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1、高高 等等 数数 学学一阶微分方程的 习题课习题课 (一一)一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第十二章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握求解步骤掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式(2)积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子,解全微分方程解全微分方程四个标准类型四个标准类型:可分离变量方程可分离变量方程,齐次方程齐次方程
2、,线性方程线性方程,全微分方程全微分方程 例例1.求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示:(1)故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程,令令 y=u x,化为分化为分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解.化为化为方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程.方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程.例2.求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示:(1)令令 u=x y,得得(2)将方程改写为将方程改写为(贝努
3、里方程贝努里方程)(分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为令令 y=u t(齐次方程齐次方程)令令 t=x 1,则则可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为变方程为变方程为两边乘积分因子两边乘积分因子用凑微分法得通解用凑微分法得通解:例3.设设F(x)f(x)g(x),其中函数其中函数 f(x),g(x)在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:(1)求求F(x)所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出求出F(x)的表达式的表达式.解解:(1)所以所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得
4、由一阶线性微分方程解的公式得于是于是 练习题练习题:(题题3只考虑方法及步骤只考虑方法及步骤)P326 题题2 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:消去消去 C 得得P327 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:提示提示:令令 u=x y,化成可分离变量方程化成可分离变量方程:提示提示:这是一阶线性方程这是一阶线性方程,其中其中P326 题题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)提示提示:可化为可化为关于关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程提示提示:为贝努里方程为贝努里方程,令令提示提示:为全微分方程为全微分方程,通解通解提示提示:可
5、化为贝努里方程可化为贝努里方程令令微分倒推公式微分倒推公式原方程化为原方程化为,即即则则故原方程通解故原方程通解提示提示:令令例例4.设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A,河宽河宽 OA=h,一鸭子从点一鸭子从点 A 游向点游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件利用个性确定定解条件.为平行直线为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点且鸭子游动方向始终朝着点O,提示提示:如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点P(x,y),设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)的游速大小为的游速大小为
6、b求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为水流速度大小为 a,两岸两岸 则则关键问题是正确建立数学模型关键问题是正确建立数学模型,要点要点:则鸭子游速则鸭子游速 b 为为定解条件定解条件由此得微分方程由此得微分方程即即鸭子的实际运动速度为鸭子的实际运动速度为(求解过程参考求解过程参考P273例例3)(齐次方程齐次方程)思考思考:能否根据草图列方程能否根据草图列方程?练习题练习题:P327 题题 5 ,6P327 题题5.已知某曲线经过点已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程求它的方程.提示提示:设曲线上的动点为设曲线上的
7、动点为 M(x,y),令令 X=0,得截距得截距由题意知微分方程为由题意知微分方程为即即定解条件为定解条件为此点处切线方程为此点处切线方程为它的切线在纵P327 题题6.已知某车间的容积为已知某车间的容积为的新鲜空气的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空分钟后使车间空的含量不超过的含量不超过 0.06%?提示提示:设每分钟应输入设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含时刻车间空气中含则在则在内车间内内车间内两端除以两端除以 并令并令与原有空气很快混合均匀后与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出以相同的流量排出)得微分方程得微分方程(假定输入的新鲜空气假
8、定输入的新鲜空气 输入输入,的改变量为的改变量为 t=30 时时解定解问题解定解问题因此每分钟应至少输入因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气新鲜空气.初始条件初始条件得得 k=?作业作业 P269 3,7;P276 *4(2);P282 9(2),(4)二阶微分方程的 习题课习题课 (二二)二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法令令令令逐次积分求解逐次积分求解 2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解
9、法 常系数情形常系数情形齐次齐次非齐次非齐次代数法代数法 欧拉方程欧拉方程练习题练习题:P327 题 2;3(6),(7);4(2)；8解答提示解答提示P327 题题2 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为P327 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解提示提示:(6)令令则方程变为则方程变为特征根特征根:齐次方程通解齐次方程通解:令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为代入方程可得代入方程可得思思 考考若若(7)中非齐次项改为中非齐次项改为提示提示:原方程通解为原方程
10、通解为特解设法有何变化特解设法有何变化?P327 题题4(2)求解求解提示提示:令令则方程变为则方程变为积分得积分得利用利用再解再解并利用并利用定常数定常数思考思考若问题改为求解若问题改为求解则求解过程中得则求解过程中得问开方时正负号如何确定正负号如何确定?P327 题题8 设函数设函数在在 r 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程二阶可导二阶可导,且且试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程,并求并求 f(r).提示提示:利用对称性利用对称性,即(欧拉方程欧拉方程)原方程可化为原方程可化为解初值问题解初值问题:则原方程化为则原方程化为 通解通解:利用初始条
11、件得特解利用初始条件得特解:特征根特征根:例例1.求微分方程求微分方程提示提示:故通解为故通解为满足条件满足条件解满足解满足处连续且可微的解处连续且可微的解.设特解设特解:代入方程定代入方程定 A,B,得得得得处的衔接条件可知处的衔接条件可知,解满足解满足故所求解为故所求解为其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:例例2.且满足方程且满足方程提示提示:则则问题化为解初值问题问题化为解初值问题:最后求得最后求得思考思考:设设提示提示:对积分换元对积分换元,则有则有解初值问题解初值问题:答案答案:的解的解.例例3.设函数设函数内具有连续二阶导内具有连续二阶导(1)试将试将 xx(y)所满足的微分方
12、程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x)所满足的微分方程所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 数数,且且解解:上式两端对上式两端对 x 求导求导,得得:(1)由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(03考研考研)代入原微分方程得代入原微分方程得 (2)方程方程的对应齐次方程的通解为的对应齐次方程的通解为 设设的特解为的特解为 代入得 A0,从而得从而得的通解的通解:由初始条件由初始条件 得得故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1.建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题建立微分方程建
13、立微分方程(共性共性)利用物理规律利用物理规律利用几何关系利用几何关系确定定解条件确定定解条件(个性个性)初始条件初始条件边界条件边界条件可能还要衔接条件可能还要衔接条件2.解微分方程问题解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 例例4.解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引力,初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度试计算此速度.设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m,地球质量为地球质量为 M,卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得:
14、(G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题:又设卫星的初速度又设卫星的初速度代入原方程代入原方程,得得两边积分得两边积分得利用初始条件利用初始条件,得得因此因此注意到注意到 为使为使因为当因为当h=R(在地面上在地面上)时时,引力引力=重力重力,即即代入代入即得即得这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 求质点的运动规求质点的运动规例例5.上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比(比例系数比例系数提示提示:两边对两边对 s 求导得求导得:牛顿第二定律牛顿第二定律为为 k),开方如何定开方如何定+?已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质
15、点作直线运动,作用在质点作用在质点例6.一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子启动时一端离钉子 8 m,另一端离钉子另一端离钉子 12 m,如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力,求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.设在时刻设在时刻 t,链条较长一段链条较长一段下垂下垂 x m,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律由牛顿第二定律,得得由初始条件得由初始条件得故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得当当 x=20 m 时时,(s)微分方程通解微分方程通解:思考思考:若摩擦力为链条若
16、摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量,定解问题的定解问题的数学模型是什么数学模型是什么?摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 时的数学模型为时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测按探测要求要求,需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函之间的函数关系数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力
17、和浮力作用,设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B,海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比,比例系数为比例系数为 k(k 0),试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程,并求出函数关系式并求出函数关系式 y=y(v).(95考研考研)提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.质量质量 m体积体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意注意:初始条件为初始条件为用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得质量质量 m体积体积 B 作业作业 P317 5 ,6 ;P327 3(8);4(2),(4
18、)8;*11(1)得得有特有特而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解微分方程的通解微分方程的通解.解解:故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为方程化为方程化为1.设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程故故再积分得通解再积分得通解复习复习:一阶线性微分方程通解公式一阶线性微分方程通解公式 2.(1)验证函数验证函数满足微分方程满足微分方程(2)利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数的和的和.解解:(1)(02考研考研)所以所以(2)由由(1)的结果可知所给级数的和函数满足的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程其特征方程:特征根特征根:齐次方程通解为齐次方程通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入原方程得代入原方程得故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为代入初始条件可得代入初始条件可得故所求级数的和故所求级数的和