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1、(会从实际情境中抽象出二元一次不等式组会从实际情境中抽象出二元一次不等式组/了解二元一次不等式了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组/会从实际情境会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决)6.5 6.5 简单的线性规划简单的线性规划1二元一次不等式二元一次不等式(组组)解集的定义：解集的定义：满足二元一次不等式组的满足二元一次不等式组的x和和y的取值构成的取值构成有序数对有序数对(x，y)，所有这样的有序数对，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次
2、不等式构成的集合称为二元一次不等式组的解集组的解集2二元一次不等式表示平面区域：二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式对于任意的二元一次不等式AxByC0(或或0)，(1)若若B0，总可以把，总可以把y项的系数变形为正数当项的系数变形为正数当B0时，时，AxByC0表示直线表示直线AxByC0 的区域；的区域；AxByC0表示直线表示直线AxByC0 的区域的区域(2)若若B0，则，则A0，可与，可与B0时类似考虑时类似考虑上方上方下方下方3线性规划线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问
3、题统称为线性规划问题满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x，y) 叫做叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做由所有可行解组成的集合叫做 ；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题可行解可行解可行域可行域最优解最优解1不等式组不等式组 所确定的平面区域记为所确定的平面区域记为D.若圆若圆O：x2y2r2上的上的 所有点都在区域所有点都在区域D上，则圆上，则圆O的面积的最大值是的面积的最大值是() A2 B. C. D.解析：解析：如如右图作出可行域如阴影部分右图作出
4、可行域如阴影部分由图可知，要使由图可知，要使x2y2r2上的所有点都在区域内，上的所有点都在区域内，即圆最大与即圆最大与2xy20相切，相切，即即rmax Smaxr2 .答案：答案：B2. 设设A(x，y)|x，y,1xy是三角形的三边长是三角形的三边长，则，则A所表示的平面区域所表示的平面区域(不含不含边界的阴影部分边界的阴影部分)是是()解析：解析：由由已知得已知得 即即答案：答案：A3已知点已知点P(x，y)在不等式组在不等式组 表示的平面区域内运动，表示的平面区域内运动， 则则zxy的取值范围是的取值范围是() A2，1 B2,1 C1,2 D1,2 答案：答案：C 4设实数设实数x
5、，y满足满足 则则 的最大值是的最大值是_ 答案：答案：不等式组表示的平面区域是基于二元一次不等式所表示区域得到的不等不等式组表示的平面区域是基于二元一次不等式所表示区域得到的不等式组的解集是把不等式组中每一个不等式都求解集各不等式解集的交集式组的解集是把不等式组中每一个不等式都求解集各不等式解集的交集即为不等式组的解集由此我们可以推得不等式组所表示的平面区域是不即为不等式组的解集由此我们可以推得不等式组所表示的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的平面区域的公共部分等式组中各个不等式所表示的平面区域的公共部分【例【例1】 满满足条件足条件 的区域中共有整点的个数为的区域中共有整点的个数为()
6、 A3 B4C5 D6 解析：解析：如右图，画出可行域，由可行域如右图，画出可行域，由可行域知有知有4个整点，分别是个整点，分别是(0,0)， (0，1)，(1，1)，(2，2)答案：答案：B 解线性规划问题的一般步骤是：第一，由线性约束条件画出可行域；第二，解线性规划问题的一般步骤是：第一，由线性约束条件画出可行域；第二，令目标函数中的令目标函数中的z为为0得直线得直线l0，平移，平移l0；第三，求出最优解；第四，把最优解；第三，求出最优解；第四，把最优解代入目标函数，求出代入目标函数，求出z的最值作答的最值作答【例【例2】 A、B两两地分别生产同一规格产品地分别生产同一规格产品12千吨、千
7、吨、8千吨，而千吨，而D、E、F三地分别三地分别 需要需要8千吨、千吨、6千吨、千吨、6千吨，每千吨的运费如下表怎样确定调运方千吨，每千吨的运费如下表怎样确定调运方 案，使总的运费为最小？案，使总的运费为最小？运价运价(万元万元/千吨千吨)到到D到到E到到F从从A456从从B524 解答：解答：设设从从A到到D运运x千吨，则从千吨，则从B到到D运运(8x)千吨；从千吨；从A到到E运运y千吨，则从千吨，则从B到到E运运(6y)千吨；从千吨；从A到到F运运(12xy)千吨，从千吨，从B到到F运运(xy6)千吨，则千吨，则线性约束条件为线性约束条件为 线性目标函数为线性目标函数为z4x5y6(12x
8、y)5(8x)2(6y)4(xy6)3xy100，如右图作出可行域，可观察出目标函数在如右图作出可行域，可观察出目标函数在(8,0)点取到最小值，即从点取到最小值，即从A到到D运运8千吨，从千吨，从B到到E运运6千吨，千吨，从从A到到F运运4千吨，从千吨，从B到到F运运2千吨，可使总的运费最少千吨，可使总的运费最少变式变式2.已知已知点点P(x，y)满足满足 求求x2y2的最大值和最小值的最大值和最小值 解答：解答：由由例例2题图可观察出题图可观察出 的最小值为原点到直线的最小值为原点到直线xy6的距的距离，则离，则x2y2的最小值为的最小值为18；又原点与；又原点与x8与与xy12的交点的距
9、离最的交点的距离最 远，则远，则x2y2在在(8,4)点取到最大值，最大值为点取到最大值，最大值为80.1. 最优解问题最优解问题 如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最大值或如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最大值或 最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点，到底哪个顶点为最优解，将最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点，到底哪个顶点为最优解，将 目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是特别地，当目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是特别地，当 表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时表示线性目标函数的直线与可行域的某条边
10、平行时(k kk k1)，其最优解可能，其最优解可能 有无数个有无数个2整数解问题整数解问题 若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数 解解(近似解近似解)，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线和距离，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线和距离 为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，也可在用图解法所为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，也可在用图解法所 得到的近似解附近寻找得到的近似解附近寻找【例【例3】 配配制制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂两种药剂
11、，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药品需甲种药品需甲 料料3 mg，乙料，乙料5 mg；配一剂；配一剂B种药品需甲料种药品需甲料5 mg，乙料，乙料4 mg，今有甲料，今有甲料20 mg，乙料，乙料25 mg， (1)若若A、B两种药品至少各配一剂，问共有多少种不同方案；两种药品至少各配一剂，问共有多少种不同方案； (2)若销售若销售A、B两种药剂利润分别为两种药剂利润分别为4元、元、5元，求元，求A、B两种药品至少各配一两种药品至少各配一剂的情况下，利润的最大值剂的情况下，利润的最大值 解答：解答：(1)设设分别配制分别配制A、B两种药品两种药品x剂、剂、y剂剂 由已知条件由已知条件 z4
12、x5y， 当当y1时，时，1x ； 当当y2时，时，1x ； 当当y3时，时，1x . 因此在可行域内满足条件的整点分别是：因此在可行域内满足条件的整点分别是：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(1,3)其有八种不同的方案其有八种不同的方案 (2)可观察出当可观察出当x3，y2时，时，z4x5y取到最大值，即配制取到最大值，即配制A种药品种药品3剂，剂，B种药品种药品2剂，所获得的利润最大，剂，所获得的利润最大，zmax22元元变式变式3. 要要将两种大小不同的钢板截成将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格，每张
13、钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规格类型规格类型 钢板类型钢板类型 ABC第一种第一种211第二种第二种123今需要今需要A、B、C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15、18、27块，问：各截这两块，问：各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 解答：解答：设截设截第一种钢板第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，张，则则 zxy 根据线性约束条件作出可行域根据线性约束条件作出可行域如右图所示，再作直线如右图所示，再作直线l：xy0，过可行域中的
14、点作过可行域中的点作l的平行线，可的平行线，可观察出点观察出点M为最优解为最优解 解方程组解方程组 得得 可观察出可观察出A(3,9)点在可行域的边界点在可行域的边界2xy15上，过上，过(3,9)与与xy0平行的直线平行的直线方程为方程为y9(x3)，即，即xy12，解方程得，解方程得 得得 则则B .则最优整数解一定在区域则最优整数解一定在区域AMB内又内又3x .则当则当x3时，时，y9；当；当x4时，则时，则y8.因此所求最优整数解为因此所求最优整数解为(3,9)，(4,8)，此时所用钢板数最少，此时所用钢板数最少.1线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、线性
15、规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力和资金等资源来完成该任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力和资金等资源来完成该项任务，常见的问题有：项任务，常见的问题有：(1)物资调运问题；物资调运问题；(2)生产安排问题；生产安排问题；(3)下料问题等下料问题等【方法规律】【方法规律】 2解决线性规划的一般方法步骤为：解决线性规划的一般方法步骤为： (1)将实际问题化归为数学问题，写出线性约束条件和线
16、性目标函数；将实际问题化归为数学问题，写出线性约束条件和线性目标函数；(2)由线性约束条件作出可行域；由线性约束条件作出可行域；(3)根据线性目标函数作出直线根据线性目标函数作出直线l；(4)通过作通过作l的平行线找出可行域中距直线的平行线找出可行域中距直线l最近和最远点；最近和最远点；(5)解方程组求出最优解解方程组求出最优解其中其中(2)(3)主要是作图问题，而主要是作图问题，而(1)(4)(5)是图形和数据的具体结合是图形和数据的具体结合.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资
17、甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为为100%和和50%，可能的最大亏损率分别为，可能的最大亏损率分别为30%和和10%，投资人计划投资金额不，投资人计划投资金额不超过超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答题模板】【答题模板】 解答：解答：设设投资人分别用投资人分别用x万元、万元、y万元投资甲、乙两个项目，万元投资甲、乙两
18、个项目，由题意知由题意知目标函数目标函数zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分阴影部分(含边界含边界)即可行域即可行域 作直线作直线l0：x0.5y0，并作平行于直线，并作平行于直线l0的一组直线的一组直线x0.5yz，zR，与，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线点，且与直线x0.5y0的的距离最大这里距离最大这里M点是直线点是直线xy10和和0.3x0.1y1.8的交点解方程组的交点解方程组 得得x4，y6.此时此时z140.567(万元万元) 当当x4，ya6时，时，z取得
19、最大值取得最大值 投资人用投资人用4万元投资甲项目，万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大万元的前提下，使可能的盈利最大 【分析点评】【分析点评】 1. 高考对线性规划的考查着重于选择和填空题，主要考查二元一次不等式组表示高考对线性规划的考查着重于选择和填空题，主要考查二元一次不等式组表示区域，求区域的面积，计算区域中整点的个数，也可能考查求最值和最优解的区域，求区域的面积，计算区域中整点的个数，也可能考查求最值和最优解的 方法，甚至可能求最优整数解解决线性规划问题，典型地体现了数学中数形方法，甚至可能求最优整数解解决线性规划问题，典型地体现了数学中数形结合的思想方法结合的思想方法2解决线性规划的大致过程是：解决线性规划的大致过程是：分析数据化归为线性规划问题；分析数据化归为线性规划问题；作可作可 行行 域；域；作与目标函数平行的直线作与目标函数平行的直线l；过可行域中的点通过作平行线观察最过可行域中的点通过作平行线观察最 优解对应的点优解对应的点M；解方程组求最优解，其中第解方程组求最优解，其中第、步涉及到对斜率的观察步涉及到对斜率的观察 和解方程组和解方程组. 点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册