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1、会计学1理论力学理论力学(l xu)摩擦问题摩擦问题第一页，共45页。注意：注意：Fs的大小是个不定值，随着外力的变化而变化。其方的大小是个不定值，随着外力的变化而变化。其方向由外力系的合力方向决定，可以向由外力系的合力方向决定，可以(ky)假设。假设。、临界平衡(pnghng)状态时-最大静滑动摩擦力Fmax：静滑动摩擦定律：最大静摩擦力(jn m c l)的大小与法向反力成正比。F max=f s N 其中：f s 称为静滑动摩擦因数Gx摩擦力大小如何计算？Fs=F x 且且0 Fs FmaxGxGx 当外力增加到某个值时，物体处于将动未动的临界平衡状态，这时静摩擦力达到最大值称为最大静摩
2、擦力，以Fmax表示。第1页/共45页第二页，共45页。、有相对滑动、有相对滑动(hudng)时时-动滑动动滑动(hudng)摩擦摩擦力力F：当物体接触面间有相对滑动当物体接触面间有相对滑动(hudng)时，出现的滑时，出现的滑动动(hudng)摩擦力，称为动滑动摩擦力，称为动滑动(hudng)摩擦力，它的摩擦力，它的方向与两物体间相对滑动方向与两物体间相对滑动(hudng)的方向相反。的方向相反。F=f N 其中：f 称为动滑动摩擦因数(ynsh)。一般情况，f f s，要求不高时，f =f s。GF分析(fnx)运动状态Gx第2页/共45页第三页，共45页。Gx第二节第二节第二节第二节 摩
3、擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象(xinxing)(xinxing)1 1、全约束力、全约束力、全约束力、全约束力 R R：法向反力：法向反力：法向反力：法向反力FNFN与摩擦力与摩擦力与摩擦力与摩擦力Fs Fs 的的的的合力称为支承面对合力称为支承面对合力称为支承面对合力称为支承面对(min du)(min du)物体的全约物体的全约物体的全约物体的全约束力束力束力束力 R R。Gx2、摩擦角、摩擦角f:随着摩擦力的增大，随着摩擦力的增大，角逐渐角逐渐(zhjin)增大，当摩擦力达到最大值增大，当摩擦力达到最大值F max 时，全约束力时，全约束力R作用线与接触
4、面法线间作用线与接触面法线间的夹角的夹角f 称为摩擦角。称为摩擦角。摩擦角只与摩擦角只与 f fS S有关，它是全约束力与法线所成角度的最大值。有关，它是全约束力与法线所成角度的最大值。第3页/共45页第四页，共45页。3、自锁现象、自锁现象(xinxing)：自锁条件自锁条件(tiojin)：f 此时此时FA在水平方向的投影永远在水平方向的投影永远(yngyun)小于最大静滑小于最大静滑动摩擦力。动摩擦力。主动力的合力FA 的作用线与接触面法线的夹角为，当主动力的合力FA的作用线在摩擦角以内，则无论合力FA有多大，全约束力R总能与之平衡，物体必定保持平衡，这种现象称为自锁现象。Gx第4页/共
5、45页第五页，共45页。当主动力的合力(hl)FA的作用线在摩擦角以内，则无论合力(hl)FA有多大，物体必定保持平衡。当主动力的合力FA的作用线在摩擦角以外，则无论合力FA有多小，物体(wt)一定会滑动。螺纹螺纹(luwn)螺旋角：螺旋角：（休止角）沙堆滑塌、山体滑坡现象。（休止角）沙堆滑塌、山体滑坡现象。螺纹自锁条件：螺纹自锁条件：第5页/共45页第六页，共45页。4-3 考虑滑动摩擦时物体考虑滑动摩擦时物体(wt)的平衡问的平衡问题题 仍为平衡仍为平衡(pnghng)问题，平衡问题，平衡(pnghng)方程可用，求解方程可用，求解步骤与前面基本相同。步骤与前面基本相同。几个几个(j)新特
6、点新特点2、严格区分物体处于临界、非临界状态；、严格区分物体处于临界、非临界状态；3、因、因 ，问题的解有时在一个范围内。，问题的解有时在一个范围内。1、画受力图时，必须考虑摩擦力；、画受力图时，必须考虑摩擦力；4、静滑动摩擦定律：F max=f s N 的应用要慎重。5、物体相对滑动趋势与运动方向之间的区别。分析自行车前、后轮胎受到的摩擦力。第6页/共45页第七页，共45页。例例例例4-1 4-1 在一个在一个在一个在一个(y)(y)可调整倾角上放一物体重为可调整倾角上放一物体重为可调整倾角上放一物体重为可调整倾角上放一物体重为W,W,接触面间的摩擦系数接触面间的摩擦系数接触面间的摩擦系数接
7、触面间的摩擦系数为为为为 f,f,试求物体刚开始下滑时的斜面倾角试求物体刚开始下滑时的斜面倾角试求物体刚开始下滑时的斜面倾角试求物体刚开始下滑时的斜面倾角 。解解解解:(1):(1)、取物体为研究、取物体为研究、取物体为研究、取物体为研究(ynji)(ynji)对象对象对象对象.画受画受画受画受力图力图力图力图(2)、选取、选取(xunq)坐标轴，列平衡坐标轴，列平衡方程，求未知量。方程，求未知量。WxyoNFmax（3）、测定摩擦系数的一种简易方法）、测定摩擦系数的一种简易方法看作汇交力系第7页/共45页第八页，共45页。Q例例例例4-2 4-2 在斜面上放置一物体在斜面上放置一物体在斜面上
8、放置一物体在斜面上放置一物体(wt)(wt)重为重为重为重为Q,Q,接触面间的摩擦系数为接触面间的摩擦系数为接触面间的摩擦系数为接触面间的摩擦系数为 f ,f ,斜面的倾斜角为斜面的倾斜角为斜面的倾斜角为斜面的倾斜角为 。为使物体。为使物体。为使物体。为使物体(wt)(wt)在斜面上保持平衡，在物体在斜面上保持平衡，在物体在斜面上保持平衡，在物体在斜面上保持平衡，在物体(wt)(wt)上加有水平力上加有水平力上加有水平力上加有水平力P P。试求力试求力试求力试求力P P 的范围。的范围。的范围。的范围。注意(zh y)：如果力P太小,物体将向下滑动;如力P太大,又使物体向上滑动.解：1、使物体
9、(wt)不致下滑时所需的力P的最小值P min。画物体(wt)的受力图。设物体处于临界平衡状态,列平衡方程:xyoN1QF F1 1maxmax第8页/共45页第九页，共45页。2、物体不致(bzh)上滑时所需的力P 的最大值P max。化物体受力图，列平衡方程:3、综上得出(d ch):要维持物体平衡时,力P的值应满足的条件是:xyoN1QF2max第9页/共45页第十页，共45页。xy 例4-3 杆AB的A端置于光滑水平面上，AB与水平面夹角(ji jio)为20，杆重为P=50 KN。B处有摩擦。当杆在此处临界平衡时，试求B处摩擦角。解：解：以以AB为研究为研究(ynji)对象，对象，画
10、受力图，画受力图，N为为B处的正压力。处的正压力。N tgm.cos=N sinNNAFSFmax tgm=tg m=20第10页/共45页第十一页，共45页。例例4-4*已知：已知：不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；求：挺杆不被卡住之求：挺杆不被卡住之a 值。值。解：取挺杆为研究解：取挺杆为研究(ynji)对象，设挺对象，设挺杆处于卡住临界状态。杆处于卡住临界状态。第11页/共45页第十二页，共45页。解得：解得：则：挺杆不被卡住时，则：挺杆不被卡住时，第12页/共45页第十三页，共45页。例例4-5*已知：物块重已知：物块重 P,鼓轮重心位于鼓轮重心位
11、于(wiy)O1处，闸杆重量不处，闸杆重量不计，各尺寸如图所示。求：制动鼓轮所需铅直力计，各尺寸如图所示。求：制动鼓轮所需铅直力F。解解:(1)设鼓轮被制动处于平衡状态设鼓轮被制动处于平衡状态(zhungti)，取鼓轮为研究对象。取鼓轮为研究对象。O1(2)取闸杆为研究(ynji)对象。第13页/共45页第十四页，共45页。GOA 第四节 滚动摩阻的概念(ginin)-滚动摩擦 1、滚动摩擦产生、滚动摩擦产生(chnshng)的原因：的原因：使滚子滚动比使它滑动省力。使滚子滚动比使它滑动省力。将这些力系向A点简化，得到一个(y)主矢 FR 和一个(y)主矩 m f ，主矢 FR 分解成支反力N
12、和滑动摩擦力Ff （此处Ff F max).主矩 m f 称为滚动摩擦力偶矩，简称为滚阻力偶。m f 从何而来？分析滚动摩擦，必须考虑变形的影响。物体接触面上受力情况较复杂。圆柱体放在水平面上，受力如图，圆柱体放在水平面上，受力如图，F与与Ff 形成一个力偶，形成一个力偶，即使即使F 很小，也将使圆柱体发生滚动。很小，也将使圆柱体发生滚动。但实际情况并非如此：力但实际情况并非如此：力F 太小、接触面越软，滚动越困太小、接触面越软，滚动越困难，而滑动更难。难，而滑动更难。当力当力F不太大时，圆柱体保持平衡，说明必有一个阻力不太大时，圆柱体保持平衡，说明必有一个阻力矩矩m f 作用在物体上，与力偶
13、（作用在物体上，与力偶（F，Ff ）平衡。平衡。GOABGOBGOA第14页/共45页第十五页，共45页。2、滚动状态分析：、滚动状态分析：（1）、主动力）、主动力 F 由零逐步增大由零逐步增大(zn d)，而圆柱体处于平衡状态，由平面任意力系的平而圆柱体处于平衡状态，由平面任意力系的平衡方程，有：衡方程，有：（2）、当滚子处于将滚未滚的临界状态时，滚动）、当滚子处于将滚未滚的临界状态时，滚动(gndng)摩阻力偶矩达摩阻力偶矩达到最大值，到最大值，m f m max，称为最大滚动，称为最大滚动(gndng)摩阻力偶矩摩阻力偶矩m max 。、当Fr m max 时，滚子处于滚动状态(zhun
14、gti)。此时，仍有 m f m max。、当、当F(Ff)F max 时，时，滚子处于滑动状态。实际上，由于滑动摩擦滚子处于滑动状态。实际上，由于滑动摩擦因子较大，圆柱滚动前不会发生滑动。因子较大，圆柱滚动前不会发生滑动。GOA第15页/共45页第十六页，共45页。GOBGOA 滚动摩阻力偶矩滚动摩阻力偶矩m f 的大小随主动力矩的大小而的大小随主动力矩的大小而变化，变化，0m f m max。最大滚动摩阻力偶矩最大滚动摩阻力偶矩m max 与滚子半径无关，与滚子半径无关，而与支承面的正压力而与支承面的正压力N的大小成正比。的大小成正比。m max=N 称为滚动摩擦系数，其量纲为长度单位，其
15、物称为滚动摩擦系数，其量纲为长度单位，其物理意义是将摩擦力简化为纯主矢时，合力作用点理意义是将摩擦力简化为纯主矢时，合力作用点B到到简化中心简化中心(zhngxn)A点的距离，与接触物体的性质点的距离，与接触物体的性质有关。有关。3、滚动(gndng)摩阻定律：第16页/共45页第十七页，共45页。例例4-6 轮胎半径轮胎半径(bnjng)为为r=40cm，载重，载重W=2000N，推力为，推力为P，设滑动摩擦系数，设滑动摩擦系数 f=0.6，滚动，滚动摩擦系数摩擦系数=0.24cm，试求推动此轮胎前进的力，试求推动此轮胎前进的力P。解:(1)选轮子为研究(ynji)对象,画受力图。(a).分
16、析向前滚动情况分析向前滚动情况(qngkung):m=mmax=N mA=0 m-Pr=0 P=W/r=0.242000/40=12N 所以只要所以只要12N 的力就可以使轮子向前滚动的力就可以使轮子向前滚动.(2)轮子有两种前进可能:(b).分析向前滑动情况:F=F max=f N,P=f W=0.62000=1200N。(3)分析讨论：此题说明滚动要比滑动省力得多，所以通常以滚动代替滑动。第17页/共45页第十八页，共45页。例例4-7、重为重为P1=980N，半径为，半径为r=10cm 的滚子的滚子(n z)A与重与重P2=490N的板块的板块B，通过绳索相连，板块，通过绳索相连，板块B
17、与斜面间的静滑动摩擦与斜面间的静滑动摩擦系数系数f=0.1，A与与B间的滚阻系数间的滚阻系数=0.05，斜面倾角，斜面倾角=30，绳索与，绳索与斜面平行。试求作用在板块斜面平行。试求作用在板块B上、平行于斜面并能拉动上、平行于斜面并能拉动B的拉力的的拉力的最小值。最小值。问题：板块问题：板块B运动时，滚子运动时，滚子(n z)A在在板块上是先滚动还是先滑动？板块上是先滚动还是先滑动？解：解：设滚子设滚子A在板块在板块B上作纯滚动，此时上作纯滚动，此时(c sh)，静摩擦力尚未达到最大值。，静摩擦力尚未达到最大值。取滚子取滚子A为研究对象，画受力图，建立为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方
18、程：坐标系，列平衡方程：不是o点C第18页/共45页第十九页，共45页。补充补充(bchng)方程方程 取板块取板块B为研究对象，画受力图为研究对象，画受力图(lt)，建立坐标系，列平衡方程：，建立坐标系，列平衡方程：补充补充(bchng)方方程程第19页/共45页第二十页，共45页。故故处假设处假设(jish)是正确的。是正确的。、如果假设、如果假设(jish)滚子在板块上先滚子在板块上先发生滑动，则有：发生滑动，则有：设滚子设滚子A在板块在板块(bn kui)B上作纯上作纯滚动时滚动时:第20页/共45页第二十一页，共45页。第六版第六版.P125：52、14、19.第七版第七版.P127
19、：42、21、27.第21页/共45页第二十二页，共45页。例例56*图示一折叠图示一折叠(zhdi)梯放在地面上，与地面的夹角梯放在地面上，与地面的夹角=60。脚端。脚端A与与B和地面的摩擦因数分别为和地面的摩擦因数分别为 。在折叠。在折叠(zhdi)梯的梯的AC侧的中点处有一重为侧的中点处有一重为G=500N 的重的重物。不计折叠物。不计折叠(zhdi)梯的重量，问它是否平衡？如果平衡，梯的重量，问它是否平衡？如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。计算两脚与地面的摩擦力。处理此类问题时首先假定系统为平衡。由于系统不一定(ydng)处于静摩擦的临界情况，可通过平衡方程求得这些未知的静摩擦力。所得
20、的结果必须与极限静摩擦力进行比较，以确认上述系统平衡的假定是否成立。解：解：、以整体为对象、以整体为对象(duxing)，受力分析，受力分析，画受力图，列平衡方程：画受力图，列平衡方程：第22页/共45页第二十三页，共45页。、以杆、以杆 BC 为对象为对象(duxing)，有，有：、再以整体为对象、再以整体为对象(duxing)，列平衡，列平衡方程方程 注意(zh y)BC杆是二力杆。第23页/共45页第二十四页，共45页。、判断系统是否、判断系统是否(sh fu)处于静平衡：处于静平衡：脚端脚端A 与与B 的最大静摩擦力的最大静摩擦力(jn m c l)分分别为别为：脚端脚端A与与B的实际
21、摩擦力均小于最大静摩擦力，可见折梯处于平衡的实际摩擦力均小于最大静摩擦力，可见折梯处于平衡的假定的假定(jidng)成立。成立。第24页/共45页第二十五页，共45页。求：（求：（1）使系统平衡）使系统平衡(pnghng)时，力偶矩时，力偶矩 MB的范围。的范围。（2）圆柱）圆柱 O 匀速纯滚动时，静滑动摩擦匀速纯滚动时，静滑动摩擦(hu dn m c)系数的最小值。系数的最小值。例例4-8 已知：已知：第25页/共45页第二十六页，共45页。又又联立解得联立解得解：（解：（1）设圆柱）设圆柱(yunzh)O 有向下滚动趋势，取圆柱有向下滚动趋势，取圆柱(yunzh)O为研究对象，画受力图，建
22、立坐标系，列平衡方为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程：程：不是(b shi)o点注意(zh y)滑动摩擦力的影响。第26页/共45页第二十七页，共45页。又又(2)设圆柱设圆柱(yunzh)O 有向上滚动趋势，取圆柱有向上滚动趋势，取圆柱(yunzh)O为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程：程：联立解得联立解得第27页/共45页第二十八页，共45页。则系统则系统(xtng)平衡平衡时时(3)以滑轮以滑轮B为研究为研究(ynji)对象，画受力图，建对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程：立坐标系，列平衡方程：解得解得第28页/共45页第
23、二十九页，共45页。（4）设圆柱）设圆柱 O有向下滚动有向下滚动(gndng)趋势。趋势。补充方程：补充方程：解得解得不是(b shi)A点如何(rh)考虑滑动摩擦力的影响。计算圆柱计算圆柱 O 匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的最小值。匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的最小值。只滚不滑时，应有：只滚不滑时，应有：第29页/共45页第三十页，共45页。得得（5）同理，圆柱）同理，圆柱O有向上有向上(xingshng)滚动滚动趋势时，趋势时，故圆柱故圆柱 O 匀速纯滚动时，静滑匀速纯滚动时，静滑动摩擦动摩擦(hu dn m c)系数的最系数的最小值。小值。只滚不滑时，应有只滚不滑时，应有(yn yu)则
24、则第30页/共45页第三十一页，共45页。（22）能保持木箱平衡）能保持木箱平衡(pnghng)(pnghng)的最大拉力。的最大拉力。已知：均质木箱重已知：均质木箱重求：（求：（11）当）当DD处为拉力处为拉力(ll)F=1kN(ll)F=1kN时，木箱是否平衡时，木箱是否平衡?第31页/共45页第三十二页，共45页。解：（解：（11）取木箱，设其处于平衡）取木箱，设其处于平衡(pnghng)(pnghng)状态。状态。第32页/共45页第三十三页，共45页。解得解得而而因因木箱不会木箱不会(b hu)(b hu)滑动；滑动；又又木箱无翻倒木箱无翻倒(fn do)(fn do)趋势。趋势。故
25、木箱平衡故木箱平衡(pnghng)(pnghng)（22）设木箱将要滑动时拉力为）设木箱将要滑动时拉力为第33页/共45页第三十四页，共45页。又又解得解得设木箱有翻动趋势时拉力为设木箱有翻动趋势时拉力为解得解得能保持木箱平衡的最大拉力为能保持木箱平衡的最大拉力为*对此题，先解答对此题，先解答(jid)(jid)完（完（22），自然有（），自然有（11）。）。第34页/共45页第三十五页，共45页。yxwP1A例例57、匀质箱体、匀质箱体A宽宽b=1m，高，高h=2m，重，重w=200KN，放在倾角，放在倾角=20的斜面上，摩擦系数的斜面上，摩擦系数f=0.2。在箱体上。在箱体上C点系一软绳，
26、点系一软绳，BC=a=1.8m，=30，绳上作用，绳上作用(zuyng)拉力拉力p。试求箱体保持。试求箱体保持平衡时拉力平衡时拉力p的大小。的大小。BCD解：解：、设箱体在拉力、设箱体在拉力(ll)p1 作用下作用下处于向下滑动趋势的临界平衡状态，画处于向下滑动趋势的临界平衡状态，画受力图，建立直角坐标系，列平衡方程：受力图，建立直角坐标系，列平衡方程：分析(fnx)：箱体在拉力p作用下，可能有四种运动趋势：向下滑动、向上滑动、绕右下角D点侧翻、绕左下角B点侧翻。NF补充方程：补充方程：F=f f N 解得：解得：p1=40KN第35页/共45页第三十六页，共45页。、设箱体在拉力p 2 作用
27、下处于向上(xingshng)滑动趋势的临界平衡状态，画受力图，建立直角坐标系，列平衡方程：yxwP2ABCDNF补充补充(bchng)方程：方程：F=f N 解得：解得：P 2 =109.7KN、设箱体在拉力 P 3 作用下处于绕右下角D点向下侧翻的临界平衡(pnghng)状态，画受力图，建立直角坐标系，列平衡(pnghng)方程：yxwP3ABCDNF第36页/共45页第三十七页，共45页。、设箱体在拉力 P 4 作用下处于绕左下角B点向上侧翻的临界平衡状态，画受力图，建立直角坐标(zh jio zu bio)系，列平衡方程：yxwP3ABCDNF、结论：由于、结论：由于(yuy)软绳不能
28、产生压力，故软绳不能产生压力，故P 3=-24KN的情的情况不存在。而当况不存在。而当P 2=109.7KN时，箱体已经发生侧翻。时，箱体已经发生侧翻。纵上分析，箱体平衡状态的条件：纵上分析，箱体平衡状态的条件：40KNP104.2KN第37页/共45页第三十八页，共45页。已知：拖车总重已知：拖车总重PP，车轮，车轮(ch ln)(ch ln)半径半径RR，求：拉动拖车求：拉动拖车(tuch)(tuch)最小牵引力最小牵引力FF（FF平行于斜坡）。平行于斜坡）。第38页/共45页第三十九页，共45页。解：取整体解：取整体(zhngt)(zhngt)（11）（22）（33）七个未知数。七个未知
29、数。（44）（55）能否用能否用 ，作为作为(zuwi)(zuwi)补充方程补充方程?第39页/共45页第四十页，共45页。取前、后轮取前、后轮七个方程七个方程(fngchng)(fngchng)联立解得联立解得（66）（77）意味意味(ywi)(ywi)什么？什么？意味意味(ywi)(ywi)什么？什么？若若 ，若若 ，则则 ，则则 ，若拖车总重若拖车总重 ，车轮半径车轮半径 ，在水平路上行驶（在水平路上行驶（），），牵引力为总重的牵引力为总重的11。第40页/共45页第四十一页，共45页。已知：已知：各构件各构件(gujin)(gujin)自重不计；自重不计；求：求：作用于鼓轮上的制动作用于鼓轮上的制动(zh dn)(zh dn)力矩。力矩。例例5-115-11第41页/共45页第四十二页，共45页。对图对图得得得得得得（a）对图对图(b)第42页/共45页第四十三页，共45页。对图对图得得对图对图得得解得解得对图对图(c)(d)(e)第43页/共45页第四十四页，共45页。对此题，对此题，对对 杆，杆，对图对图 ，得得为何为何(wih)(wih)？图，图，第44页/共45页第四十五页，共45页。