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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项绝密启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分.考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线
2、条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置分请把答案直接填写在答题卡相应位置上上.1.函数)42sin(3xy的最小正周期为 .解析：2=2T2.设2)2(iz(i 为虚数单位)，则复数z的模为 .解析：2234 ,34=5Zi Z YN输出 n开始1a2n ，1nn 32aa20a 结束（第 5 题）3.双曲线191622yx的两条渐近线的方程为 .解析：3y=4x4.集合1 , 0 , 1共有 个子集.解析：328（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 解析：经过了
3、两次循环，n 值变为 36.抽样统计甲，乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .解析：易知均值都是 90，乙方差较小，22222221118990909091 908890929025niisxxn7.现有某类病毒记作nmYX，其中正整数)9, 7(,nmnm可以任意选取，则nm,都取到奇数的概率为 .解析：m可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个n可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7
4、963种可能符合题意的m可以取1,3,5,7共4个符合题意的n可以取1,3,5,7,9共5个所以总共有4 520种可能符合题意所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABCCBA111中，FED,分别是1,AAACAB的中点，设三棱锥ADEF 的体积为1V，三棱柱ABCCBA111的体积为2V，则21:VV .解析：112211111334224ADEABCVShShV所以121:24V V 9.抛物线2xy 在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是 .解析：易知切线方程为：21yx所以与两坐标轴围成的
5、三角形区域三个点为 0,00.5,00, 1ABC易知过 C 点时有最小值2，过 B 点时有最大值 0.5ABC1ADEF1B1C10.设ED,分别是ABC的边BCAB,上的点，ABAD21,BCBE32,若ACABDE21(21,为实数)，则21的值为 .解析：易知121212232363DEABBCABACABABAC 所以121211.已知)(xf是定义在R上的奇函数.当0 x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)(的解集用区间表示为 .解析：因为)(xf是定义在R上的奇函数，所以易知0 x 时，2( )4f xxx 解不等式得到xxf)(的解集用区间表示为 5,05,12.在平面直角坐
6、标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0, 0( 12222babyax，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d.若126dd ，则椭圆的离心率为 .解析：由题意知2212,bcabddcacc所以有26bbcca两边平方得到2246a bc，即42246aa cc两边同除以4a得到2416ee，解得213e ，即33e 13.平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数)0(1xxy图像上一动点，若点AP,之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为 .解析：由题意设0001,0P xxx则有2222222000002000001
7、11112+2=+-2+22PAxaaxa xaxa xaxxxxx令001t2xtx则222= (t)=t2222PAfatat对称轴ta1.2a 时，22min2(2)2422428PAfaaaa1a ，3a （舍去）2.2a 时，22min2( )228PAf aaa10a ，10a （舍去）综上1a 或10a 14.在正项等比数列 na中，215a，376aa.则满足nnaaaaaaaa.321321的最大正整数n的值为 .解析：2252552667123123115521155223.1,.222222011521312913236002292212nnnnnnnnnnaaaaaaa
8、 aaa qa qqaannqnqnqa nN112,nnN 又12n 时符合题意，所以n的最大值为12二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分 14 分）已知cossina，cossinb，0.(1)若2ab，求证：ab；(2)设0 1c,，若abc，求，的值.解：(1)cos ,sin,cos,sin,0ab2ab22ab2222abab1 1 22a b 0a b ab(2) 0,1 ,cosc
9、os,sinsin0,1coscos0sinsin1cabc22+得：2+2cos11cos2 0023 又coscos05,6616.（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC,ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E,G分别是侧棱SA,SC的中点.求证：(1)平面EFG/ /平面ABC;(2)BCSA.解：(1),E G分别是侧棱,SA SC的中点EGACAC在平面ABC中，EG在平面外EG平面ABC,ASAB AFSBF为SB中点EFABAB在平面ABC中，EF在平面外EF平面ABCEF与EG相交于E,EF EG在平面EFG中平面EFG/ /平面AB
10、C(2)平面SAB平面SBCSB为交线AF在SAB中，AFSBAF平面SBCAFBCBCABAF与AB相交于A,AF AB在平面SAB中BC平面SABBCSA17.（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点0 3A,，直线24lyx：.设圆的半径为 1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线1yx上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：（1）241yxyx与联立得到圆心坐标3,2C圆方程为22321xy切线斜率不存在时，不合题意设切线方程为3ykx232311kk解得0k 或34k 切线方程为3y 或334yx
11、（2）设,24C aa则圆方程为22241xaya设00(,)M xy由题意2200241xaya2MAMO22220000344xyxy即220014xyM存在圆22241xaya与圆2214xy有交点即两圆相交或相切2222 12 1d即221024( 1)9aa 1205a 18.（本小题满分 16 分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为 50m/min.在甲出发 2min 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留 1min 后，再从B匀速步行
12、到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为 1260m，经测量，12cos13A ，3cos5C .(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)123cos,cos1350,0,054sin,sin135ACABCAC+ =AB C5312 463sin=sin+=sincos+cossin=+=13 513 565BA CACAC=sinsinsinACABBCBCAsin4 65=1260=1040msin5 63CABACB(2)sin=5
13、00sinABCACB设乙出发t8t 分钟后，甲到了D处，乙到了 E 处则有=50t+100AD130AEt根据余弦定理2222cosDEAEADAE ADA即2274001400010000DEtt当14000352 740037t 时，2DE有最小值250 7437DE (3)设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为V乙由题意1260126=min505t甲1040500500t =2+1+=11+min130VV乙乙乙12650031135V 乙解不等式得12506254314V乙19.（本小题满分 16 分）设 na是首项为a，公差为d的等差数列0d ，nS是其前n项和.记2
14、nnnSbnc，Nn*，其中c为实数.(1)若0c ，且1b，2b，4b成等比数列，证明：2NnkkSn Sk,n*；(2)若 nb是等差数列，证明：0c .解：（1） 10naand d22nnnSnad0c 时，nnSbn112244122342SbaSdbaSdba124,b b b成等比21 42bbb222222222322202nnkknkkddaaadadddaSn aSn k an Sn k aSn S （2）由已知23222222nnnSn an dn dbncncnb是等差数列设nbknb（k,b 为常数）有32222220kd nbda ncknbc对任意nN恒成立202
15、202020kdbdackbc0d 00kc 此时222dkadb命题得证20.（本小题满分 16 分）设函数 ln fxxax， xg xeax，其中a为实数.(1)若 fx在1,上是单调减函数，且 g x在1,上有最小值，求a的范围；(2)若 g x在1, 上是单调增函数，试求 fx的零点个数，并证明你的结论.解：（1）1( )f xxa( )xg xea由题意：( )0f x 对1,x恒成立即1ax对1,x恒成立1a g x在1,上有最小值0a 时，( )0g x恒成立，( )g x在1,无最值0a 时，由题意ln1a ae综上：a的范围是：ae（2） g x在1, 上是单调增函数( )
16、0g x 对1,x 恒成立即xae对1,x 恒成立1ae令( )0f x ，则ln xax则有( )f x的零点个数即为ya与ln xyx图像交点的个数令ln( )0 xh xxx则21 ln( )xh xx易知( )h x在0,e上单调递增，在, e 上单调递减在xe时取到最大值1( )0h ee当0 x 时，ln( )xh xx 当x 时，ln( )0 xh xx( )h x图像如下所以由图可知：0a 时，( )f x有 1 个零点10ae时，( )f x有 2 个零点1ae时，( )f x有 1 个零点综上所述：0a 或1ae时，( )f x有 1 个零点10ae时，( )f x有 2 个零点