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1、【考纲下载考纲下载】1.以立体几何的定以立体几何的定义义、公理和定理、公理和定理为为出出发发点，点，认识认识和理解空和理解空间间中中线线面平行的面平行的有关性有关性质质与判定定理与判定定理2能运用公理、定理和已能运用公理、定理和已获获得的得的结论证结论证明一些空明一些空间图间图形的平行关形的平行关系的系的简单题简单题.第第4 4讲讲 平行关系平行关系第一页，编辑于星期五：五点 九分。直线和平面平行的判定与性质直线和平面平行的判定与性质(1)判判定定理：定定理：a；(2)性性质质定理：定理：.平面和平面平行的判定与性质平面和平面平行的判定与性质(1)判定定理：判定定理：a b a b abM12
2、第二页，编辑于星期五：五点 九分。(2)性性质质定理：定理：提示：提示：两平面平行时，一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，两平面平行时，一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，而分别在两个平行平面内的两条直线，它们可能平行，也可能异面而分别在两个平行平面内的两条直线，它们可能平行，也可能异面laab第三页，编辑于星期五：五点 九分。1以下条件中，能判断两个平面平行的是以下条件中，能判断两个平面平行的是()A一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
3、一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：由面面平行的判定定理易知选解析：由面面平行的判定定理易知选D项项A、B、C三项中的两个平面可能相交，如以下图三项中的两个平面可能相交，如以下图答案：答案：D第四页，编辑于星期五：五点 九分。2如果直线如果直线a 平面平面，那么，那么()A平面平面内有且只有一条直线与内有且只有一条直线与a平行平行B平面平面内无数条直线与内无数条直线与a平行平行C平面平面内不存在与内不存在与a平行的直线平行的直线D平面平面内的任意直线与内的任意直线与a都平行都平行解析：过直线解析：过直线a
4、可作无数个平面与平面可作无数个平面与平面相交，得无数条交线，相交，得无数条交线，这些交线都互相平行这些交线都互相平行答案：答案：B第五页，编辑于星期五：五点 九分。两个不同的平面两个不同的平面、和两条不重合的直和两条不重合的直线线m、n，有以下四个命，有以下四个命题题：假假设设m n，n，那么，那么m；假假设设m，n，且，且m，n，那么那么；m，n，那么，那么m n；假假设设，m，那么，那么m.其中正确命其中正确命题题的个数是的个数是()A1B2C3D4解析：解析：有可能有可能m；只有当只有当m与与n相交相交时时，才有命，才有命题题正确；正确；m、n还还可能是异面直可能是异面直线线；正确，故正
5、确答案是正确，故正确答案是A.答案：答案：A3第六页，编辑于星期五：五点 九分。过过三棱柱三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直任意两条棱的中点作直线线，其中与平面，其中与平面ABB1A1平行的直平行的直线线共有共有_条条解析：如以下解析：如以下图图，过过任意两条棱中点的直任意两条棱中点的直线线与平面与平面ABB1A1平行的直平行的直线线有：有：DE、DD1、DE1、D1E1、D1E、EE1共共6条条答案：答案：64第七页，编辑于星期五：五点 九分。证证明明线线面面平平行行的的问问题题通通常常转转化化为为证证明明两两条条直直线线平平行行的的问问题题通通过过对对数数据据的的计计算算构构造造
6、平平行四行四边边形、利用三角形的中位形、利用三角形的中位线线性性质质是是证证明两条直明两条直线线平行的常平行的常见见方法方法第八页，编辑于星期五：五点 九分。(2021 (2021山山东东卷卷)如如图图，在直四棱柱，在直四棱柱ABCDABCDA1B1C1D1A1B1C1D1中，底面中，底面ABCDABCD为为等腰梯等腰梯形，形，ABCDABCD，ABAB4 4，BCBCCDCD2 2，AA1AA12 2，E E、E1E1、F F分分别为别为棱棱ADAD、AA1AA1、ABAB的中点，求的中点，求证证：直：直线线EE1EE1平面平面FCC1.FCC1.思思维维点点拨拨：在平面：在平面FCC1FC
7、C1中找一条中找一条线线平行于平行于EE1EE1或或证证平面平面ADD1A1ADD1A1平面平面FCC1FCC1均可均可.【例例1】第九页，编辑于星期五：五点 九分。证明：证法一：证明：证法一：取取A1B1的中点的中点为为F1，连结连结FF1，C1F1，由于，由于FF1BB1CC1，所以，所以F1平面平面FCC1，因此平面，因此平面FCC1即即为为平面平面C1CFF1.连结连结A1D，F1C，由于，由于A1F1D1C1CD，所以四，所以四边边形形A1DCF1为为平行四平行四边边形，因此形，因此A1DF1C.又又EE1A1D，得，得EE1F1C，而，而EE1 平面平面FCC1，F1C 平面平面F
8、CC1，故，故EE1平面平面FCC1.证法二：证法二：因为因为F为为AB的中点，的中点，CD=2，AB=4，AB CD，所以所以CDAF，因此四，因此四边边形形AFCD为为平行四平行四边边形，所以形，所以AD FC.又又CC1 DD1，FCCC1=C，FC 平面平面FCC1，CC1 平面平面FCC1，所以平面，所以平面ADD1A1 平面平面FCC1，又，又EE1 平面平面ADD1A1，所以，所以EE1 平面平面FCC1.第十页，编辑于星期五：五点 九分。如以下图，在正方体如以下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，O为正方形为正方形ABCD的中的中点，点，求证：求证：B1O 平面平面A1
9、C1D.变式变式1：证明：分别连结证明：分别连结BD和和B1D1，那么，那么O BD且且A1C1B1D1O1.BB1綊綊DD1，BB1D1D是平行四边形是平行四边形 BD綊綊B1D1，OD綊綊O1B1.连结连结O1D，那么四边形，那么四边形B1ODO1是平行四边形，是平行四边形，B1O DO1.DO1 平面平面A1C1D，B1O 平面平面A1C1D，且且B1O DO1，B1O 平面平面A1C1D.第十一页，编辑于星期五：五点 九分。证证明明线线线线平行常用方法：平行常用方法：(1)利用定利用定义义：证证明两明两线线共面且无公共点；共面且无公共点；(2)利用公理利用公理4，证证两两线线同同时时平
10、行于第三条直平行于第三条直线线；(3)利用利用线线面平行的性面平行的性质质定理把定理把证线线证线线平行平行转转化化为证线为证线面平行，面平行，转转化思想在化思想在立体几何中，立体几何中，贯贯穿始穿始终终，转转化的途径是把空化的途径是把空间问题转间问题转化化为为平面平面问题问题第十二页，编辑于星期五：五点 九分。ABCD是平行四边形，点是平行四边形，点P是平面是平面ABCD外一点，外一点，M是是PC的中点，的中点，在在DM上取一点上取一点G，过，过G和和AP作平面交平面作平面交平面BDM于于GH，求证：，求证：AP GH.思维点拨：先将三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行，思维点拨：先将三角
11、形中位线的线线平行关系转化为线面平行，然后由线面平行转化为所要证明的线线平行然后由线面平行转化为所要证明的线线平行【例例2】证明：如以下图，连结证明：如以下图，连结AC，交，交BD于于O，连结，连结MO，由由ABCD是平行四边形得是平行四边形得O是是AC的中点又的中点又M是是PC的中点，的中点，知知AP OM，AP 平面平面BMD，DM 平面平面BMD，故，故PA 平面平面BMD.由平面由平面PAHG平面平面BMDGH，知，知PA GH.第十三页，编辑于星期五：五点 九分。证证明面面平行的方法有：明面面平行的方法有：1面面平行的定面面平行的定义义；2面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交
12、直面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线线都平行都平行于另一个平面，那么于另一个平面，那么这这两个平面平行；两个平面平行；3利用垂直于同一条直利用垂直于同一条直线线的两个平面平行；的两个平面平行；4两个平面同两个平面同时时平行于第三个平面，那么平行于第三个平面，那么这这两个平面平行；两个平面平行；5利用利用“线线线线平行、平行、“线线面平行、面平行、“面面平行的相互面面平行的相互转转化化第十四页，编辑于星期五：五点 九分。如以下图，正方体如以下图，正方体ABCDA1B1C1D1中中(1)求证：平面求证：平面A1BD 平面平面B1D1C；(2)假设假设E、F分别是分别是AA1、CC1的
13、中点，的中点，求证：平面求证：平面EB1D1 平面平面FBD.思维点拨：思维点拨：(1)证证BD 平面平面B1D1C，A1D 平面平面B1D1C；(2)证证BD 平面平面EB1D1，DF 平面平面EB1D1.【例例3】证明：证明：(1)由由B1BDD1，得四，得四边边形形BB1D1D是平行四是平行四边边形，形，B1D1 BD，又，又BD 平面平面B1D1C，B1D1 平面平面B1D1C，BD 平面平面B1D1C.同理同理A1D 平面平面B1D1C.而而A1DBDD，平面平面A1BD 平面平面B1D1C.第十五页，编辑于星期五：五点 九分。(2)由由BD B1D1，得，得BD 平面平面EB1D1
14、.取取BB1中点中点G，得，得AEB1G，从而，从而B1E AG.又又GFAD，AG DF.B1E DF，DF 平面平面EB1D1.又又BDDFD，平面平面EB1D1 平面平面FBD.第十六页，编辑于星期五：五点 九分。如以下图，三棱柱如以下图，三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是BC上一点，上一点，且且A1B 平面平面AC1D，D1是是B1C1的中点的中点求证：平面求证：平面A1BD1 平面平面AC1D.变式变式3：证明：如以下图，连结证明：如以下图，连结A1CA1C交交AC1AC1于于E.E.四边形四边形A1ACC1A1ACC1是平行四边形，是平行四边形，EE是是A1CA1C的中点，连结
15、的中点，连结ED.ED.A1BA1B平面平面AC1DAC1D，平面，平面A1BCA1BC平面平面AC1D=EDAC1D=ED，A1BED.A1BED.EE是是A1CA1C的中点，的中点，D D是是BCBC的中点的中点 D1D1是是B1C1B1C1的中点，的中点，BD1C1D BD1C1D，A1D1ADA1D1AD，又又A1D1BD1=D1A1D1BD1=D1，平面平面A1BD1A1BD1平面平面AC1D.AC1D.第十七页，编辑于星期五：五点 九分。面面平行的性面面平行的性质质定理的定理的应应用用问题问题，往往涉及面面平行的判定、，往往涉及面面平行的判定、线线面平行的判定与性面平行的判定与性质
16、质的的综综合合应应用解用解题时题时，要准确地找到解，要准确地找到解题题的切入点，灵活地运用相关定理来解决的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题问题，注意三种平行关系之，注意三种平行关系之间间的相互的相互转转化化第十八页，编辑于星期五：五点 九分。如以下图，平面如以下图，平面 平面平面，点，点A，C，点，点B，D，点点E、F分别在线段分别在线段AB，CD上，且上，且AE EBCF FD.(1)求证：求证：EF；(2)假设假设E，F分别是分别是AB，CD的中点，的中点，AC4，BD6，且且AC，BD所成的角为所成的角为60，求，求EF的长的长【例例4】第十九页，编辑于星期五：五点 九分。证明：证明
17、：(1)当当AB，CD在同一平面内时，由在同一平面内时，由，平面平面平面平面ABDC=AC，平面，平面平面平面ABDC=BD，AC BD，AE EB=CF FD，EF BD，又又EF，BD，EF.第二十页，编辑于星期五：五点 九分。当当AB与与CD异面异面时时，设设平面平面ACD=DH，且，且DH=AC.，平面平面ACDH=AC，AC DH，四四边边形形ACDH是平行四是平行四边边形，形，在在AH上取一点上取一点G，使，使AG GH=CF FD，又又 AE EB=CF FD，GF HD，EG BH，又又EGGF=G，平面平面EFG 平面平面.EF 平面平面EFG，EF.综综上，上，EF.第二十
18、一页，编辑于星期五：五点 九分。(2)解：如以下图，连接解：如以下图，连接AD，取，取AD的中点的中点M，连接，连接ME，MF.E，F分别为分别为AB，CD的中点，的中点，ME BD，MF AC，且且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF为为AC与与BD所成的角所成的角(或其补角或其补角)，EMF=60或或120，在在 EFM中由余弦定理得，中由余弦定理得，第二十二页，编辑于星期五：五点 九分。【方法规律】【方法规律】1 1直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线和平面平行的性质在应用时，要线和直线的位置关
19、系，直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线的错误结论一切直线的错误结论2 2以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是角利用以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是角利用转化和降维的思想方法求解其他几何参量转化和降维的思想方法求解其他几何参量第二十三页，编辑于星期五：五点 九分。3线面平行和面面平行的判定和性质：线面平行和面面平行的判定和性质：4要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题对此需强调两点：第一，要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题对此需强调两点：第一，辅助线、辅助面不能
20、随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅助面有辅助线、辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否那么谬误难什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否那么谬误难免免.第二十四页，编辑于星期五：五点 九分。【高考真题】【高考真题】(2021(2021福建卷福建卷)设设m m，n n是平面是平面内的两条不同直线；内的两条不同直线；l1l1，l2l2是是平面平面内的内的两条相交直线，那么两条相交直线，那么的一个充分而不必要条件是的一个充分而不必要条件是()A Amm且且l1l1B Bml1ml1且且nl2nl2C Cm
21、m且且n Dn Dmm且且nl2nl2第二十五页，编辑于星期五：五点 九分。【标准解答】【标准解答】解析：选项解析：选项A A作条件，由于这时两个平面中各有一条直线与另一个作条件，由于这时两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，不能得到平面平行，不能得到，但，但却能得到选项却能得到选项A A，应选项，应选项A A是是必要而不充分条件；选项必要而不充分条件；选项B B作条件，此时作条件，此时m m，n n一定是平面一定是平面内的两内的两条相交直线条相交直线(否那么，那么推出直线否那么，那么推出直线l1l2l1l2，与矛盾，与矛盾)，这就符合两，这就符合两个平面平行的判定定理的推论个平面平行的判定
22、定理的推论“一个平面内如果有两条相交直线分一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行，别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行，故条件是充分的，但是在故条件是充分的，但是在时，由于直线时，由于直线m m，n n在平面在平面内的位内的位置不同，只能得到置不同，只能得到m m，n n与平面与平面平行，得不到平行，得不到ml1ml1，nl2nl2的结论，的结论，故条件是不必要的，应选项故条件是不必要的，应选项B B中的条件是充分而不必要的；中的条件是充分而不必要的；第二十六页，编辑于星期五：五点 九分。选选项项C作作条条件件，由由于于m，n只只
23、是是平平面面内内的的两两条条不不同同直直线线，这这两两条条直直线线可可能能相相互互平平行行，故故得得不不到到 的的必必然然结结论论，这这个个条条件件是是不不充充分分的的，但但 却却能能得得到到选选项项C，应应选选项项C是是必必要要而而不不充充分分条条件件；选选项项D作作条条件件，由由n l2可可得得n，平平面面内内的的直直线线m，n分分别别与与平平面面平平行行，由由于于m，n可可能能平平行行，得得不不到到 的的必必然然结结论论，故故这这个个条条件件是是不不充充分分的的，当当 时时，只只能能得得到到m 但但得得不不到到n l2，故故条条件件也也不不是是必必要要的的，应应选选项项D中中的的条条件件
24、是既不充分也不必要的是既不充分也不必要的答案：答案：B第二十七页，编辑于星期五：五点 九分。此此题题是教材上两个平面平行的判定定理的推是教材上两个平面平行的判定定理的推论论，隐隐含了一个必然关系含了一个必然关系“m，n为为相相交直交直线线而而设计设计出来的，目的是考出来的，目的是考查查考生考生对对两个平面平行关系及充分必要关系两个平面平行关系及充分必要关系的掌握的掌握【探究与研究探究与研究】第二十八页，编辑于星期五：五点 九分。解解此此题题很很容容易易出出现现把把充充分分而而不不必必要要条条件件判判断断为为必必要要而而不不充充分分条条件件的的错错误误，问问题题的的根根源源是是作作为为选选择择题
25、题，在在题题目目的的表表达达上上和和一一般般问问题题中中的的表表达达正正好好相相反反在在一一般般问问题题的的表表达达中中往往往往是是给给出出条条件件P，Q后后，设设问问P是是Q的的什什么么条条件件，其其解解决决方方法法是是看看PQ、QP能能不不能能成成立立，确确定定问问题题的的答答案案，但但在在选选择择题题中中却却把把“P是是Q的的什什么么条条件件中中的的条条件件P放放到到了了选选项项中中，而而把把Q放放在在了了题题干干中中，这这就就容容易易使使考考生生误误以以为为“Q是是P的的什什么么条条件件，导导致致错错解解题题目目考考生生在在解解决决充充要要条条件件的的问问题题时时一一定定要要注意注意题
26、题目中所目中所说说的什么是的什么是P，什么是，什么是Q.第二十九页，编辑于星期五：五点 九分。解决这类空间线面位置关系的判断题，要善于利用常见的立体几何模型解决这类空间线面位置关系的判断题，要善于利用常见的立体几何模型(如长方如长方体模型，空间四边形模型体模型，空间四边形模型)作为选择题要善于排除最不可能的选项，如选项作为选择题要善于排除最不可能的选项，如选项A、C，通过简单的回忆两个平面平行的判定定理，首先就可以排除，选项，通过简单的回忆两个平面平行的判定定理，首先就可以排除，选项D和选和选项项C根本一致，也可以排除，就剩下了选项根本一致，也可以排除，就剩下了选项B.解答选择题要学会排除法解答选择题要学会排除法.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第三十页，编辑于星期五：五点 九分。