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1、绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 I 试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求L 本试卷共4 页，包含填空题（第 1 题第 14题）、解 答 题（第 15题第 20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3,请认真核对监考员在答题卡上.所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照唔顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请
2、注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。参考公式:锥体的体积公式:V n t S h,其中S 是锥体的底面积，h 是高。3一、填空题：本大题共14小题，每小题5 分，共 70分。请把答案填写在答题卡相应的位置1、设集合 A=-1,3,B=a+2,a2+4,AnB=3,则实数 a=.解析考查集合的运算推理。3eB,a+2=3,a=l.2、设复数z 满足z（2-3i）=6+4i（其中i 为虚数单位），则 z 的模为 .解析考查复数运算、模的性质。z（2-3i）=2（3+2 i）,2-3i与 3+2 i 的模相
3、等，z 的模为2。3、盒子中有大小相同的3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概 率 是 .解析 考查古典概型知识。2 o g f 赢.4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取 0.05.了 w o 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质.r 量的重要指标），所得数据都在区间 5,40 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有上根在棉花纤维的长度小于20mm0 解析 考查频率分布直方图的知识。1 0 0 X (0.0 0 1+0.0 0 1+0,0 0 4)X 5=3 05、设函数f(x)=x(ex+ae x)(x G R)是偶函数，则实数a=
4、解析 考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e*+ae 为奇函数，由g(0)=0,得。=一1。6、在平面直角坐标系x Oy中，双曲线直一一匕=1上一点M,点M的横坐标是3,则M到双4 1 2曲线右焦点的距离是 解析 考查双曲线的定义。=e =-=2 d为点M到右准线x =l的距离，d=2,MF=4。d 27、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 解析)考查流程图理解。1 +2 +2?+2,=3 1 0)的图像在点(砥。卜?)处的切线与x轴 交 点 的 横 坐 标 为 为 正 整 数，。产1 6,则。7也升。后 解析 考查函数的切线方程、数列的通项。在点(四寸)处的切线方程为：一62=2久(无一4
5、),当=0忖，解得x =?,所以 4+i =2，a+%+。5=1 6 +4+1 =2 1。9、在平面直角坐标系x O y中，已知圆了2 +y2=4上有且仅有四个点到直线i 2 x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是 解析 考查圆与直线的位置关系。圆半径为2,圆 心(0,0)到直线1 2 x-5y+c=0的距离小于1,/(2 x)的X的范围是_ A 解析 考查分段函数的单调性j，2 X n x e(_i a_)l-x2 01 2、设实数x,y满足3 W x/W 8,4W W9,则 的 最 大 值 是 。y y 解析考查不等式的基本性质，等价转化思想。J 1 1 1 X3 X2 1 /(
6、广 1 6,8 1,-G ,j-=()2,2 7,的最大值是 2 7。y xy Q 3 y y xy y1 3、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,+3 =6 c o s C ,则 则2+四 =a b t an A t an Bo 解析考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当 A=B或a=b 时满足题意，此时有：c o s C=-,t an?、J cosC=J_,tan-=,3 2 1 +c o s C 2 2 2.八 1 /T-t an C t an Ct an A =t an
7、 B=-=72,-1-=4。C t an A t an 8t an 2(方 法 二)+=6 c o s C =6 abc o sC =a2+/?2,6 ab“+=a2 4-Z?2,2+b2=a h lab 2t an C t an C s i n C c o s 8 s i n A+s i n 8 c o s A s i n C s i n(A+8)1 s i n2 C-1-=-=-=-t an A t an B c o s C s i n As i n B c o s C s i n A s i n B c o s C s i n A s i n B2 2c _ c厂:商+/)由正弦定理，得
8、:上式=-c o s C6 21 4、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中块是梯形，记(梯形的周长下梯形的面积，则S的最小值是解析考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为x,则：s=-_ _ _ _ _-式 _ _ _ _ _ _4(3-A-)2 1 ,4、6八、百 一 公(方法一)利用导数求函数最小值。4(3-x)2(2x 6)(1 x )(3 x)(2x)(1-x2)24力万_ _ 4_ (2无一6)(1 Y)(3%)2(-2x)_ _4_-2(3x l)(x-3)73(1-x2)2-忑(1-x2)2S，(x)=0,0 x l,x
9、=g,当x(O,j时，S (x)0,递增；故当x =时，s的 最 小 值 是 必 走。3 3(方法二)利用函数的方法求最小值。1 1 1 4 t2 4 1令3-x 二%，(2,3),w (彳,彳)，贝 小 S =j=-=)=7t 3 2 V3 T +6 T V3 _ 色 +9t2 t故当1=3,x =L时，S的 最 小 值 是 四 叵。t 8 3 3二、解答题：本大题共6小题，共计9 0分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、(本小题满分14分)在平面直角坐标系x Oy中，点A(1,-2)、B(2,3)、C(2,1)求以线段A B、A C为邻边的平行四边形两条
10、对角线的长；(2)设实数t满 足(而 T 反)而=0,求t的值。解析 本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。(1)(方 法 一)由 题 设 知 通=(3,5),尼=(-1,1),则A 5+X C =(2,6),A S-A C=(4,4).所以I 而+恁1=2710,1 A 5-X C 1=472.故所求的两条对角线的长分别为4行、2回。(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:E为B、C的中点，E (0,1)又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为BC=4后、AD=2而；(2)由题设知:O C
11、=(2,1),A B tO C =(3+2z,5+Z)o由(A 8 f O C)O C=0,得：(3+2z,5+r)-(-2,-l)=0,从而5f=11,所以f=。或者：A B O C =tO C2,而=(3,5),：=A%C=IOC I2 516、(本小题满分1 4分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD_L平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,/DC,ZBCD=90o求 证:PCBC;求点A到平面PBC的距离。解析本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分1 4分。(1)证明：因为PD_L平面ABCD,BC
12、U平面A B C D,所 以PD_LBC。由 N BC D=90,得 CD_LBC,又 PDriDC=D,PD、D C U平面 PCD,所 以BC_L平 面PCDo因为PCU平 面P C D,故PCBCo(2)(方 法-)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、D F,贝 小易证DECB,DE平面P B C,点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由(1)知：BCJ_平面P C D,所以平面PBC_L平 面PCD于PC,因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF_LPC,所以 DFJ_平面 PBC 于 F。易知D F=,故点A到平面PBC的距离等于V
13、 2。2BA（方法二）体积法：连结A C。设点A到平面PB C的距离为h。因为 A B DC,Z B CD=9 0,所以NA B C=9 0。从而 A B=2,B C=1,得 A 4 B C 的面积 5A As c =1。由 PDJ _ 平面A B CD及 PD=1,得三棱锥P-A B C的体积V=11 因为PD-L平面A B CD,D C U 平面A B CD,所以PD_ LDC。又 PD=DC=1,所以 P C =y/P D2+D C2=V 2。由 PC_ LB C,B C=1,得 A P B C 的面积=5。由-P B c=V f c,P Bc-h =V=得 h=6,故点A到平面PB C
14、的距离等于痣。17、（1 4 分）某兴趣小组测量电视塔A E 的高度H（单 位 m）,如示意图，垂直放置的标杆B C高度 h=4m,仰角 N A B E=a,/A D E=B该小组已经测得一.组a、B的值，t a n a =1.24,t a n P =1.20“请据此算出H的值（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单 位 m）,使 a与 B之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为1 2 5 m,问 d为多少时，a-B 最大ECDBdA分析：此题关键要找出C点的位置，清楚a-B 最大时t a n(a-B)也最大A P A P B C解：(1)因为：t un
15、 cc-,t sn B -=-,A E HBA D A D BH H 4则：B A =-，D A =-，D B =-t a n a t a n/?t a n 0因为 D A D B +BA 所以*=一+二 一 带入 t a n a =1.24,t a n B =1.20t a n t a n(3 t a n a,e H 4 H得-=-+-,所以 H=124m1.20 1.20 1.24125 4(2)由题意知：tan(X-.，tan 6-d DB心 BC DB DB 4 DB 4d。121因 为-所 以-贝 ij DB-.=tan B-AE DA DB+BA 125 DB+d 121 d125
16、 121tan a -tan/34ta n(a-)=1 +tan a tan +125 121“+125x121d d IT4 2 125x121 r-W r =尸(0)当且仅当 d-时，即 d=55A/5 m 时 tan(a 0)c,125x121 55V5 d2.dV dT T最大，因为0 a/?0,y,0,y2 0,为 0,得加=2。1 0,1-80+m2 2 0 +m 2此时直线M N的方程为元=1 ,过 点D（l,0）o40 m若 玉 H，则加。2 M,直线M D的斜率kM D=-1 0/n-；-,2 40-3 m 40 -广80 +m 2_ 一-2 0 m直 线ND的 斜 率=二招
17、生理一=,得上皿=kN D,所以直线M N过D点。3m-6 0 40-22 0 +m2 -因此，直线M N必过x轴上的点（1,0）o1 9、（本小题满分1 6分）设各项均为正数的数列%的前n项和为S,已知2 a 2 =卬+。3,数列#7 是公差为d的等差数列。（1）求数列*的通项公式（用,4表示）;（2）设c为实数，对满足根+=3化且加。的任意正整数机,A ,不等式S,“+S”cS 都9成立。求证：c的最大值为二。2 解析 1本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满 分16分。(1)山题意知：d 0,ys=+(M-Y)d=+(n-l)d2a2=
18、%+a3 n 3a2=S3=3(S2 St)=S3,3(y/+d)2 a2=+2d)2,化简，得：a-2yja-d+d2=0,/-=d,a-dyfs=d+(-l)d=nd,Sn=n2d2,当时，an=Sn-=n2d2-(n-l)2d2=(2H-1)J2,适合 二1 情形。故所求4=(2 -1)/(2)(方法一)2 2Sm+S cSk n m2d2 +n2d2 c-k2d2=m2 4-/z2 c-k2 9 c (m+n)2=9k2=,k2 29 9故c 0,Sn=n2d2 o于是，对 满 足 题 设 的 根 W,有Sn+Sn=(m2+n2)d2 (w +n)d2=-d2k2=Sk.m 2 2 2
19、9所以C的 最 大 值m ax -2、9 3 3另一方面，任取实数。设氏为偶数，令?=k+1,=k 一1,则机,，火符合条件,2 2 2且 S”,+S=(m 2+2)/2 =d 2(53 k+D 2+(53 k _)2=/14 2(9 氏 2+4)。2 1于是，只要9 r+4 2以2,即当-:时，Sn+S -d2-2ak2=aSkOV 2 9 机 2 A所以满足条件的9 9C 一,从而C m axo,使得f(x)=h(xX x2-a x +l),则称函数/(x)具有性质P(a)。(1)设函数/(x)=l n x +-(x 1),其中b为实数。x +1(i)求证：函数/(X)具有性质尸(b);(
20、i i)求函数/(X)的单调区间。(2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定和(1,+8),药 l,夕 1,若I g(a)-g(尸)|求机的取值范围。解析本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满 分 16分。(1)(i)/(x)=-=1,(x2-bx+l)x(x +1)x(x +l)x 1 时，h(x)=-!y 0 恒成立，X(X +1函数/(x)具有性质P(b)；(i i)(方法一)设夕(x)=x?-6x +l =(x-g)2+1 一，8(x)与/(x)的符号相同。当 1 艺 0,-2。0,/(x)
21、0,故此时/(x)在区间(1,+8)上递增；4当匕=2 时，对于x l,有/(x)0,所以此时八x)在区间(1,2)上递增；当b l,总有夕(x)0,/(x)0,故此时/(x)在区间(1,+8)上递增；(方法 二)当 8 W 2 时，对于 x l,x2-2x+l =(x-y 0所 以/(x)0 ,故此时/(%)在区间(1,+8)上递增;b当 b 2时，e(x)图 像 开 口 向 上，对 称 轴 x =121+“2-4 b 7 b2-4-+2-4 扬 一 4-,-,而-1,-方 程 3(x)=0 的 两 根 为：2匕 +“2-46(0,1)b+“2 4 b+2-4当x e (1,一 号)时，8(
22、x)0 ,/(x)2时，/(x)在0,益 当 三)上 递 减；在 上 半 二,在)上 递 增。(方 法 一)由题意，得：g*(x)=/z(x)(x2-2 x+l)=/i(x)(x -1)2又/z(x)对任意的工 (L+o o)都有6(x)0,所以对任意的x w(l,+o。)都有屋(x)0,g(x)在(1,+8)上递增。又a+/?=%+%2，a尸=(2/7?1)(x2)o当机。1H 寸，a P,且a-王=(m-1)%+(1能此，夕-尤 2 +(加-1此，3 一再)(/?_ 刍)=_(加_ 1)2(_ )2 0:a xr x2 或 A若 a%/产，则/(a)/(xx)/(r2)g(Q-式/):不合
23、题意。rx a r2,内 加 +(l-m)x2(l-m)x1+mx2 x2解得 w i 1,1 当 加=；时，&=,0=|g(a)-g W)|g a)-g()，符合题意。当那,且 仪 _/=网(/一/),一天=m(凝一/),同理有人 月空，即卜】(.M(刑 J,加 R +(1-加)k 2 (2 2综合以上讨论，得：所求机的取值范围是(0,1)。(方法二)由题设知,g(x)的导函数g (x)=/t(x)(x 2 -2 X +1),其中函数力(x)0 对于任意的x e (1,+8)都成立。所以，当x l 时，g (x)=/(x)(x-l)2 0,从而g(x)在区间(1,+8)上单调递增。当机 e
24、(0,1)时,，有 a =m xt+(-m)x2 m xt+(1-m)xx-x,a -m x+(1-m)x2 mx2+(1-m)x2=x2,得 ae。,/)，同理可得夕 e (如)，所以由g(x)的单调性知 g(a)、g(4)G(g a),g*2),从而有I g(a)-g(优|g(x j-g(2)I，符合题设。当 Ml W O 时，a =2 X 1+(1-2)？认 2+(1-用)=%2，0=(1一用)玉+m x2 1/1 及 g(x)的 单 调 性 知g()g(x,)g(x2)4ab(a2+b2).解析 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满 分10分。(方法一)证明：a3+
25、b3 yab(a+h2)=a2yfa(/a sb)+b2yfb(-Jb=(一屈 ()$_(府=(&一 振)2(G)4+(G)3(C)+(布)2(C)2+(6)(扬)3+(6)4 因为实数a、b0,而_ 府+而(而+丽 兴 府+(&)(刷 十 而所以上式2 0。即有标+/?J拓(+户)。(方法二)证明：由a、b是非负实数，作差得/+b3 yab(a2+b2)=a2y/a(y/a s/b)+b2/b(-Jb y/a)=(Va-7)(Va)5 (V&)5当 aNb 时，4a4h,从而W(Va-7)(V)5-(V)5 0；当 a b 时，4a4b,从而 ,得 函-屈 乂&丫-(向$0；所以/+/?而面
26、+/)。必做题 第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答忖应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22、(本小题满分10分)某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生 产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。(1)记X(单位：万 元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。解析本题主要考查概率的有关知识
27、，考查运算求解能力。满分10分。解：(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2,-3,且P(X=10)=0.8X0.9=0.72,P(X=5)=0.2X0.9=0.18,P(X=2)=0.8X0.1=0.08,P(X=-3)=0.2X 0.1=0.02由此得X的分布列为：X1052-3p0.720.180.080.02(2)设生产的4件甲产品中一等品有八件，则二等品有4-件。14由题设知4一(4一)2 1 0,解得 2二，又 e N,得=3,或 =4。所求概率为尸=C：X0.83X0.2+().8=0.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。23、(本小题满分
28、10分)已知4A B C的三边长都是有理数。(1)求证cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n,cosnA是有理数。解析本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。12 2 2(方法一)(1)证明：设三边长分别为。力,c,cosA=C-J a,b,c是有理数，2bc是有理数，分母2 b c为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性,12.2 2 必为有理数，cosA是有理数。2bc(2)当=1时，显然cosA是有理数；当=2时，:cos2A=2cos?A-1,因为cosA是有理数，cos2A也是有理数；假设当 Wk伙2 2)时，结论
29、成立,即coskA、cos(k1)A均是有理数。当=女+1 时,cos(k+l)A=cos kA cos A sin M sin A，cos(Z+1)A=cos kA cos A-cos(M-A)-cos(M+A),cos(k+1)A=cosfc4cos A-geos/一 l)A+；cos(k+1)A,解得：cos(攵 +1)A=2 cos M cos A-cos(fc-1)AV cos A,cosM,cos(k-1)A 均是有理数，2cosfcAcos A-cos(k-1)4 是有理数，cos(Z+l)A 是有理数。即当=k+1时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n,cosnA是有理数。(
30、方法二)证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知A AB2+AC2-B C2 浏cos A=-是有理数。2A B A C(2)用数学归纳法证明cosnA和sin A sin 都是有理数。当=1 时，山(1)知cosA 是有理数，从而有sinA,sinA =l-c o s 2 A 也是有理数。假设当=k(k 2 1)时，cos kA 和sin A-sin kA 都是有理数。当二女 +1 时,由 cos(k+l)A=cosAcosfc4-sinAsinfc4,sin A sin(k+1)A=sin A (sin AcosM+cosAsin kA)=(sin A sin A)cos kA+(sin A-sin kA)-cos A,及和归纳假设，知cos(Z+1)A 和sin 4 sin(Z+1)4都是有理数。即当=k+l 时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n,cosnA是有理数。