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1、1 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160 分，考试时间120 分钟）参考公式：棱锥的体积13VSh，其中S为底面积，h为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计 70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（2012 年江苏省5 分）已知集合124A，246B，则AB【答案】1,2,4,6。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得1,2,4,6AB。2（2012 年江苏省5 分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334:，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50 的样本，则应从高二年级抽取 名学生【答案】15。【考点】分
2、层抽样。【解析】分层抽 样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由350=15334知 应从高二年级抽取15 名学生。3（2012 年江苏省5 分）设abR，117ii12iab（i 为虚数单位），则ab的值为【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由117ii12iab得117i12i117i1115i14i=53i12i12i12i14ab，所以=5=3ab，=8ab。2 4（2012 年江苏省5 分）下图是一个
3、算法流程图，则输出的k 的值是【答案】5。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k 2k5k4循环前0 0 第一圈是1 0 第二圈是2 2 第三圈是3 2 第四圈是4 0 第五圈是5 4 第六圈否输出 5 最终输出结果k=5。5（2012 年江苏省5 分）函数xxf6log21)(的定义域为【答案】06，。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得12660006112 log0log6=620 x x xxxx。6（2012 年江苏省5 分）现有 10 个数，它们能
4、构成一个以1 为首项，3为公比的等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是【答案】35。3【考点】等比数列，概率。【解析】以 1 为首项，3为公比的等比数列的10 个数为 1，3，9，-27，其中有 5 个负数，1 个正数 1 计 6 个数小于 8，从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于8 的概率是63=105。7（2012 年江苏省5 分）如图，在长方体1111ABCDAB C D中，3cmABAD，12cmAA，则四棱锥11ABB D D的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面ABC D是正方形，ABD中=32BDcm，BD边
5、上的高是322cm（它也是11ABB D D中11BB D D上的高）。四棱锥11ABB D D的体积为133222=632。由8（2012 年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由22214xymm得22=4=4ambmcmm，。24=5cmmeam，即244=0mm，解得=2m。9（2012 年江苏省5 分）如图，在矩形ABC D中，22ABBC，点E为BC的中点，点F在边C D上，若2ABAF，则AEBF的值是 4【答案】2。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角
6、函数定义。【解析】由2ABAF，得cos2ABAFFAB，由矩形的性质，得cos=AFFABDF。2AB，22DF，1DF。21CF。记AEBF和之间的夹角为,AEBFBC，则。又2BC，点 E为 BC的中点，1BE。=cos=cos=coscossinsinAEBFAEBFAEBFAEBF=coscossinsin=122212AEBFAEBFBE BCAB CF。本题也可建立以,ABAD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。10（2012 年江苏省5 分）设()fx是定义在R上且周期为2 的函数，在区间11，上，0111()201xxaxfxbxx，其中abR，若1322ff，则3ab
7、的值为【答案】10。【考点】周期函数的性质。【解析】()f x是定义在R上且周期为2 的函数，11ff，即21=2ba。5 又311=1222ffa，1322ff，141=23ba。联立，解得，=2.=4ab。3=10ab。11（2012 年江苏省5分）设为锐角，若4cos65，则)122sin(a的值为【答案】17250。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】为锐角，即02，2=66263y，求yx的取值范围。作出（xy，）所在平面区域（如图）。求出=xye的切线的斜率e，设过切点00Pxy，的切线为=0yexm m，则00000=yexmmexxx，要使它最小，须=0m
8、。yx的最小值在00Pxy，处，为e。此时，点00Pxy，在=xye上,A B之间。当（xy，）对应点C时，=45=205=7=7=534=2012yxyxyyxyxyxx，yx的最大值在C处，为 7。yx的取值范围为 7e，即ba的取值范围是 7e，。二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（2012 年江苏省14 分）在ABC中，已知3ABACBABC（1）求证：tan3 tanBA；（2）若5cos5C，求 A 的值【答 案】解：（1）3ABACBABC，cos=3cosABACABA BCB，即c o s=3c o
9、sA CAB CB。由正弦定理，得=sinsinACBCBA，sincos=3sincosBAAB。又 0 AB B，。sinsin=3coscosBABA即tan3 tanBA。（2）5cos05C C，tan=1A。=4A。【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将3ABACBABC表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。（2）由5cos5C，可求tan C，由三角形三角关系，得到tanAB，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A 的值。16（2012 年江苏省14 分）如图，在直三棱柱111ABCA B C中，1
10、111A BAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11B C的中点求证：（1）平面AD E平面11BCCB；（2）直线1/A F平面ADE【答案】证明：（1）111ABCA B C是直三棱柱，1CC平面ABC。又AD平面ABC，1CCAD。又1ADDECCDE，平面111BCCBCCDEE，AD平面11BCCB。（lb ylfx）又AD平面ADE，平面AD E平面11BCCB。（2）1111A BA C，F为11B C的中点，111A FB C。又1CC平面111A B C，且1A F平面111A B C，11CCA F。又111CCB C，平面11BCCB
11、，1111CCB CC，1A F平面111A B C。9 由（1）知，AD平面11BCCB，1A FAD。又AD平面1,ADEA F平面ADE，直线1/A F平面ADE【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】（1）要证平面ADE平面11BCCB，只要证平面ADE上的AD平面11BCCB即可。它可由已知111ABCA B C是直三棱柱和ADDE证得。（2）要证直线1/A F平面ADE，只要证1A F平面ADE上的AD即可。17（2012 年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程221(
12、1)(0)20ykxkxk表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在221(1)(0)20ykxkxk中，令0y，得221(1)=020kxkx。由实际意义和题设条件知00 x k，。2202020=10112kxkkk，当且仅当=1k时取等号。炮的最大射程是10 千米。（2）0a，炮弹可以击中目标等价于存在0k，使221(1)=3.220kaka成立，即关于k的方程2222064=0a kaka有正根。
13、10 由222=204640aaa得6a。此时，22222020464=02aaaaka（不考虑另一根）。当a不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】（1）求炮的最大射程即求221(1)(0)20ykxkxk与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。18（2012 年江苏省16 分）若函数)(xfy在0 xx处取得极大值或极小值，则称0 x为函数)(xfy的极值点。已知ab，是实数，1 和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数()g x的导函数(
14、)()2gxfx，求()g x的极值点；（3）设()()h xffxc，其中22c，求函数()yh x的零点个数【答案】解：（1）由32()fxxaxbx，得2()32fxxaxb。1 和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点，(1)32=0fab，(1)32=0fab，解得=3ab0，。（2）由（1）得，3()3fxxx，23()()2=32=12gxfxxxxx，解得123=1=2xxx，。当2x 时，()0gx；当21 x，=2x是()g x的极值点。当21 x 时，()0gx，=1x不是()g x的极值点。()g x的极值点是 2。（3）令()=fxt，则()()h xftc。先讨
15、论关于x的方程()=fxd根的情况：2,2d当=2d时，由（2）可知，()=2fx的两个不同的根为I 和一 2，注意11 到()f x是奇函数，()=2fx的两个不同的根为一和2。当2d，(1)=(2)=20fdfdd，于 是()fx是 单 调 增 函 数，从 而()(2)=2fx f。此时()=fxd在2，无实根。当1 2x，时()0f x，于是()fx是单调增函数。又(1)0fd，=()yfxd的图象不间断，()=fxd在（1,2）内有唯一实根。同理，()=fxd在（一 2，一 I）内有唯一实根。当1 1x，时，()0f x，(1)0fd，=()yfxd的图象不间断，()=fxd在（一 1
16、，1）内有唯一实根。因此，当=2d时，()=fxd有两个不同的根12xx，满足12=1=2xx，；当2d 时()=fxd有三个不同的根315xxx，满足2=3,4,5ixi，。现考虑函数()yh x的零点：(i）当=2c时，()=f tc有两个根12tt，满足12=2tt1，。而1()=fxt有三个不同的根，2()=fxt有两个不同的根，故()yh x有 5 个零点。(11）当2c 时，()=ftc有 三 个 不 同 的 根345ttt，满 足2=3,4,5iti，。而=3,()4,=5ifxti有三个不同的根，故()yh x有 9 个零点。12 综上所述，当=2c时，函数()yh x有 5
17、个零点；当2c 时，函数()yh x有 9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】（1）求出)(xfy的导数，根据1 和1是函数)(xfy的两个极值点代入列方程组求解即可。（2）由（1）得，3()3fxxx，求出()gx，令()=0gx，求解讨论即可。（3）比较复杂，先分=2d和2d y，。2221221111211221221=0=22=1xmmymymyymmyx。22222222111112221122=10=122mm mmmAFxymyymmm。同理，2222211=2mmmBFm。（i）由得，2122212mmAFBFm。解22216=22mmm得2m=2。注意到0
18、m，=2m。直线1AF的斜率为12=2m。（ii）证明：1AF2BF，211BFPBPFAF，即2121111111BFPBPFBFAFPBPFAFPFAF。11112=AFPFBFAFBF。14 由点B在椭圆上知，1222BFBF，11212=22AFPFBFAFBF。同理。22112=22BFPFAFAFBF。12212211212122+=222222AFBFAF BFPFPFBFAFAFBFAFBFAFBF由得，212221=2mAFBFm，221=2mAFBFm，1223+=22=222PFPF。12PFPF是定值。【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】（1）根据椭
19、圆的性质和已知(1)e，和32e，都在椭圆上列式求解。（2）根据已知条件1262AFBF，用待定系数法求解。20（2012 年江苏省16 分）已知各项均为正数的两个数列na和nb满足：221nnnnnbabaa，*Nn，（1）设nnnabb11，*Nn，求证：数列2nnba是等差数列；（2）设nnnabb21，*Nn，且na是等比数列，求1a和1b的值【答案】解：（1）nnnabb11，11222=1nnnnnnnnabbaabba。2111nnnnbbaa。15 222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa。数列2nnba是以 1 为公差的等差数列。（2）00nnab，22222
20、nnnnnnababab。12212nnnnnab知0q，下面用反证法证明=1q若1,q 则212=2aaa时，112nnaa q，与（）矛盾。若01,q aq，当11logqn a时，111nnaa q，与（）矛盾。综上所述，=1q。1*naanN，112a，于是123b b b。又由221nnnnnbabaa即11221nnabaab，得22111212=1naaaba。123bbb，中至少有两项相同，与123b b b矛盾。1=2a。2222222=221nb。12=2ab。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。16【解析】（1）根据题设221nnnnnbabaa和n
21、nnabb11，求出2111nnnnbbaa，从而证明22111nnnnbbaa而得证。（2）根据基本不等式得到12212nnnnnab aab，用反证法证明等比数列na的公比=1q。从而得到1*naanN的结论，再由1122=nnnnbbbaa知nb是公比是12a的等比数列。最后用反证法求出12=2ab。数学(附加题)21选做题 本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-1：几何证明选讲（2012 年江苏省10 分）如图，AB是圆O的直径，,D E为圆上位于AB异侧的两点，连结B
22、D并延长至点C，使BDD C，连结,ACAE D E求证：EC【答案】证明：连接AD。AB是圆O的直径，090ADB（直径所对的圆周角是直角）。ADBD（垂直的定义）。又BDD C，AD是线段BC的中垂线（线段的中垂线定义）。ABAC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。BC（等腰三角形等边对等角的性质）。又,DE为圆上位于AB异侧的两点，17 BE（同弧所对圆周角相等）。EC（等量代换）。【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。【解析】要证EC，就得找一个中间量代换，一方面考虑到BE和是同弧所对圆周角，相等；另一方面由AB是圆O的直径和BDD C可知AD是线段B
23、C的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到BC。从而得证。本题还可连接O D，利用三角形中位线来求证BC。B 选修 4-2：矩阵与变换 （2012 年江苏省10 分）已知矩阵A的逆矩阵113441122A，求矩阵A的特征值【答案】解：1AA=E，11A=A。113441122A，112 32 1A=A。矩阵A的特征多项式为22 3=342 1 f。令=0f，解得矩阵A的特征值12=1=4，。【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。【解析】由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值。C选修 4-4：坐标系与参数方程（2012 年江苏省1
24、0 分）在极坐标中，已知圆C经过点24P，圆心为直线3sin32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程【答案】解：圆C圆心为直线3sin32与极轴的交点，在3sin32中令=0，得1。圆C的圆心坐标为（1，0）。18 圆C经过点24P，圆C的半径为2221212cos=14PC。圆C经过极点。圆C的极坐标方程为=2 cos。【考点】直线和圆的极坐标方程。【解析】根据圆C圆心为直线3sin32与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C经过点24P，求出圆C的半径。从而得到圆C的极坐标方程。D选修 4-5：不等式选讲（2012 年江苏省10分）已知实数x，y 满足：11|2|36xyxy，求证：5|18y【答
25、案】证明：3|=|3|=|22|22yyxyxyxyxy，由题设11|2|36xyxy，1153|=366y。5|18y。【考点】绝对值不等式的基本知识。【解析】根据绝对值不等式的性质求证。【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20分请在答题 卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（2012 年江苏省10 分）设为随机变量，从棱长为1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1（1）求概率(0)P；（2）求的分布列，并求其数学期望()E【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8
26、 个顶点中的一个，过任意1 个顶点恰有 3 条棱，共有238C对相交棱。232128834(0)=6611CPC。（2）若两条棱平行，则它们的距离为1 或2，其中距离为2的共有 6对，19 212661(2)=6611PC，416(1)=1(0)(2)=1=111111PPP。随机变量的分布列是：0 1 2()P41 161 1111其数学期望6162()=12=111111E。【考点】概率分布、数学期望等基础知识。【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P。（2）求出两条棱平行且距离为2的共有 6 对，即可求出(2)P，从而求出(1)P（两条棱平行且距离为1和
27、两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。23（2012 年江苏省10 分）设集合12nPn，*Nn记()fn为同时满足下列条件的集合A的个数：nAP；若xA，则2xA；若ACxnp，则ACxnp2。（1）求(4)f；（2）求()f n的解析式（用n表示）【答案】解：（1）当=4n时，符合条件的集合A为：21,42,31,3,4，(4)f=4。(2）任取偶数nxP，将x除以 2，若商仍为偶数再除以 2，经过k次以后商必为奇数此时记商为m。于是=2kxm，其中m为奇数*kN。由条件知若mA则xAk为偶数；若mA，则xAk为奇数。于是x是否属于A，由m是否属于A确定。设nQ是nP中所有奇数的集合因此()f n等于nQ的子集个数。当n为偶数或奇数）时，nP中奇数的个数是2n（12n）。20 2122()=2nnnfnn为 偶 数为 奇 数。【考点】集合的概念和运算，计数原理。【解析】（1）找出=4n时，符合条件的集合个数即可。（2）由题设，根据计数原理进行求解。