则复合函数y f(x)当x x0时的极限也存在且等于f(a

7、),即lim f(x)f(a)。xx0定理 3 设函数 u=(x)在点x0的处连续,而函数y f(u)在点u(x0)连续,则复合函数y f(x)在点x0的处连续。最后,我们可以得到总结:一切初等函数在其定义域内都是连续函数【习题解答】【习题解答】1-1 下列各题中的两个函数是否相同。(1)fx x,gx2x2;(2)fx lgx,gx 2lg x;x21(3)fx x1,gx。x1解(1)不是,定义域不同;(2)不是,定义域不同;(3)不是,定义域不同。1-2 求下列函数的定义域。(1)y alnbxcab 0;(2)y(3)y ln x1 1 x2;xx21;(4)y 1。x x解(1)x

8、c;(2)1,0b0,1;(3)xR;(4)x 0。1 x21-3 设fxx2x 0 x 0,求f1,f0,f1,ff1。解f1 0,f01,f11-4 求下列函数的反函数。(1)y 31 x;(2)y 解(1)y x31;(2)y 1,ff11。2axbad bx 0。cxdbdxcxaa x。c1-5 当x 0时,下列函数与x相比是什么阶的无穷小量。(1)x sin x;(2)x 1000 x;(3)ln12x。322x2sin xsin x 解(1)lim limx10 1,所以是x的等价无穷小;x0 x0 xxx31000 x2 limx21000 x 0,所以是x的高阶无穷小;(2)

9、limx0 x0 x(3)limln12x,所以是x的低阶无穷小。x0 xx12;(2)lim1;x0 x3x31-6 求下列极限。(1)limx2x21x2(3)lim2;(4)lim;2x12x x3x01 1 x(5)limx01 1 x 33;(6)lim。3x11 x31 x2xx2解(1)limx1211 lim;x2x3235(2)lim1x0225 lim 1;x3x0033x1x1x21x1(3)lim2 lim lim 0;x12x x3x1x12x3x12x3(4)limx0 x21 1 x2 limx0 x21 1 x21 1 x21 1 x2 lim 1 1 x2 2

10、;x0(5)limx01 x 313 lim 1;3x0202x311 x x2x2 x23(6)lim lim lim3x11 x3x11 x3x1x1 1 x x21 x1 x lim1-7 求下列极限。(1)limx0 x21。x11 x xtan xsin xsin2x;(2)lim;x0 xsin3xxsin xtan xsin x;(4)lim。3x0 xsin xsin x(3)limx0解(1)limtan xsin x tan xsin x lim11 0;x0 x0 xxxsin2xsin2x3x222 lim11;x0sin3xx02xsin3x 333(2)limsin

11、 xxsin xx11 0;(3)lim limx0 xsin xx0sin x111x11x 1sin1tan xsin x1cosx122cosx lim lim lim(4)lim。3222x0 x0 x0 x0sin xsin xcosxsin xsin x81-8 求下列极限(1)lim1x122x022lim;(2)1x0 xx2x2x;2 x x1(3)lim;(4)lim。x0 x02x1x12解(1)lim1 lim1x0 x01xx 22x1 x42 e4;x112(2)lim1x02xx121 lim1x01x22x e1;(3)lim1 2 x 1 lim 1x lim

12、 1xx0 x0 x0222 xxx2x111x2 e1;2 x1 x12(4)lim lim lim 1x0 x0 x0 x1x1x11 lim1x01x12 12x121 e2。1-9 请问a取何值时,下列函数在,内为连续函数。sin x(1)fxx22a x xa(2)fx1cosxx2x0 x 0 x 0;x 0 x 0。fx lim解(1)limx0sin x1,lim fx lim2a x2 2a,则2a 1,即x0 x0 xa 1;2x0 x0fx lim(2)limxa a,limfx limx01cosx11a,即。2x0 x221-10 试确定下列函数的间断点并说明类型。(

13、1)y 1;x23x2x1x 1(2)y。3 xx 1解(1)x 1和x 2,可去间断点;(2)x 1,可去间断点。1-11 求下列极限。(1)lim(x131sin3x);(2);limx0 x31x 1x 4 2x(3)limln(1 2x)1;(4)lim(1)x0 xsin3xx;(5)lim(x2x 3x1);(6)lim xln(x 2)ln x。x2x 1311 x x2x2 x23解(1)lim lim lim3x11 x3x11 x3x1x1 1 x x21 x1 x limx21。x11 x xsin3x lim(2)limx0 x4 2x0(3)lim3xx4 2x4 2

14、x4 2 limx03xx4 2x12;ln(12x)2x2 lim;x0 x0sin3x3x3x1(4)lim(1)xx e1limx1xx;1 lim1x11x24 311x2224(5)lim(x2x3x14)lim1x2x12x1x1 e2;2ln1x lim2 0。(6)lim xln(x2)ln x limxxxx2x1-12 证明方程x2 1至少有一个小于 1 的正根。证 略x【课外练习】【课外练习】一、单选题一、单选题1.函数f(x)1 x的定义域是()1 xA.x 1B.x 1C.x 1D.-1 x 12.函数 y=|sin2x|的最小周期是()A.2B.C.2D.4x21=

15、()3.lim2x1x 3x+2A.1B.2C.-2D.不存在xcos,x 14.函数f(x)的间断点是()2x1,x 1A.x 1B.x 1C.x 0D.x 1或x 15.limxsin x=()x1xA.1B.-1C.0D.6.lim13x()x0A.eB.eC.eD.e7.331313lim1+3x()x1xA.3232B.C.D.23238.函数y f(x)在x x0点处有定义是它在该点处连续的()A.必要充分B.充分条件C.充要条件D.无关条件9.函数f(x)x 1,0 x 1,在x 1处间断是因为()2 x,1 x 3x1f(x)不存在A.f(x)在点x 1处无意义B.limf(x

16、)不存在D.lim f(x)不存在C.limx1x110.lim(xsinx011sin x)()xx2,则ff(3)()x 1A.0B.1C.2D.不存在11.若f(x)A.4576B.C.D.348512.下列函数中,表达式为基本初等函数的是()2x2,x 0A.y By 2x cosx2x 1,x 0C.y xD.y sinx13.若lim f(x)a(a 为常数),则函数f(x)在x0处()xx0A.有定义,且f(x0)aB.可以有定义,也可以没定义C.有定义,但f(x0)可以为a以外任何值 D.没有定义14.当x 0时,函数sin1是()xA.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.极限

17、为 115.当x +时,下列变量中与 x 相比为高阶无穷大量的是()A.x 1B.ln(x 1)C.x sin x.e16.若limxsin3x 2,则 k=()x0kx123C.D.632A.6B.x23,x 317.设f(x)2,则lim f(x)()x3x 3,x 3A.0B.-6C.6D.不存在18.设f(x)x12x,则lim f(x)()x0A.eB.e19.函数y 1212C.eD.e22x 3的连续区间是()(x 1)(x 2)A.,2(2,1)(1,)B.3,)(1,)C.(-,-2)(-2,+)D.(,1)mx20.设f(x)(1kx),x 0,若f(x)在x 0处连续,则

18、 a=()a,x 0A.ekmB.ekmC.eD.ekm二、填空题二、填空题1.函数y 1x x 22ln(2x 7)的定义域是;22.已知f(x 1)x 2x,则f(x);5x42x21;3.lim5x7x 2x2 x 34.limsin5x sin2x;x0sin3xx 1x);x 15.lim(x6.limx0sin x;2x x1;x 17.当x 0时,tan x sin x为 x 的阶无穷小量。8.limx1x 1 cos12x sin,x 09.设函数f(x),则 a=时lim f(x)存在。xx02a x.x 010.当 a=()时使函数f(x)a x,x 0,在 x=0 点连续

19、。cosx,x 0三、计算及证明题三、计算及证明题1判断下列各对函数是否相同(1)f(x)x,g(x)1x2(2)f(x)lnx,g(x)2ln x(3)f(x)x2,g(x)x2f(x)x 1,g(x)x1x1(4)2求下列极限(1)limx2x 1;x 3x22x 3(2)lim;x3x 3(1-(3)limx02);x 3x23(5)lim;x2x 2x21(6)lim2;x12x x 34x32x2 x(7)lim;2x03x 2xx23x 2(8)lim;2x11 x(x h)3 x3(9)lim;h0hxn1(10)lim(n 为正整数);x1x 1(11)lim2x 3;x6x

20、11000 x;x1 x24(12)lim1+u3lim(13)u1u。3当x 0时,下列无穷小量与 x 相比,是什么阶的无穷小量(1)x 1000 x(2)1+x 1 x(3)x sinx(4)(5)23x sin x(x 1)x34x(6)ln(12x)3x 2,x 024设f(x)=x 1,0 x 12,1 xx分别讨论x 0及x 1时 f(x)的极限是否存在。1,x 0 x20,x 05设f(x)x22x,0 x 23x 6,2 x讨论x 0及x 2时,f(x)的极限是否存在?并求lim f(x)及lim f(x)。xx6若limx22x kx3x 3 4,求 k 的值。7若limx2

21、ax bx11 x 5,求 a、b 的值。8若lim(x21xx 1ax b)0,求 a、b 的值。9求下列极限。(1)limtan x sin xx0 x;(2)limsin2xx0sin3x;limx sin x(3)x0 x sin x。10求下列极限。(1)lim(12xx)2x;(2)lim(12x21xx);(3)lim(x 1xxx 1)。【课外练习【课外练习 参考答案】参考答案】一、单选题一、单选题1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.C11.B12.A13.B14.D15.C16.A17.D二、填空题二、填空题1.7,2.x24x 3223.04.15.e10.1三、计算及

22、证明题三、计算及证明题1 略28.A9.D18.D19.A6.-17.高10.B20.D8.09.0(1)limx2x 1=0.2;x 3(x 3)(x 1)x22x 3 4;(2)lim=limx3x3x 3x 3(1-(3)limx025)=;x 33x23(4)lim=;x2x 2x21(x 1)(x 1)(5)lim2=lim 0;x12x x 3x1(x 1)(2x 1)4x32x2 xx(4x22x 1)4x22x 1(6)lim=lim lim 0.5;2x0 x0 x03x 2xx(3x 2)3x 2x23x 2(x 2)(x 1)=lim 0.5;(7)lim2x1x11 x

23、(1 x)(1 x)(x h)3 x33x2h 3xh2h3222=lim(8)lim=lim(3x 3xh h)3x;hhh0hhxn1n1n2(9)lim=lim(x x.x 1)n;x1x1x 1(10)32x 3x1;lim=limx6x 1x136x210001000 xlim=limx 0;2x1 xx11x2(11)(12)11441+u3uu 0。lim=limu1uu11u43.x31000 x1000同阶无穷小;(1)limx0 x(2)limx01 x 1 x1等价无穷小;xx sin x21等价无穷小;(3)lim x0 x(4)limx0 x sinx 低阶无穷小;x

24、(x 1)x34x1同阶无穷小;(5)limx0 x4(6)limln(1 2x)2同阶无穷小;x0 x2x0 x0 x 2)2,lim(x 1)1,lim f(x)不存在4.lim(3x0limx122 2,lim(x 1)2,lim f(x)2。x1x1x2x0 x 2x)0,lim5.lim(+x0 x2x21,lim f(x)不存在,2x0 x2x2x 6)0,lim(x 2x)0,lim f(x)0,lim(3l i m10;l i m x (3 6)。xx2x6.由x22x k (x 3)(x 1)(3k),k 3。7.由x2ax b (x 1)(x a 1)(ba 1)0,ba

25、1 0,而x 1时x a 1 5,a 7,b 6。8.由x 1x 1ax ax bx bax b x 1x 1222x 1bax a bxx11x有x ax a b 0,即x(1a)(a b)0,1a 0,a b 0,解出a 1,b 1。9.(1)limtan x sin xtan xsin xsin xsin x limlim limcosx lim11 0;x0 x0 x0 x0 x0 xxxxxsin2x2sin2x2(2)lim lim2x;x0sin3xx0sin3x333xsinxx sinxx11 0。(3)lim limx0 x sinxx0sinx111x110(1)lim(1x22x)x1 lim1xx22 x42 e4;x1221(2)lim(1)lim1xxxx22 x(1)21 11;lim 1 e1 exx22 11(2)x 1x2x21)lim(1)2 lim(1)e2。(3)lim(xx 1x1x1x 1x 1

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