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1、高高 等等 数数 学学一阶微分方程的 习题课习题课 (一一)一、一一、一阶微分方程求解微分方程求解二、解微分方程二、解微分方程应用用问题解法及应用 第十二章 一、一一、一阶微分方程求解微分方程求解 1.一一阶标准准类型方程求解型方程求解 关关键:辨辨别方程方程类型型,掌握求解步掌握求解步骤2.一一阶非非标准准类型方程求解型方程求解(1)变量代量代换法法 代代换自自变量量代代换因因变量量代代换某某组合式合式(2)积分因子法分因子法 选积分因子分因子,解全微分方程解全微分方程四个四个标准准类型型:可分离可分离变量方程量方程,齐次方程次方程,线性方程性方程,全微分方程全微分方程 例例1.求下列方程的
2、通解求下列方程的通解提示提示:(1)故故为分离分离变量方程量方程:通解通解方程两方程两边同除以同除以 x 即即为齐次方程次方程,令令 y=u x,化化为分分离离变量方程量方程.调换自自变量与因量与因变量的地位量的地位,用用线性方程通解公式求解性方程通解公式求解.化化为方法方法 1 这是一个是一个齐次方程次方程.方法方法 2 化化为微分形式微分形式 故故这是一个全微分方程是一个全微分方程.例2.求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示:(1)令令 u=x y,得得(2)将方程改写将方程改写为(贝努里方程努里方程)(分离分离变量方程量方程)原方程化原方程化为令令 y=u t(齐次方程次方程)令令
3、 t=x 1,则可分离可分离变量方程求解量方程求解化方程化方程为变方程方程为两两边乘乘积分因子分因子用凑微分法得通解用凑微分法得通解:例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数其中函数 f(x),g(x)在在(,+)内内满足以下条件足以下条件:(1)求求F(x)所所满足的一足的一阶微分方程微分方程;(03考研)(2)求出求出F(x)的表达式的表达式.解解:(1)所以所以F(x)满足的一足的一阶线性非性非齐次微分方程次微分方程:(2)由一由一阶线性微分方程解的公式得性微分方程解的公式得于是于是 练习题:(题3只考只考虑方法及步方法及步骤)P326 题2 求以求以为通解的微分方程通解的微分方程.提
4、示提示:消去消去 C 得得P327 题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:提示提示:令令 u=x y,化成可分离化成可分离变量方程量方程:提示提示:这是一是一阶线性方程性方程,其中其中P326 题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)提示提示:可化可化为关于关于 x 的一的一阶线性方程性方程提示提示:为贝努里方程努里方程,令令提示提示:为全微分方程全微分方程,通解通解提示提示:可化可化为贝努里方程努里方程令令微分倒推公式微分倒推公式原方程化原方程化为,即即则故原方程通解故原方程通解提示提示:令令例例4.设河河边点点 O 的正的正对岸岸为点点 A,河河宽 O
5、A=h,一一鸭子从点子从点 A 游向点游向点二、解微分方程二、解微分方程应用用问题利用共性建立微分方程利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件利用个性确定定解条件.为平行直平行直线,且且鸭子游子游动方向始方向始终朝着点朝着点O,提示提示:如如图所示建立坐所示建立坐标系系.设时刻刻t 鸭子位于点子位于点P(x,y),设鸭子子(在静水中在静水中)的游速大小的游速大小为b求求鸭子游子游动的的轨迹方程迹方程.O,水流速度大小水流速度大小为 a,两岸两岸 则关关键问题是正确建立数学模型是正确建立数学模型,要点要点:则鸭子游速子游速 b 为定解条件定解条件由此得微分方程由此得微分方程即即鸭子的子的实际运
6、运动速度速度为(求解求解过程参考程参考P273例例3)(齐次方程次方程)思考思考:能否根据草能否根据草图列方程列方程?练习题:P327 题 5 ,6P327 题5.已知某曲已知某曲线经过点点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐上的截距等于切点的横坐标,求它的方程求它的方程.提示提示:设曲曲线上的上的动点点为 M(x,y),令令 X=0,得截距得截距由由题意知微分方程意知微分方程为即即定解条件定解条件为此点此点处切切线方程方程为它的切线在纵P327 题6.已知某已知某车间的容的容积为的新的新鲜空气空气问每分每分钟应输入多少才能在入多少才能在 30 分分钟后使后使车间空空的含量不超的含量不超过 0
7、.06%?提示提示:设每分每分钟应输入入 t 时刻刻车间空气中含空气中含则在在内内车间内内两端除以两端除以 并令并令与原有空气很快混合均匀后与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出以相同的流量排出)得微分方程得微分方程(假定假定输入的新入的新鲜空气空气 输入入,的改的改变量量为 t=30 时解定解解定解问题因此每分因此每分钟应至少至少输入入 250 新新鲜空气空气.初始条件初始条件得得 k=?作作业 P269 3,7;P276 *4(2);P282 9(2),(4)二阶微分方程的 习题课习题课 (二二)二、微分方程的二、微分方程的应用用 解法及应用 一、两一、两类二二阶微分方程的解法微分方程
8、的解法 第十二章 一、两一、两类二二阶微分方程的解法微分方程的解法 1.可降可降阶微分方程的解法微分方程的解法 降降阶法法令令令令逐次逐次积分求解分求解 2.二二阶线性微分方程的解法性微分方程的解法 常系数情形常系数情形齐次次非非齐次次代数法代数法 欧拉方程欧拉方程练习题:P327 题 2;3(6),(7);4(2)；8解答提示解答提示P327 题2 求以求以为通解的微分方程通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根由通解式可知特征方程的根为故特征方程故特征方程为因此微分方程因此微分方程为P327 题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解提示提示:(6)令令则方程方程变为特征根特
9、征根:齐次方程通解次方程通解:令非令非齐次方程特解次方程特解为代入方程可得代入方程可得思思 考考若若(7)中非中非齐次次项改改为提示提示:原方程通解原方程通解为特解特解设法有何法有何变化化?P327 题4(2)求解求解提示提示:令令则方程方程变为积分得分得利用利用再解再解并利用并利用定常数定常数思考思考若若问题改改为求解求解则求解求解过程中得程中得问开方时正正负号如何确定号如何确定?P327 题8 设函数函数在在 r 0内内满足拉普拉斯方程足拉普拉斯方程二二阶可可导,且且试将方程化将方程化为以以 r 为自自变量的常微分方程量的常微分方程,并求并求 f(r).提示提示:利用利用对称性称性,即(欧
10、拉方程欧拉方程)原方程可化原方程可化为解初解初值问题:则原方程化原方程化为 通解通解:利用初始条件得特解利用初始条件得特解:特征根特征根:例例1.求微分方程求微分方程提示提示:故通解故通解为满足条件足条件解解满足足处连续且可微的解且可微的解.设特解特解:代入方程定代入方程定 A,B,得得得得处的的衔接条件可知接条件可知,解解满足足故所求解故所求解为其通解其通解:定解定解问题的解的解:例例2.且且满足方程足方程提示提示:则问题化化为解初解初值问题:最后求得最后求得思考思考:设提示提示:对积分分换元元,则有有解初解初值问题:答案答案:的解的解.例例3.设函数函数内具有内具有连续二二阶导(1)试将将
11、 xx(y)所所满足的微分方程足的微分方程 变换为 yy(x)所所满足的微分方程足的微分方程;(2)求求变换后的微分方程后的微分方程满足初始条件足初始条件 数数,且且解解:上式两端上式两端对 x 求求导,得得:(1)由反函数的由反函数的导数公式知数公式知(03考研考研)代入原微分方程得代入原微分方程得 (2)方程方程的的对应齐次方程的通解次方程的通解为 设的特解的特解为 代入得 A0,从而得从而得的通解的通解:由初始条件由初始条件 得得故所求初故所求初值问题的解的解为 二、微分方程的二、微分方程的应用用 1.建立数学模型建立数学模型 列微分方程列微分方程问题建立微分方程建立微分方程(共性共性)
12、利用物理利用物理规律律利用几何关系利用几何关系确定定解条件确定定解条件(个性个性)初始条件初始条件边界条件界条件可能可能还要要衔接条件接条件2.解微分方程解微分方程问题3.分析解所包含的分析解所包含的实际意意义 例例4.解解:欲向宇宙欲向宇宙发射一射一颗人造人造卫星星,为使其使其摆脱地球脱地球 引力引力,初始速度初始速度应不小于第二宇宙速度不小于第二宇宙速度,试计算此速度算此速度.设人造地球人造地球卫星星质量量为 m,地球地球质量量为 M,卫星星的的质心到地心的距离心到地心的距离为 h,由牛由牛顿第二定律得第二定律得:(G 为引力系数引力系数)则有初有初值问题:又又设卫星的初速度星的初速度代入
13、原方程代入原方程,得得两两边积分得分得利用初始条件利用初始条件,得得因此因此注意到注意到 为使使因因为当当h=R(在地面上在地面上)时,引力引力=重力重力,即即代入代入即得即得这说明第二宇宙速度明第二宇宙速度为 求求质点的运点的运动规例例5.上的力上的力 F 所作的功与所作的功与经过的的时间 t 成正比成正比(比例系数比例系数提示提示:两两边对 s 求求导得得:牛牛顿第二定律第二定律为 k),开方如何定开方如何定+?已知一已知一质量量为 m 的的质点作直点作直线运运动,作用在作用在质点点例6.一一链条挂在一条挂在一钉子上子上,启启动时一端离一端离钉子子 8 m,另一端离另一端离钉子子 12 m
14、,如不如不计钉子子对链条所条所产生的摩擦生的摩擦 力力,求求链条滑下来所需的条滑下来所需的时间.解解:建立坐建立坐标系如系如图.设在在时刻刻 t,链条条较长一段一段下垂下垂 x m,又又设链条条线密度密度为常数常数此时链条受力由牛由牛顿第二定律第二定律,得得由初始条件得由初始条件得故定解故定解问题的解的解为解得解得当当 x=20 m 时,(s)微分方程通解微分方程通解:思考思考:若摩擦力若摩擦力为链条条 1 m 长的重量的重量,定解定解问题的的数学模型是什么数学模型是什么?摩擦力摩擦力为链条条 1 m 长的重量的重量 时的数学模型的数学模型为不考不考虑摩擦力摩擦力时的数学模型的数学模型为此此时
15、链条滑下来条滑下来所需所需时间为练习题从船上向海中沉放某种探从船上向海中沉放某种探测仪器器,按探按探测要求要求,需确定需确定仪器的下沉深度器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之之间的函的函数关系数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉在下沉过程中程中还受到阻力和浮力作用受到阻力和浮力作用,设仪器器质量量为 m,体体积为B,海水比重海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正器所受阻力与下沉速度成正 比比,比例系数比例系数为 k(k 0),试建立建立 y 与与 v 所所满足的微分足的微分方程方程,并求出函数关系式并求出函数关系式 y=y(v
16、).(95考研考研)提示提示:建立坐建立坐标系如系如图.质量量 m体体积 B由牛由牛顿第二定律第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意注意:初始条件初始条件为用分离用分离变量法解上述初量法解上述初值问题得得质量量 m体体积 B 作作业 P317 5 ,6 ;P327 3(8);4(2),(4)8;*11(1)得得有特有特而而对应齐次方程有解次方程有解微分方程的通解微分方程的通解.解解:故所故所给二二阶非非齐次方程次方程为方程化方程化为1.设二二阶非非齐次方程次方程一一阶线性非性非齐次方程次方程故故再再积分得通解分得通解复复习:一一阶线性微分方程通解公式性微分方程通解公式 2.(1)验证函数函数满足微分方程足微分方程(2)利用利用(1)的的结果求果求幂级数数的和的和.解解:(1)(02考研考研)所以所以(2)由由(1)的的结果可知所果可知所给级数的和函数数的和函数满足足其特征方程其特征方程:特征根特征根:齐次方程通解次方程通解为设非非齐次方程特解次方程特解为代入原方程得代入原方程得故非故非齐次方程通解次方程通解为代入初始条件可得代入初始条件可得故所求故所求级数的和数的和