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1、【考纲下载考纲下载】1.会从会从实际实际情境中抽象出一元二次不等式模型情境中抽象出一元二次不等式模型2通通过过函数函数图图象了解一元二次不等式与相象了解一元二次不等式与相应应的二次函数、一元二次方程的的二次函数、一元二次方程的联联系系3会解一元二次不等式，会解一元二次不等式，对给对给定的一元二次不等式，会定的一元二次不等式，会设计设计求解的程序框求解的程序框图图.第第2 2讲讲 一元二次不等式一元二次不等式第一页，编辑于星期五：五点 八分。一元二次不等式与相应二次函数、方程的关系一元二次不等式与相应二次函数、方程的关系(填表填表)第二页，编辑于星期五：五点 八分。判判别别式式b24ac000二
2、次函数二次函数yax2bxc(a0)的的图图象象 一元二次方程一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的根有两相异有两相异实实根根x1，x2(x1x2)有两相同有两相同实实根根x1x2没有没有实实根根一元二次不等式一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的解集Rax2bxc0(a0)的的解集解集 x|xx2或或xx1x|x1xx2 第三页，编辑于星期五：五点 八分。1集合集合Ax|x27x60，xZ，Bx|2x2x60，xZ，那么那么AB的子集个数为的子集个数为()A16 B32 C15 D8解析：解析：由由x27x60，得，得1x6，A1,2,3,4,5,6，由，由2x2x60，得，得x2，
3、Bx|x2，且，且x Z，AB3,4,5,6，AB的子的子集共有集共有2416个个答案：答案：A第四页，编辑于星期五：五点 八分。2不等式不等式x2ax40的解集为空集，那么的解集为空集，那么a的取值范围是的取值范围是()A4a4 B4a4 Ca4或或a4 Da4或或a4 解析：解析：a2160，4a4.答案：答案：A第五页，编辑于星期五：五点 八分。3不等式不等式 2的解集是的解集是()A.B.C.(1,3 D.(1,3解析：解法一：解析：解法一：首先首先x1，在这个条件下根据不等式的性质原不等，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为式可以化为x52(x1)2，即，即2x25x30，即
4、，即(2x1)(x3)0，解得，解得 x3，故原不等式的解集是，故原不等式的解集是 (1,3解法二：解法二：特殊值检验法首先特殊值检验法首先x1，排除，排除B，显然，显然x0，x2是是不等式的解，排除不等式的解，排除A、C.答案：答案：D第六页，编辑于星期五：五点 八分。4(ax1)(x1)0的的解解集集是是x|x1或或x2，那那么么实实数数a的的值值为为_ 解析：由不等式解集是解析：由不等式解集是x|x1或或x2可知可知 2，a 答案：答案：第七页，编辑于星期五：五点 八分。解含参数的一元二次不等式可按如下步解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进骤进行：行：1二次二次项项假假设设含有参数含有
5、参数应讨论应讨论是等于是等于0、小于、小于0、还还是大于是大于0.然后将不等式然后将不等式转转化化为为二次二次项项系数系数为为正的形式正的形式2判断方程的根的个数，判断方程的根的个数，讨论讨论判判别别式式与与0的关系的关系3确定无根确定无根时时可直接写出解集，确定方程有两个根可直接写出解集，确定方程有两个根时时，要，要讨论讨论两根的大小两根的大小关系，从而确定解集的形式关系，从而确定解集的形式第八页，编辑于星期五：五点 八分。【例【例1】解不等式：解不等式：ax2(a1)x10.思思维维点点拨拨：先先考考虑虑a0，再再考考虑虑a0，然然后后因因式式分分解解，比较比较 根的大小，得出解集根的大小
6、，得出解集解：假设解：假设a0，原不等式，原不等式x11.假设假设a0 x1.假设假设a0，原不等式，原不等式 (x1)1；当当0a1时时，解集，解集为为其解的情况其解的情况应应由由 与与1的大小关系决定，故的大小关系决定，故当当a1时时，(*)式式x ；当当a1时时，(*)式式 x1；当当0a1时时，(*)式式1x .综综上所述：当上所述：当a0变形为变形为(xa)(xa2)0.当当a0时时，有，有aa2，解集解集为为x|xa2；当当0aa2，解集解集为为x|xa；当当a1时时，有，有aa2，解集解集为为x|xa2；当当a0时时，解集，解集为为x|x R，且，且x0；当当a1时时，解集，解集
7、为为x|xR，且，且x1.第十一页，编辑于星期五：五点 八分。三三个个“二二次次各各自自内内涵涵丰丰富富，而而又又联联系系密密切切，相相互互渗渗透透在在解解相相关关问问题题时时，要要灵灵活活进进行行转转化，并要重化，并要重视视函数与方程、数形函数与方程、数形结结合等数学思想方法的合等数学思想方法的综综合运用合运用【例【例2】不等式】不等式ax2bxc0(a0)的解集为的解集为x|x，0，求不等式求不等式cx2bxa0的解集的解集 思维点拨：思维点拨：，为为ax2bxc0的两根，故的两根，故 .将将cx2bxa 0的根也用的根也用，表示，进而求出表示，进而求出cx2bxa0的解集的解集第十二页，
8、编辑于星期五：五点 八分。解：由，易知解：由，易知a0可化为可化为x2 0.方程方程x2 0的两个根为的两个根为、.()，.0，a0，即，即c0.因而不等式因而不等式cx2bxa0，可得可得 是方程是方程x2 0的两个根的两个根又又0，故不等式故不等式cx2bxa0恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是ax2bxcf(x)恒成立或恒成立或af(x)恒成立恒成立af(x)max；af(x)恒成立恒成立a0在在x0,1上恒成立，求实数上恒成立，求实数a的取的取 值范围值范围 思维点拨：令思维点拨：令f(x)x2axa1，那么，那么f(x)0在在x0,1上恒成立，上恒成立，等价于二次函数等价于二次函数
9、f(x)在在0,1上的最小值大于零或分式函数上的最小值大于零或分式函数(别离参数别离参数)在给定区间上的最值问题在给定区间上的最值问题第十五页，编辑于星期五：五点 八分。解：解法一：解：解法一：(二次函数的最值问题二次函数的最值问题)令令f(x)x2axa1 a1.当当 0时时，f(x)minf(0)1a0a1，故，故0a022 a1，即，即a0，故故a0得得(1x)ax21，x0,1，1x0，当当x1时，时，02恒成立，此时恒成立，此时aR；当当x0,1)时，时，a 恒成立恒成立求当求当x0,1)时，函数时，函数y 的最小值的最小值令令t1x(t(0,1)，所以所以y而函数而函数yt 2在在
10、(0,1上是减函数，上是减函数，所以当且所以当且仅仅当当t1，即，即x0时时，ymin1，故要使不等式在故要使不等式在0,1)上恒成立，只需上恒成立，只需a1.由由得，得，实实数数a的取的取值值范范围为围为(，1)第十七页，编辑于星期五：五点 八分。假设假设1x2，不等式，不等式ax22ax10恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围解：解法一：从函数图象与不等式解集入手，不等式在解：解法一：从函数图象与不等式解集入手，不等式在x(1,2上恒成立，上恒成立，即即f(x)ax22ax1在在x(1,2时图象恒在时图象恒在x轴下方轴下方当当a0时，不等式变为时，不等式变为10时，只需时，只
11、需 可得可得a0；当当aa1，综上可得，综上可得a1.变式变式3：第十八页，编辑于星期五：五点 八分。解法二：解法二：因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在(1,2上的最大值恒上的最大值恒小于小于0，从而转化为二次函数在闭区间上的最值问题从而转化为二次函数在闭区间上的最值问题设设f(x)ax22ax1，当当a0时时，f(x)1，满足不等式满足不等式f(x)0时时，f(x)对称轴为对称轴为x1，结合二次函数图象结合二次函数图象，(1,2为为f(x)的增区间的增区间，f(x)maxf(2)10成立成立当当a0时，时，f(x)对称轴为对称轴为x1，区间区间(1,
12、2为为f(x)的减区间的减区间，f(x)maxf(1)a10，a1，1a0，综上所述综上所述a1.第十九页，编辑于星期五：五点 八分。解不等式解不等式应应用用题题，一般可按如下步，一般可按如下步骤进骤进行：行：1阅读阅读理解，理解，认认真真审题审题，把握，把握问题问题中的关中的关键键量，找准不等关系；量，找准不等关系；2引引进进数学符号，用不等式表示不等关系；数学符号，用不等式表示不等关系；3解不等式；解不等式；4回扣回扣实际问题实际问题，正确作答，正确作答第二十页，编辑于星期五：五点 八分。消消费费金金额额(元元)的范的范围围200，400)400,500)500，700)700，900)获
13、获得得奖奖券券的金的金额额(元元)3060100130【例例4】某某商商场场在促在促销销期期间规间规定：商定：商场场内所有商品按内所有商品按标标价的价的80%出售，同出售，同时时，当，当 顾顾客在客在该该商商场场内消内消费费一定金一定金额额后，按如下方案后，按如下方案获获得相得相应应金金额额的的奖奖券券.第二十一页，编辑于星期五：五点 八分。根据上述促根据上述促销销方法，方法，顾顾客在客在该该商商场购场购物可以物可以获获得双重得双重优优惠，例如，惠，例如，购购置置标标价价为为400元的商品，那么消元的商品，那么消费费金金额为额为320元，元，获获得的得的优优惠惠额为额为：4000.230110
14、(元元)设购设购置商品得到的置商品得到的优优惠惠 ，试问试问：(1)购购置一件置一件标标价价为为1 000元的商品，元的商品，顾顾客得到的客得到的优优惠率惠率为为多少？多少？(2)对对于于标标价在价在500,800(元元)内的商品，内的商品，顾顾客客购购置置标标价价为为多少元的商品，可得到不多少元的商品，可得到不小于小于 的的优优惠率？惠率？思维点拨：思维点拨：(1)根据优惠率公式可求；根据优惠率公式可求；(2)由消费额列出不等式，由优惠率不小于由消费额列出不等式，由优惠率不小于 列出不等式，两者解不等式组可得列出不等式，两者解不等式组可得第二十二页，编辑于星期五：五点 八分。解：解：(1)优
15、惠率为：优惠率为：33%.(2)设商品的标价为设商品的标价为x元，那么元，那么500 x800，消费额为：消费额为：4000.8x640，由可得，由可得 或或 其中，不等式组其中，不等式组无解，不等式组无解，不等式组的解集为的解集为625x750.因此，当顾客因此，当顾客 购置标价在购置标价在625,750(元元)内的商品时，可得到不小于内的商品时，可得到不小于 的优惠率的优惠率.第二十三页，编辑于星期五：五点 八分。【方法规律方法规律】1解一元二次不等式，应首先把二次项系数化为正值，然后结合图象根据不等式解一元二次不等式，应首先把二次项系数化为正值，然后结合图象根据不等式对应的一元二次方程根
16、的情况得出解集，对于一元二次不等式的解集有两种特对应的一元二次方程根的情况得出解集，对于一元二次不等式的解集有两种特殊情况，即殊情况，即和和R.R.2解含参数的一元二次不等式时，要注意分类讨论，主要涉及：解含参数的一元二次不等式时，要注意分类讨论，主要涉及：对不等式二对不等式二次项系数的讨论，次项系数的讨论，一元二次方程根的大小特别应该强调的是一元二次方程根的大小特别应该强调的是x x2 2的系数的系数含有参数时，要对其是否为含有参数时，要对其是否为0 0、正、负进行讨论，确定不等式解集的形、正、负进行讨论，确定不等式解集的形式式 3二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是相互联系、相互依存二
17、次函数、一元二次方程、一元二次不等式是相互联系、相互依存 的知识整体，这既表的知识整体，这既表达了函数与方程的思想，又表达了数形结合的思想，熟练掌握一元二次方程的根、函数达了函数与方程的思想，又表达了数形结合的思想，熟练掌握一元二次方程的根、函数的零点、不等式的解集与图象的关系，灵活运用函数、方程、不等式的思想处理数学问的零点、不等式的解集与图象的关系，灵活运用函数、方程、不等式的思想处理数学问题解题过程要善于相互转化，切莫将其分割开来，要善于把方程、不等式、函数有机题解题过程要善于相互转化，切莫将其分割开来，要善于把方程、不等式、函数有机地联系在一起地联系在一起.第二十四页，编辑于星期五：五
18、点 八分。【高考真题高考真题】(2021湖北湖北)关于关于x的不等式的不等式 0的解集是的解集是(，1)，那么，那么a_.第二十五页，编辑于星期五：五点 八分。【标准解答】解析：解析：0(ax1)(x1)0，又因其解集为又因其解集为(，1)，可知可知a0，故，故(ax1)(x1)0，结合原不等式的解集，结合原不等式的解集，有有 a2.答案：答案：2第二十六页，编辑于星期五：五点 八分。求求一一元元二二次次不不等等式式的的解解是是高高中中数数学学的的重重要要内内容容之之一一，不不等等式式中中二二次次项项系系数数对对不不等等式式解解集集的的影影响响是是各各个个版版本本的的教教材材都都重重点点讲讲解
19、解的的，这这个个题题目目来来源源于于教教材材上上关关于于一一元元二二次次不等式的根底不等式的根底题题型，所不同的是型，所不同的是题题目条件是分式不等式目条件是分式不等式对对不等式解集的不等式解集的结结构构认识认识模糊，如模糊，如认为认为 1，解得，解得a1的情况。的情况。第二十七页，编辑于星期五：五点 八分。作作为为填填空空题题，只只要要明明确确这这类类不不等等式式解解集集的的端端点点是是方方程程(ax1)(x1)0的的两两个个根根，问问题题立立即即可解，即可解，即 ，那么，那么a2.【方法探究方法探究】解形如解形如ax2bxc0的不等式时，首先要考虑对的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类当的系数进行分类当a0时，这个不等时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对式是一次不等式，解的时候还要对b、c进一步分类讨论；当进一步分类讨论；当a0且且0时，不等式可化为时，不等式可化为a(xx1)(xx2)0，其中，其中x1、x2(x10，那么不，那么不等式的解集是等式的解集是(，x1)(x2，)，如果，如果a0，那么不等式的解集是，那么不等式的解集是(x1，x2).点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第二十八页，编辑于星期五：五点 八分。