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1、第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程2.2.1 2.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 在生活中，还有另外一种曲线比较常在生活中，还有另外一种曲线比较常见，例如见，例如引引 言言数数 学学 实实 验验先回忆圆的画法：平面内，到定先回忆圆的画法：平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹就点的距离等于定长的点的轨迹就是圆是圆.如果把这一个定点分裂成两个定如果把这一个定点分裂成两个定点，会画出什么图形呢？点，会画出什么图形呢？数数 学学 实实 验验1.取一条定长的细绳；取一条定长的细绳；2.把它的两端固定在图纸上的两点把它的两端固定在图纸上的两点F1、F2；3.用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细
2、绳拉紧，在图纸上慢慢）把细绳拉紧，在图纸上慢慢移动，看看能画出什么图形？移动，看看能画出什么图形？请同学们按照下列操作，动手请同学们按照下列操作，动手画一画：画一画：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？距离大小有怎样的关系？数数 学学 观观 察察思考思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的
3、？是怎样定义的？数数 学学 归归 纳纳椭圆定义：椭圆定义： 我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和的距离之和等于常数（大于等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫）的点的轨迹叫椭圆椭圆.两个定点两个定点F1、F2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点.两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做焦距焦距.数数 学学 推推 理理根据椭圆的定义如何求根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？椭圆的方程呢？先来回忆：求曲线的方程的基本步骤先来回忆：求曲线的方程的基本步骤（1）建系设点）建系设点;（2）写出点集；）写出点集；（3）列出方程；）列出方程；（4）化简方程；）化简方程；（5）检验）检验第
4、一步：第一步： 如何建立适当的坐标系呢？如何建立适当的坐标系呢？ 数数 学学 推推 理理想一想：圆的最简单的标准方程，是以想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？椭圆是否可以采用类似的方法呢？OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM数数 学学 推推 理理 设设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分 别为别为F1和和F2，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为2c(c0)，M与与F1和和F2 的的距离的和等于距离的和等于2a (2a2c0) 请同学们自己完成
5、剩下的步骤，求出请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程椭圆的方程.解：以焦点解：以焦点F1、F2的所在直线为的所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂的垂直平分线为直平分线为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系(如图如图). 设设M(x, y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，椭圆的焦距点，椭圆的焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的的坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0yaMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222所以由椭圆
6、的定义得由椭圆的定义得：因为因为数数 学学 推推 理理方案一方案一122222cayax整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方数数 学学 推推 理理，得：两边同除以)(222caa).0( 12222babyax所以椭圆的方程为),0(-=222bacab所以令数数 学学 推推 理理1F2FxyOP的线段么？、找出表示请看图片：你能从图中22-cacaac22ca ).0( 1=+2222ba
7、bxay为到椭圆的方程类似的由方案二可以得叫做椭圆的标准方程也把形如)0( 1=+. 22222babxay()叫做椭圆的标准方程我们把形如01=+. 12222babyax它表示焦点在它表示焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆它表示焦点在它表示焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆1oFyx2FM1 12 2yoFFMx数数 学学 归归 纳纳椭圆的标准方程有哪些特征呢？椭圆的标准方程的特征：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是的平方和，右边是1;（3）椭圆的标准方程中）椭圆的标准方程中a、b、c满足满足a2=b2+c2（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准
8、方程中，x2与与y2的分母哪一个大，的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上则焦点在哪一个轴上;数数 学学 归归 纳纳例例1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点并且经过点 .求它的标准方程求它的标准方程. .53( ,)22 解解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上, ,所以设所以设它的标准方程为它的标准方程为22221 (0).xyabab由椭圆的定义知由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2 102222a 例例 题题 演演 练练例例 题题 演演 练练又因为又因为 , ,所以所以2c 因此因此, , 所求
9、椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为221 .106xy2221046.bac所以所以10.a 思考？能用其他方法求它的方程么？思考？能用其他方法求它的方程么？解法二解法二: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上, ,所以设它所以设它的标准方程为的标准方程为: :22221 (0).xyabab2c224ab 22532222( )()1ab 又又由由已已知知联立联立,22106ab解解得得，因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: :221 .106xy( 2,0),(2,0) 又又焦点的坐标为焦点的坐标为例例 题题 演演 练练 1.已知已知F1、F2是椭圆是椭圆
10、的两个焦点，的两个焦点，过过F1的直线交椭圆于的直线交椭圆于M、N两点，则三角形两点，则三角形MNF2的周长为的周长为 . 192522yx课课 堂堂 练练 习习202.2.已知椭圆的两个焦点分别是已知椭圆的两个焦点分别是F F1 1( (2,0)2,0)、F F2 2(2,0),(2,0),且过且过P(2,3)P(2,3)点，求椭圆的方程点，求椭圆的方程 . 2211 61 2xyyoF1F2MxN0 12222babyax0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的之间的关系关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM最后回忆一下本节课的主要内容最后回忆一下本节课的主要内容课后作业：课后作业：1. 1.在椭圆的定义中，若在椭圆的定义中，若a=c能得到什么能得到什么图形？图形？若若ac能得到什么图形？能得到什么图形？2.2.查查资料，看看椭圆还有其他的定查查资料，看看椭圆还有其他的定义方法么？义方法么？