第一章函数与极限答案.doc

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1、第一章 函数与极限一 函数（见1.1） 内容要求（）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。（）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。（）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。（）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 基本题型（）有关确定函数定义域的题型1（4分）的定义域为 2（4分）的定义域为 3（4分）的定义域为- （ D ）A B C D 4设的定义域D = ，求下列各函数的定义域：（1）（6分） （2）（6分） （3）（7分） （）有关确定函数（反函数）表达式的题型5（4分）

2、已知： ，则=6（4分）设，则7求下列函数的反函数（1）（4分） （2）（4分） （3）（6分） 8（7分）已知： 求 解： 9（10分）设，求和，并作出这两个函数的图形。 解： ， （）有关函数性质判定的题型10（10分）下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？（1）（非）（2）（偶函数）（3）（非）（4） （偶函数） （5）（奇函数）11（4分）设，则此函数为-（ A ）A 有界函数 B 奇函数 C 偶函数 D 周期函数12（4分）的最小正周期为 13（4分）设，则在定义区间为-（ A ） A 奇函数但非周期函数 B 偶函数但非周期函数C 奇函数且为周期函数 D 偶

3、函数且为周期函数（）有关复合函数分解的题型14（6分）将分解成若干个基本初等函数的形式。解：是由，复合而成的。15（7分）将分解成由基本初等函数复合及四则运算而成的形式。解：是由，复合而成的。 综合应用题型16（8分）已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角为已知锐角（如图所示），当过水断面的面积为定值时，求湿周与水深之间的函数关系式，并指明其定义域。 A D h B C E解：参见教材， 17（8分）一列火车在运行时，每小时的费用由两部分组成，一部分是固定费用，另一部分是与火车的平均速度的立方成正比，比例系数为，常用表示火车连续运行路程所需的总费用，试将表示为的函数。解： 18（8分）火车站收取行李

4、费的规定如下：当行李不超过50 kg时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50 kg时，超重部分按每千克0.25元收费。试求上海到该地的行李费y（元）与行李质量（kg）之间的函数关系式，并画出这函数的图形。解：19（8分）按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2 %，半年期存款的年利率为4.0 %，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款。设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款有较多的收益，多多少？解： 一年期 *20（8分）森林失火了，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防队员前去，在失火后5

5、分钟到达现场开始救火，已知每名消防队员在现场平均每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m2森林的损失费为60元，设消防队派了x名消防队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n分钟。（1）求出x与n的关系式；（2）当x为何值时，才能使得总损失最小？解： 二 极限（一） 极限的定义及其性质（见1.2, 1.3, 1.4） 内容要求（）理解数列极限、函数极限的描述性定义，自学数列极限、函数极限的精确定义，几何意义及其性质。（）了解无穷小与无穷大量的概念及其关系，了解无穷小量

6、的性质。（）记忆基本初等函数图象的变化趋势，学会计算函数在一点处的左、右极限。 基本题型（）涉及基本初等函数极限的题型1 填充题（每空4分） = , 1 , 0 , += = 0 = = , = = 不存在= 0 , = 0 ,= = = 不存在（）简单函数在一点处左、右极限的题型1（4分）-（ D ）A B C D 不存在2（6分）设，求=0 （）无穷小与无穷大量的判定题型 1（4分）当时，下列函数哪个是无穷小量-（ D ） A B C D 2（4分）当时，下列函数哪个是无穷大量-（ C ） A B C D （）涉及无穷小量性质的极限题型（每空4分） 1=0 , 0 , =2是非题（每题2分

7、）在同一自变量变化过程中： 两个无穷小的商自然是无穷小（）无穷小的倒数一定是无穷大（）无穷小与无穷大必互为倒数（）3（6分）解：=4（4分）解：= =（二） 极限的运算（见1.5, 1.6） 内容要求（）掌握极限的四则运算法则和复合运算法则。（）了解未定式的概念，会判断,未定式类型。（）记忆两个重要极限公式并学会利用它求极限，了解夹逼定理与单调有界定理。 基本题型（）直接运用四则求限法则及复合求限法则解决的极限题型（定式）1 求下列极限：（每题4分） （1）= （2）=2 （3） = （4）=2（）简单未定式的判断及计算题型1 判定下列未定式的类型，并进行计算（1）（4分）= （2）（4分）=

8、0 （3）（6分）= （4）（6分） = （5） （6）（7）（7分）2 判定下列未定式的类型，并进行计算 （1）（4分） （2）（4分） （3）（6分）= （4）（6分） = （5）（7分） （6）（6分）（7）（6分）3 判定下列未定式的类型，并进行计算 （1）（4分）= （2）（4分）=（3）（6分）= （4）（6分） （5）（6分）= 提高题型（）用极限存在准则解决的极限题型1 用夹逼准则求下列极限（1）（7分）=0 （2）（7分）解： ，所以=12（7分）用单调有界定理证明数列的极限存在，你能求出该极限吗？解：例子分析：已知；这是一个单调增加且有界的数列，显然；于是由极限存在准则知存

9、在，不妨假=A,，得； 。取得，故所给函数极限为2（2）=1 因为 ，（三）极限的综合计算及其应用 内容要求（）学会对无穷小量的阶进行比较。（）学会确定曲线的水平渐近线与铅直渐近线。（）记忆常用的等价无穷小，学会运用等价无穷小量代换求极限。 基本题型（）关于无穷小阶的比较题型 1（4分）当是关于的-（ C ）A高阶无穷小 B低阶无穷小 C同阶但非等价无穷小 D等价无穷小2（4分）当是关于的-（ B ） A高阶无穷小 B低阶无穷小 C同阶但非等价无穷小 D等价无穷小3，则 , 2（）关于渐近线确定的题型 1（4分）的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 2（7分）求的水平渐近线与铅直渐近线。 解：，所以

10、水平渐近线为 , 所以铅直渐近线为 （）利用无穷小进行等价代替处理的极限题型1判断下列未定式类型，并求下列极限：（1）（6分）= （2）（6分）=（3）（6分）= 提高题型 （）复杂未定式的计算题型1求下列极限（1）（7分） （2）（7分）= （3）（7分）=（4）（7分）另解： （） （5）（7分）= =2（7分）若，求（）3（7分）若，求证： （函数极限与无穷小之间的关系） （洛必达法则） 为无穷小）三 连续（见 1.8, 1.9, 1.10） 内容要求（）理解函数在一点处连续和在一区间上连续的概念。（）了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。（）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的

11、介值定理与最值定理。 基本题型（）有关连续的题型1是非题（每题2分） （1）若函数在一点处极限存在，则函数在该点必连续。（ ） （2）一切初等函数在其定义区间内都连续。（ / ）2（8分）研究函数的连续性，并画出函数的图象。解：， 在处连续。3（4分）函数的连续区间是-（ A ）A B C D 解：，无意义，故选择A4（7分）函数，应当怎样选择数，使得成为在 内的连续函数。解： 而连续，故 =1 （）有关间断点类型确定的题型 1下列函数在指定的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。（1）（4分）解：， 故为可去间断点，为无穷间断点。（2）（4分）解：， 故为跳跃间断点，（3）（4分） 为可去间断

12、点，（）为无穷间断点， 为可去间断点， 综合应用题型1（8分）设，（1）求的间断点并判断其类型；（2）求的渐近线。解：（1） ，为跳跃间断点，为可去间断点，为无穷间断点（2）不存在， 所以为垂直渐近线，水平渐近线。2（10分）设，（1）若在处连续，求；（2）求的间断点，并说明间断点所属类型；（3）求的渐近线方程。解：（1）， （2），为第二类间断点 （3），所以 为垂直渐近线方程， ， 所以 为水平渐近线方程 提高题型 （）涉及介值定理的证明题1（7分）证明方程至少有一个正根，并且它不超过。证：设，则在闭区间上连续，且 (1)如果，则，由定理3，, 使得 ；(2)如果，取满足要求，即是方程的正

13、根；总之，存在，使得，即是方程即的不超过的正根。2（7分）设函数对于上的任意两点，恒有，其中为正常数，且，证明：存在，使得。证： ，所以；又 由介值定理知，存在， 使得。3（7分）证明：若在上连续，且存在，则必在 内有界。证：由条件，有，当时，；特别对于，当时，即 因为在上连续，故在上连续，根据有界性定理，存在正数，当时，。取，当时，总有，证得是上的有界函数。4（7分）一个登山运动员从早晨7：00开始攀登某座山峰，在下午7：00到达山顶；第二天早晨再从山顶沿着原路下山，下午7：00到达山脚。试利用介值定理证明：这个运动员必在这两天的某一相同时刻经过登山路径的同一地点。解：令 第一章 函数与极限

14、测试题一、 选择题（74分）1 设，则-（ D ）A B C D 2 函数的增量-（ C ）A 一定大于0 B一定小于0 C不一定大于0 D一定不大于03 -（ C ）A B C D 4 当是关于的-（ C ）A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但非等价无穷小5 是的-（ B ）A跳跃间断点 B可去间断点 C第二类间断点 D连续点6 曲线的水平渐近线方程为-（ B ）A B C D 7函数在处有定义是在处有极限的-（ D ） A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件二、 填空题（34分）1 .2若函数连续，则 2 .3已知：，则 ， -

15、6 .三、 计算题（47分）12=34=四、（9分）设,（1）求函数的间断点并判断其类型；（2）求该函数图象的水平渐近线及铅直渐近线。 解：（1）， 所以为无穷间断点 （2）， 所以 ，为水平渐近线 ，铅直渐近线五、（8分）当时，与互为等价无穷小，求值。解：因为， 所以比值的极限 所以六、（8分）把长为的线段AB分为等分，以每个小段为底做底角为的等腰，这些等腰的两腰组成一折线，试求当无限增大时所得折线长的极限。解：七、（7分）（二题可以选作一题）（1）求（2）求证：方程在内至少有一实根解：（1） 而 故原式：=1（2） 令 在上连续， 又， 故由零点存在定理知，在内至少存在一点，使得 即方程在内至少有一个根，证毕。