矩阵的特征值问题课件.ppt

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1、关于矩阵的特征值问题1现在学习的是第1页，共71页.A113A113,30210000的特征向量的属于特征值是的特征值，是所以使得及非零向量存在数AA设设A A是是n n阶方阵，如果存在一个数阶方阵，如果存在一个数 及非零向量及非零向量则称则称 为为A A的一个特征值的一个特征值,为为A A的对应于（或属于）的对应于（或属于）,使得使得0A 特征值特征值 的特征向量。的特征向量。第一节特征值与特征向量第一节特征值与特征向量比如，给定比如，给定000定义定义1现在学习的是第2页，共71页如何求方阵如何求方阵A的特征值的特征值 与特征向量与特征向量?分析分析:若若 是是A的特征值，的特征值，是是A

2、的属于特征值的属于特征值 的的特征向量，特征向量，A=,即 (E-A)=0 (0),可见:是齐次线性方程组(E-A)X=0的非零解.由于 是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，故有非零解的充分必要条件是系数行列式|E-A|为零，即|E-A|=0.(称此方程为A的特征方程).(E-A)X=0.由此可知:是特征方程 的根。|E-A|=0则由定义有则由定义有现在学习的是第3页，共71页求矩阵求矩阵A的特征值与对应的特征向量的步骤可以归纳为：的特征值与对应的特征向量的步骤可以归纳为：(2)将每个特征值将每个特征值=代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组,得得 (E-A)X=0，n,21i特征向量.解方程

3、组，求出基础解系，基础解系的线性组合解方程组，求出基础解系，基础解系的线性组合(1)求出求出A的特征方程的特征方程|E-A|=0的全部根，即得矩阵的全部根，即得矩阵A的全部特征值的全部特征值 .ii求矩阵求矩阵A的特征值与对应的特征向量的步骤可以归纳为：的特征值与对应的特征向量的步骤可以归纳为：（零向量除外）就是（零向量除外）就是A的的对应于特征值对应于特征值 的全部的全部 现在学习的是第4页，共71页314020112例例1求矩阵求矩阵A 解解A的特征方程为的特征方程为故得A的特征值为11,232.的特征值与特征向量的特征值与特征向量.|E-A|=0即314020112.0)2)(1(2现在

4、学习的是第5页，共71页414030111321xxx000114000114321xxx000当当11时，解线性方程组时，解线性方程组(E A)X 0,得基础解系得基础解系1(1,0,1)T，于是对应于，于是对应于11的全体特的全体特征向量为征向量为 k11 ,k1为任意非零常数为任意非零常数.当当2 3 2时，解线性方程组时，解线性方程组(2E A)X 0,即即得基础解系2(1,0,4)T,(1,4,0)T,于是对应于232的全部特征向量为k22+k33 (k2,k3是不同时为零的任意常数).即即3现在学习的是第6页，共71页201034011例例2求矩阵求矩阵A 解解A的特征方程为的特征

5、方程为故得故得A的特征值为的特征值为1 2,2 3 1.的特征值与特征向量的特征值与特征向量.|E-A|=201034011.0)2()1(2现在学习的是第7页，共71页321xxx000得基础解系得基础解系1(0,0,1)T.于是对应于特征值于是对应于特征值1 2的的全部特征向量为全部特征向量为k11 (k1为任意非零常数为任意非零常数).101024012321xxx000当当2 3 1时，解齐次线性方程组时，解齐次线性方程组(E A)X 0，即，即得基础解系2(1,2,1)T.于是对应于特征值21的全部特征向量为k22 (k2为任意非零常数).001014013当当1 2时，解齐次线性方

6、程组时，解齐次线性方程组(2E A)X 0，即，即现在学习的是第8页，共71页注意注意:例例1中对于二重特征值中对于二重特征值对角化问题的讨论具有重要意义对角化问题的讨论具有重要意义.线性无关的特征向量的个数只有一个线性无关的特征向量的个数只有一个,这对后面方阵这对后面方阵对应于二重特征值对应于二重特征值 的的存在两个线性无关的特征向量存在两个线性无关的特征向量;而例而例2中中,232,121现在学习的是第9页，共71页例例3设设是方阵是方阵A的特征值，证明的特征值，证明(1)2是是A2的特征值；的特征值；(2)当当A可逆时，可逆时，证明证明设0是A的对应于的特征向量，则 A ,于是(1)(1

7、)11(2)当当A可逆时，由可逆时，由A 有有 A 1.因因0，,即 是A1 的特征值.知知0，故，故A =22故 是A 的特征值.-1,)()(22AAA.11的特征值是A现在学习的是第10页，共71页(1)(A)=有特征值.有特征值.(A)=.()=注注进一步容易证明：若A有有特征值 ，则()=nnaaaa2210nnmmaaaaa1011nnmmAaAaEaAaAa1011(2)当A可逆时,nnAaAaAaEa2210现在学习的是第11页，共71页二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质设设A A是是n n阶矩阵，则阶矩阵，则 A A 与有相同的特征值与有相同的特征值.性质性

8、质1 1A证明因为证明因为|E-A|=|(E-A )|=|E-A|,所以所以A 与与A有相同的特征多项式，有相同的特征多项式，故它们的特征值相同故它们的特征值相同.TTTT现在学习的是第12页，共71页设设A(aij)是是n阶方阵，则阶方阵，则nnnnnnaaaaaaaaa.212222111211n(a11+a22+ann)n1+(1)n|A|.|E-A|由由n次代数方程的根与系数的关系有性质次代数方程的根与系数的关系有性质:现在学习的是第13页，共71页性质性质2设设n阶方阵阶方阵A=()的的n个特征值为个特征值为则则(1)由此定理很容易有推论由此定理很容易有推论:称为矩阵称为矩阵A的迹，

9、记作的迹，记作trA.其中其中A的全体特征值之和的全体特征值之和 =|A|.ijan,21n21;|221121nnnaaa(2)|2211nnaaa现在学习的是第14页，共71页推论推论 n n阶方阵可逆的充分必要条件是它的全部特征阶方阵可逆的充分必要条件是它的全部特征值都不为零值都不为零.例例4设三阶矩阵设三阶矩阵A的特征值为的特征值为 1,1,2，求，求|A*+3A 2E|.解依题设，解依题设，A没有零特征值，所以没有零特征值，所以A可逆，可逆，故故A*|A|A 1.又又|A|1232,12故故(A)的特征值为的特征值为(1)3,(1）=-1,(2)3,于是于是|A*+3A-2E|=(-

10、3)(-1)3=9.将上式右端记作将上式右端记作(A),有有所以所以A*+3A-2 E=-2A +3A-2E.-1()=-+3-2,现在学习的是第15页，共71页16*1112233AAAAA*24233 AA*AAA E1*,nn*A AAAA 321*4116(3)23227 AA 12A1(3)2AA29.设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵.已知求求的值的值.回顾回顾 第二章习题第二章习题解解现在学习的是第16页，共71页性质性质3设设A为为n阶方阵，阶方阵，是是A的的m个个不同的特征值，不同的特征值，分别是分别是A的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则 线性无关线性无关.即即

11、属于不同特征值的特征向量线性无关属于不同特征值的特征向量线性无关.11sa22sammsa性质性质4设设n阶方阵阶方阵A的相异特征值为的相异特征值为1,2,m，(i 1,2,m),则向量组则向量组11,12,21,22,m1,m2,线性无关线性无关.对应于对应于 的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为m,21m,21m,21m,21isiii,21i现在学习的是第17页，共71页例例5设设 和和 是矩阵是矩阵A的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为 和和 ，证明，证明不是不是A的特征向量的特征向量.121依题设有依题设有A =,A =,A()=(

12、)221021021111222证明用反证法证明用反证法.假设假设 是是A的对应于某特的对应于某特征值征值 的特征向量，的特征向量，则则201021022112121,)(）（又AAA0)(,20210120102211）即（21现在学习的是第18页，共71页19.2121与题设矛盾，即得证，线性无关，又现在学习的是第19页，共71页第二节相似矩阵与矩阵的对角化第二节相似矩阵与矩阵的对角化设A,B为n阶方阵，若有可逆矩阵P,使定义定义2 21PAPB 则称则称B B是是A A的相似矩阵，或称矩阵的相似矩阵，或称矩阵 A A与与B B相似，相似，AB.记作记作简单地讲，若简单地讲，若 ，则称，则

13、称A与与B相似相似.1PAPB 一、相似矩阵及其性质一、相似矩阵及其性质现在学习的是第20页，共71页3113211111112034211131132111120041111311311111例如，给定矩阵例如，给定矩阵A P 以及以及 Q 使得使得 P 1AP Q 1AQ.由此可知，与由此可知，与A相似的矩阵并不唯一相似的矩阵并不唯一存在矩阵存在矩阵也不一定是对角矩阵也不一定是对角矩阵.2004,2034AA现在学习的是第21页，共71页 相似是矩阵间的一种特殊的等价关系，即两个相相似是矩阵间的一种特殊的等价关系，即两个相似矩阵是等价矩阵；即若似矩阵是等价矩阵；即若 ，则，则(1)反身性反

14、身性AA;(2)对称性若对称性若AB,则则BA;(3)传递性若传递性若AB,BC,则则AC.相似的两个矩阵之间，还存在着许多共同的性质相似的两个矩阵之间，还存在着许多共同的性质.AB.反之不然，但相似关系仍具有以下性质反之不然，但相似关系仍具有以下性质AB现在学习的是第22页，共71页.BAPP1性质性质1 1因此，因此，A与与B有相同的特征值有相同的特征值.证明只需证明证明只需证明A与与B具有相同的特征多项式具有相同的特征多项式.实际上，由实际上，由AB，必有可逆矩阵，必有可逆矩阵P,使使 .)(1111AEPAEPPAEPAPPPPBE若若AB,则则A与与B有相同的特征多项式和特征值有相同

15、的特征多项式和特征值于是于是现在学习的是第23页，共71页性质性质2若若AB，则，则 ，其中，其中m为正整数为正整数 mmBA BAPP1PAPAPPAPpAPPAPPBmmm11111)()()(证明证明由AB,必有可逆矩阵P,使 .于是于是所以所以mmBA 现在学习的是第24页，共71页TATB1A(1)若AB,则|A|=|B|;(2)若AB,则trA=trB;(3)若AB，则R(A)=R(B);(5)若若AB,则则A与与B有相同的可逆性，有相同的可逆性，且当且当A与与B都可逆时，都可逆时，.1B两个矩阵的相似关系还具有下述性质两个矩阵的相似关系还具有下述性质(4)若若AB,则则 ;现在学

16、习的是第25页，共71页二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件我们将讨论矩阵可对角化的充分必要条件我们将讨论矩阵可对角化的充分必要条件.如果如果n阶方阵阶方阵A可以相似于一个可以相似于一个n阶对角矩阵阶对角矩阵,则称则称A可对角化，称可对角化，称为为A的相似标准形的相似标准形.由性质由性质1可知，若可知，若 则则的对角线元素就是的对角线元素就是A的的n个特征值个特征值.然而，并非所有的然而，并非所有的n阶矩阵可对角化阶矩阵可对角化.下面，下面，A现在学习的是第26页，共71页证明必要性证明必要性 设设A,其中其中 diag(1,2,n),则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P,使使P 1AP 或

17、或 AP P.（*）将矩阵将矩阵P按列分块，记按列分块，记P(1,2,n),n21.A()=()定理定理1n阶方阵阶方阵A相似于相似于n阶对角矩阵的充分必要阶对角矩阵的充分必要条件是条件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.其中其中 是矩阵是矩阵P的第的第i列列(i=1,2,n),则则(*)可写成可写成in,21n,21现在学习的是第27页，共71页因因P可逆，所以可逆，所以 0(i=1,2,n),充分性充分性 设设 是是A的的n个线性无关的特征个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为向量，它们对应的特征值依次为 是是A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.是是A的

18、对应的对应线性无关线性无关.由此可得由此可得 A =(i=1,2,n).iiiin,21ii于特征值于特征值 的特征向量，的特征向量，n,21n,21,21,n记矩阵记矩阵P=()，则，则P可逆，且可逆，且n,21且且因此因此且且即即).,2,1(niAiii现在学习的是第28页，共71页AP A(1,2,n)(A1,A2,An)(1,22,nn)n21.注注(1)定理的证明过程实际上已给出了把方阵定理的证明过程实际上已给出了把方阵对角化的方法；对角化的方法；=()=P,于是有于是有 P AP=,即即 A P中列向量的次序与矩阵中列向量的次序与矩阵对角线上的特征值对角线上的特征值 的次序相对应

19、的次序相对应.推论若A的特征方程的根都是单根，则A与对角矩阵相似.-1n,21现在学习的是第29页，共71页.注意注意 当当A的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化.例如，在上节例例如，在上节例1中中A有二重特征值有二重特征值 =2，232但因能找到三个线性无关的特征向量，故此但因能找到三个线性无关的特征向量，故此A可可对角化；对角化；而在例而在例2中中A也有二重特征值也有二重特征值 =1，3但却只能找到两个线性无关的特征向量，故此但却只能找到两个线性无关的特征向量，故此A不不能对角化能对角

20、化.现在学习的是第30页，共71页x1010000210000002yx101000210000002y例例1已知已知A 与与B(1)求求x和和y;(2)求一个可逆矩阵求一个可逆矩阵P,使使P 1AP B.解解(1)方法一由于方法一由于AB,故故|E A|E B|,即即,从而从而(2)(2 x 1)(2)(y)(+1),将将1代入得代入得 x 0.于是有于是有 2 1(y)(+1).因此，因此，y 1.相似相似.现在学习的是第31页，共71页001110110110110001可分别求得可分别求得A的对应于特征值的对应于特征值2,1,1的特征向量的特征向量,2,3.于是，可逆矩阵于是，可逆矩阵

21、 P(1,2,3),可使P1APB.方法二由于方法二由于AB,故故|A|=|B|,trA=trB，即有，即有 -2=-2y,2+x=1+y,解得解得 x=0,y=1.=1(2)由于由于AB,故故A与与B有相同的特征值有相同的特征值2,1,-1.解齐次线性方程组解齐次线性方程组(E-A)X=0,现在学习的是第32页，共71页3241223kk3241223kk32110221k10010221k例例2已知已知A 解解A的特征多项式(1)(+1)2,可对角化，求可对角化，求k.|E-A|=现在学习的是第33页，共71页2240224kk0000224kk00000222kEA故故k 0时，时，A可

22、对角化可对角化.A的特征值为的特征值为 =1,=-1.由定理由定理1可知，可知，数矩阵的秩数矩阵的秩R(E-A)=1,而而关的特征向量，故线性方程组关的特征向量，故线性方程组(E-A)X=0的系的系对应二重特征值对应二重特征值 =-1,A应有两个线性无应有两个线性无1232322现在学习的是第34页，共71页11k2111211122.已知已知是是A 的逆矩阵的逆矩阵A 1的特征向量，的特征向量，求求 .k1A111,AA()0,EA12k 解解 设设 是是 的属于特征值的属于特征值 的特征向量，则的特征向量，则 即即 解此方程组得解此方程组得或或12k现在学习的是第35页，共71页3.设设A

23、是是n阶方阵，证明：若阶方阵，证明：若 ，则，则A的特征值的特征值只能是只能是-1或或1.EA 20)1(2AA222,AEA 21,11 证证 设设 是是A A的特征值的特征值 是是A A的属于特征值的属于特征值的特征向量，则的特征向量，则即即 故故即即或或因为因为0现在学习的是第36页，共71页4.已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的特征值为的特征值为1，2，3，试求，试求21A*+3E的特征值的特征值.B=111()3332BAA AEAE解解19(1)336,(2)33,221(3)334.3 96,42的特征值为的特征值为.132BAE故故 现在学习的是第37页，共71页6.设A与B都是n阶

24、方阵，且|A|0，11()BAA ABAAAB A证证证明：证明：AB与与BA相似相似.BAAB 现在学习的是第38页，共71页8.设三阶方阵设三阶方阵A的特征值为的特征值为1，0，-1，对应的特征向量，对应的特征向量TTT)2,1,2(,)1,1,2(,)2,2,1(321求求50A与A依次为依次为解解 因为因为1231(,),01P 1P AP 依题设有依题设有110210123220AP P50111()()()AP PP PP P50154214529228PP现在学习的是第39页，共71页9.设矩阵设矩阵A 0011100yx特征向量，求特征向量，求x和和y应满足的条件应满足的条件.

25、有有3个线性无关的个线性无关的0EA111()()1REAR EA10110000101100EAxyxxy 0 xy，得（二重），（二重），可见方程可见方程的基础解系含的基础解系含2 2个解向量，个解向量，又又21.0)(1XAE从而从而解解 由由现在学习的是第40页，共71页第三节实对称矩阵的特征值和特征向量第三节实对称矩阵的特征值和特征向量一、向量的内积一、向量的内积(数量积）数量积）在空间解析几何中，两个向量在空间解析几何中，两个向量的内积定义为的内积定义为 321aaa 321bbb 1 12 23 3a ba ba b ，现在学习的是第41页，共71页而向量而向量的长度（模）定义为

26、的长度（模）定义为222123,aaaa a 并且并且,的夹角的夹角满足满足 ,cos,0 我们可以把三维向量的内积推广到我们可以把三维向量的内积推广到n n维向量，定维向量，定义义n n维向量的内积、长度和夹角维向量的内积、长度和夹角.现在学习的是第42页，共71页定义定义4 4 设设 12(,),Tna aa 12(,)Tnb bb 为为R Rn中的两个向量，称中的两个向量，称 为向量为向量与与的内积，记作的内积，记作,（或（或 ），），nnbababa2211,nnbababa2211或或T,即即注意注意:若若),(),(2121nnbbbaaa则则T,现在学习的是第43页，共71页容易

27、证明内积满足下列性质：容易证明内积满足下列性质：(1),(2),kk (3),(4),0,0 当当且且仅仅当当时时等等号号成成立立nRkR 其其中中，为为中中的的任任意意向向量量，现在学习的是第44页，共71页定义定义5 5向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：设设 12(,)Tna aa n为为R R 中中的的向向量量，称称22212,na aaaa 为向量为向量的长度（也称范数），记作的长度（也称范数），记作,即即2212nnaaaa 现在学习的是第45页，共71页这一过程叫做向量的单位化或标准化这一过程叫做向量的单位化或标准化.(1)非负性非负性0;(2)齐次性齐次性k=|k|

28、;(3)三角不等式三角不等式+.当当=1时，称时，称为单位向量或标准向量为单位向量或标准向量.任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量.现在学习的是第46页，共71页设设,为为R Rn n中的两个非零向量中的两个非零向量,则称则称为向量为向量与与的夹角的夹角.定义定义6 6定义定义7 7 设设,为为R Rn n中的向量，若中的向量，若,=0=0，则称向，则称向,arccos 与与正交（或垂直），记作正交（或垂直），记作.显然，零向量与任何向量都正交显然，零向量与任何向量都正交.现在学习的是第47页，共71页若不含零向量的向量组（即该向量组中的向量若不含零

29、向量的向量组（即该向量组中的向量定义定义8 8都不是零向量）中任意两个向量都正交，则称此都不是零向量）中任意两个向量都正交，则称此向量向量组为正交组为正交向量组。向量组。则称此向量组为单位正交向量组或标准正交向量组则称此向量组为单位正交向量组或标准正交向量组.若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，现在学习的是第48页，共71页因此因此 是一个线性无关的向量组是一个线性无关的向量组.定理定理3正交向量组必是线性无关的向量组正交向量组必是线性无关的向量组.证明设证明设n维向量维向量 是正交向量组，是正交向量组，则有则有 =0(ij).(*)设设 =0,

30、以以 与上式两端同时做内积运算，并利用与上式两端同时做内积运算，并利用(*)式可得式可得 =0.由由 0知，知，0,于是必有于是必有 =0(i=1,2,r),r,21ji,rrkkk2211iji,ji,iikr,21现在学习的是第49页，共71页111 211321xxx例例1已知向量已知向量1,2解设解设3,则则1,300求一个非零向量求一个非零向量 ,使使 为正交向量组为正交向量组.正交，=0即00211111321xxx1230 xxx 011由得从而有基础解系从而有基础解系.0100001102110111A3321,32,现在学习的是第50页，共71页取取 =,即可使即可使 为正交

31、向量组为正交向量组.注注:1.我们常常采用正交向量组作为向量空间的基，我们常常采用正交向量组作为向量空间的基，称此基为向量空间的正交基称此基为向量空间的正交基.2.基向量都是单位向量的正交基又称为标准正交基基向量都是单位向量的正交基又称为标准正交基.3321,n,21如如 是是 的正交基，的正交基，只是只是 的基，而不是正交基的基，而不是正交基.,1),1,1,(1.,0),0,1,(1,0),0,0,(1TT2T1nnRnR如如 是是 中的标准正交基中的标准正交基.n,21nR3.中的标准正交基也不是唯一的中的标准正交基也不是唯一的.nR.R)21,21(),21,21(21中的标准正交基是

32、n如如现在学习的是第51页，共71页取取 1=1;221121,1;111,r222,r111,rrrrrr12r1.构造方法如下：构造方法如下：构造出一组与之等价的向量组构造出一组与之等价的向量组给定给定n维向量空间维向量空间 中的一组线性无关的向量，中的一组线性无关的向量，(Schmidt)正交化方法正交化方法.它是用线性无关向量组它是用线性无关向量组个正交向量组，这个变换的方法称为施密特个正交向量组，这个变换的方法称为施密特我们可以通过适当的变换方法由它们构造出一我们可以通过适当的变换方法由它们构造出一r,21.21,r现在学习的是第52页，共71页如果对彼此正交的向量组如果对彼此正交的

33、向量组 再分别单位化，再分别单位化，即即1122rr1,2,r,显然显然 为单位正交向量组为单位正交向量组.当当r=n时，时，即为向量即为向量标准正交基标准正交基.可以验证可以验证 两两正交，两两正交，.21,r.21,rr,21且且 与与 等价等价.21,rr,21空间空间 的一组的一组n,21现在学习的是第53页，共71页121131014例例2设1,2,3试用施密特正交化方法将这组向量化为R3的一组标准正交基.解解先将 正交化，取1211121,131121641113511221,321,现在学习的是第54页，共71页1131,2232,01412131111351013312+2.=

34、再将它们单位化，取再将它们单位化，取121611111131221012133 2,3,即为所求.321,1=现在学习的是第55页，共71页对例对例2给出的标准正交基给出的标准正交基1,2,3,21316103162213161可以验证它满足可以验证它满足=以它们为列构成矩阵以它们为列构成矩阵QQ Q=E.T现在学习的是第56页，共71页定义定义9若若n阶方阵阶方阵Q满足满足Q Q=E，则称，则称Q为正交矩阵为正交矩阵.(3)两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵.(2)|Q|=-1或或1;(1)Q =Q ，且，且Q（或（或 Q )也是正交矩阵；也是正交矩阵；由正交矩阵的

35、定义，显然有下面的性质由正交矩阵的定义，显然有下面的性质:T-1T-1T现在学习的是第57页，共71页定理定理4Q为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是Q的列（行）的列（行）向量组是单位正交向量组向量组是单位正交向量组.证明将证明将Q按列分块成按列分块成EEQQnnT),(21TT2T1EnnnnnnT2T1TT22T21T2T12T11T1则则),(21nQ),2,1,()(,0)(,1njijijijTi定理得证定理得证.现在学习的是第58页，共71页由于Q Q=E与QQ =E等价，故上述结论对Q的行向量组的情形也成立.注由此可知，只要我们求出了注由此可知，只要我们求出了 的

36、一组标准的一组标准正交基正交基 ,则以这则以这n个向量为列（或行）个向量为列（或行）构造出的构造出的n阶矩阵阶矩阵Q就是一个就是一个n阶正交矩阵阶正交矩阵.反之亦然反之亦然.n,21TT现在学习的是第59页，共71页二、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质二、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量若若是实对称矩阵是实对称矩阵A A的特征方程的的特征方程的r r重根，则重根，则性质性质1 1性质性质2 2相互正交相互正交.性质性质3 3对应于对应于 的特征方程也有的特征方程也有

37、 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。r 由此可见，实对称矩阵一定能够对角化。由此可见，实对称矩阵一定能够对角化。现在学习的是第60页，共71页定理定理5 5其中其中是以是以A A 的的n n个特征值为对角元素的对角矩阵个特征值为对角元素的对角矩阵.证明设证明设A的互不相同的特征值为的互不相同的特征值为 ,按列排列构成正交矩阵按列排列构成正交矩阵Q，有，有正交化并单位化，即得正交化并单位化，即得 个两两正交的单位特征向量，个两两正交的单位特征向量，从而从而A有有n个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量.把它们依次把它们依次恰有恰有 个线性无关的特征向量，把它们进行施密特个线性

38、无关的特征向量，把它们进行施密特根据性质根据性质1和性质和性质3知，对应特征值知，对应特征值 (i=1,2,s)它们的重数分别为它们的重数分别为 AQQAQQT1S,21)(,2121nrrrrrrss设设A为为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵阶实对称矩阵，则必有正交矩阵Q,使使三、实对称矩阵的对角化三、实对称矩阵的对角化iirir现在学习的是第61页，共71页,恰是A的n个特征值 AQQAQQT1ss,2211其中对角矩阵其中对角矩阵的对角元素含的对角元素含S2211个，个，个srrr=diag()=,现在学习的是第62页，共71页例例3 设实对称矩阵设实对称矩阵A 011101110,求一个

39、正交矩阵Q，使使 为对角矩阵为对角矩阵.解解A的特征方程为的特征方程为|EA|111111(1)2(+2)0,解得解得 当 时，解方程组(-2E-A)X=0，得基础解系当 时，解方程组(E-A)X=0，得基础解系AQQ11,232121T)1,1,1(1132TT)1,0,1(,)0,1,1(32.32正交化，将，取22现在学习的是第63页，共71页2322,1012101121121332+,再将再将 单位化，得单位化，得111113122111203311162 1,2,3.由由 构成正交矩阵构成正交矩阵Q(1,2,3)62031612131612131,有 100010002.AQQAQ

40、QT1321,321,现在学习的是第64页，共71页例例4设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵A的特征值为的特征值为 (二重二重),A的对应于的对应于 的特征向量为的特征向量为 ,求求A.1,021T)1,1,0(11解解 因为因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q,使使1101AQQ设对应于设对应于A的二重特征值的二重特征值 的线性无关的特征的线性无关的特征向量为向量为 .则则 和和 都与都与 正交正交.2311232,现在学习的是第65页，共71页设与设与 正交的向量为正交的向量为 ,则则T1 321xxx(0,1,1)解此方程组得基础解系解此方程组得基础解系 由

41、于由于 与与 正交，故只需将正交，故只需将 单位化：单位化：Txxx),(321123321,032xxTT)1,1,0(,)0,0,1(32现在学习的是第66页，共71页110121222100 3301212 1,2,3 构造矩阵构造矩阵2102121021010110Q(1,2,3),则Q为正交矩阵，且Q AQ=.因此 A=QQ =QQ-1-1T现在学习的是第67页，共71页210212102101011021210001212102121021210001 .现在学习的是第68页，共71页例例5设设A,B是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,证明：存在正交矩阵证明：存在正交矩阵Q,使使Q A

42、Q=B的充分必要条件是的充分必要条件是A,B有相同的特征值有相同的特征值.证明必要性证明必要性 因为有正交矩阵因为有正交矩阵Q,使使Q AQ=B,所以所以 AB,故故A与与B具有相同的特征值具有相同的特征值.充分性设矩阵充分性设矩阵A,B的特征值均为的特征值均为 ，因为因为A,B为实对称矩阵，所以存在正交矩阵为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 ，使得，使得所以所以111122Q AQQ BQ,-1-1n,2121,QQnnBQQAQQ2121221111,现在学习的是第69页，共71页,于是于是1111121121212()()BQ Q AQQQQA QQ.令112QQQ,则则Q仍为正交矩阵，且仍为正交矩阵，且B=Q AQ.-1现在学习的是第70页，共71页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第71页，共71页