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1、黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校3/2/2023黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校教学目标教学目标 1 1理解等差中项的概念，等差数列通项公理解等差中项的概念，等差数列通项公式的代数特征和几何特征以及等差数列的性质式的代数特征和几何特征以及等差数列的性质 2 2能运用等差中项的性质解题，能运用等能运用等差中项的性质解题，能运用等差数列通项公式的特征和等差数列的性质解题。差数列通项公式的特征和等差数列的性质解题。3 3培养学生的联想能力，使学生养成挖掘培养学生的联想能力，使学生养成挖掘知识内在联系的习惯知识内在联系的习惯教学教学重点重点 等差中项概念的理解与应用等差中项概念的理解与
2、应用教学教学难点难点 灵活运用等差数列的定义及性质灵活运用等差数列的定义及性质解决一些相关问题解决一些相关问题黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校一、复习提问：一、复习提问：1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即即anan-1=d，（，（n2，nN+），），这个数列就这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母差（常用字母“d”表示）表示）黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校2等差数列的通项公式：等差数列的通
3、项公式：an=a1+(n-1)d(an=am+(n-m)d )3有几种方法可以计算公差有几种方法可以计算公差d黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校二、讲解新课：二、讲解新课：问题问题：如果在：如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成成等差数列数列，那么等差数列数列，那么A应满足什么条件？应满足什么条件？由定义得由定义得A-a=b-A，反之，若反之，若，则，则A-a=b-A也就是说，也就是说，是是a,A,b成等差数列的成等差数列的充要条件充要条件即：即：黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校定义定义：若：若a，A，b成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b
4、的的等差中项等差中项。不难发现：在一个等差数列中，从第不难发现：在一个等差数列中，从第2项起，每一项项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。等差中项。如数列：如数列：1，3，5，7，9，11，13中中5是是3和和7的等差中项，也是的等差中项，也是1和和9的等差中项，的等差中项，9是是7和和11的等差中项，也是的等差中项，也是5和和13的等差中项。的等差中项。看来：看来：黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校等差数列的等差数列的性质性质：思考思考：黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校三、例题讲解三、例题讲解例例1.在
5、等差数列在等差数列an中中,若若a1+a6=9,a4=7,求求a3,a9分析：分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手一个双项关系式，想到从这双项关系式入手黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校解：解：an是等差数列是等差数列a1+a6=
6、a4+a3=9d=a4a3=72=5a3=9a4=97=2a3=2,a9=32a9=a4+(94)d=7+55=32黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校例例2.等差数列等差数列an中，中，a1+a3+a5=12,且且a1a3a5=80.求通项求通项an分析分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题问题,而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）必须消元（项）,因此，首先做转化因此，首先做转化-黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校 an=10+3(n1)=3n13或或an=23(n1
7、)=3n+5黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校例例3：(一起阅读教材例一起阅读教材例4)4)分析：分析：由等差数列的定义，要判定由等差数列的定义，要判定 an n 是不是等差数列是不是等差数列,只要看只要看an n-an-1n-1(n2(n2)是不是一个与是不是一个与n n无关的常数就行了无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项解：取数列中的任意相邻两项an n-1-1与与an n则有则有 an n-an-1n-1=(pn+q)-p(n-1)+q=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+qpn+q-(pn-p+q)=p,)=p,它是一个与它是一个与n n无关的常数，所以无
8、关的常数，所以 an n 是等差数列，且公差是是等差数列，且公差是p p，在通项公式中令在通项公式中令n n=1=1，得，得a1 1=p+qp+q.所以数列所以数列 an n 是一个以是一个以p p+q q为首项，为首项，p p为公差的等差数列为公差的等差数列.由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an n=a1 1+(n-1)d,+(n-1)d,可得可得an n=dn+(=dn+(a1 1-d).-d).令令p=p=d,qd,q=a1 1-d,-d,则有则有an n=pn+qpn+q.所以等差数列的通项公式可表示为所以等差数列的通项公式可表示为an n=pn+qpn+q的形式的形式,其中其
9、中p p，q q是常数是常数.而由例而由例4 4可以看出，通项公式为可以看出，通项公式为an n=pn+q(p,qpn+q(p,q为常数为常数)的数列是等差数列的数列是等差数列.综上所述，等差数列的性质为：综上所述，等差数列的性质为：数列的通项公式为数列的通项公式为an n=pn+q(pn+q(p p、q q为常数为常数)数列数列 an n 是等差数列是等差数列黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校即：通项公式为即：通项公式为an n=pn+q(pn+q(p p、q q为常数为常数)，是数列，是数列 an n 为等差数列的充要条件当为等差数列的充要条件当p p0(0(即公差即公差d d00时
10、时)，an n是关于是关于n n的一次式，此时的一次式，此时(n n，an n)在一在一次函数次函数y=y=px+qpx+q的图象上，所以，公差不为的图象上，所以，公差不为0 0的等的等差数列的图象是直线差数列的图象是直线y=y=px+qpx+q上的均匀排开的一群上的均匀排开的一群孤立点孤立点例如，首项是例如，首项是l l，公差是，公差是2 2的无穷等差数列的通项公的无穷等差数列的通项公式为式为an n=2n-1,=2n-1,相应的图象是直线相应的图象是直线y=2x-1y=2x-1上的均匀上的均匀排开的无穷多个孤立点排开的无穷多个孤立点(见教材图见教材图3-3)3-3)由图可知，由图可知，当公
11、差当公差d d00时，数列是一个递增数列，时，数列是一个递增数列，当公差当公差d d00时，数列是一个递减数列时，数列是一个递减数列思考：思考：an n是关于是关于n n的一次式，是数列的一次式，是数列 an n 为等差数列的什么为等差数列的什么条件条件?解析：由例解析：由例4 4可知，如果可知，如果an是关于是关于n n的一次式，即的一次式，即 an n=pn+qpn+q(p p、q q为常数为常数,p,p0)，那么数列，那么数列 an n 是等差数列，但并不是等差数列，但并不是所有的等差数列的通项公式都可以表示是所有的等差数列的通项公式都可以表示为关于为关于n n的一次式当的一次式当d=0
12、d=0时，数列时，数列 an n 是一个常数数列：是一个常数数列：a1 1,a1 1,a1,.其通项公式为其通项公式为an n=a1 1不是关于不是关于n n的一次式，的一次式，所以所以anan是关于是关于n n的一次式是数列的一次式是数列 an n 为等差数列的充分不为等差数列的充分不必要条件必要条件黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校四四.练习练习1.1.在等差数列在等差数列 an n 中中,已知已知a3 3a4 4a5 5a6 6a7 7450,450,求求a2 2a8 8及前及前9 9项和项和S S9 9.2.已知已知a、b、c的倒数成等差数列，的倒数成等差数列，求证：求证：的倒数
13、也成等差数列的倒数也成等差数列.黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校1.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a3a4a5a6a7450,求求a2a8及前及前9项和项和S9.解：由等差中项公式：解：由等差中项公式：由条件由条件:a3a4a5a6a7450,得得:5a5450,a590,a2a82a5180.S9a1a2a3a4a5a6a7a8a99a5810.(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5a3a72a5，a4a62a5黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校2.已知已知a、b、c的倒数成等差数列，的倒数成等差数列，求证：求证：的倒数也成等差数列的倒数也
14、成等差数列.分析分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数用三个数x、y、z成等差数列的充要条件：成等差数列的充要条件：x+z=2y黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校证明：因为证明：因为a、b、c的倒数成等差数列的倒数成等差数列即即2ac=b(a+c)的倒数也成等差数列的倒数也成等差数列.黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校小结：小结：3.数列的通项公式为(p、q为常数)数列是等差数列 4.灵活应用等差数列的定义和性质解题黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校书面作业书面作业课堂练习课堂练习练习练习4习题习题3.27.9补充题：在补充题：在1 0001 000，2 0002 000内，能被内，能被3 3整除且整除且被被4 4除余除余l l的整数共有多少个的整数共有多少个?83个个