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1、会计学1物理物理(wl)根轨迹分析根轨迹分析第一页，共69页。4-1 根轨迹(guj)的基本概念一.根轨迹的定义：1、定义：当系统某个参数变化时，闭环特征根在 s 平面(pngmin)上移动的轨迹。2、根轨迹法：根轨迹法是在已知系统的开环零、极点条件下，绘制出系统闭环特征根在 s 平面(pngmin)上随参数变化时运动的轨迹。第第4章章 根轨迹根轨迹(guj)第1页/共69页第二页，共69页。4-1 根轨迹(guj)的基本概念例例1:已知如图已知如图 系统系统(xtng).R(s)C(s)-第第4章章 根轨迹根轨迹(guj)其中，K为开环放大系数，Kg叫根轨迹增益，Kg=2K。可见:开环传递函
2、数的极点是：-p1=0，-p2=2，没有 零点。解：系统开环传函：第2页/共69页第三页，共69页。Kg01/41/2125 s10-0.13-0.29-1-1+j-1+2j -1+j s2-2-1.866-1.707-1-1-j-1-2j-1-j 根轨迹根轨迹(guj)(guj)的基本概念的基本概念(续续)第第4章章 根轨迹根轨迹(guj)闭环传函：特征方程：特征(tzhng)根：Kg由0 时时描点法第3页/共69页第四页，共69页。j0123-11p1p2根轨迹根轨迹(guj)的基本概念的基本概念(续续)2-2可见：根轨迹图全面可见：根轨迹图全面(qunmin)的描的描述了述了K对对S1,
3、2分布的影响。分布的影响。第4页/共69页第五页，共69页。（1 1）KgKg从从根轨迹均在根轨迹均在 s s 左半平面，所以系统对左半平面，所以系统对 所有所有(su(su y y u)u)的的KgKg值都稳定。值都稳定。（2 2）0 0KgKg1 1，特征根为实数，过阻尼，无超调。，特征根为实数，过阻尼，无超调。（3 3）Kg=1Kg=1，特征根为重实数，临界阻尼，也无超调。，特征根为重实数，临界阻尼，也无超调。（4 4）KgKg1 1，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。（5 5）在）在GkGk中，有一个零值极点，系统为中，有一个零值极点，系统为1 1 型，阶跃
4、型，阶跃 下下essess0 0。根轨迹根轨迹(guj)的基本概念的基本概念(续续)这种方法虽直观(zhgun)，但高阶系统先求特征根再画根轨迹不太现实，应通过闭环特征方程找特征根。第5页/共69页第六页，共69页。绘制根轨迹的实质还是寻找绘制根轨迹的实质还是寻找(xnzh(xnzh o)o)特征方程特征方程1+GK=01+GK=0的的 根，所以满足根，所以满足GK(s)=-1GK(s)=-1的的s s值，都必定在根轨值，都必定在根轨 迹上，则根轨迹方程为：迹上，则根轨迹方程为：GK(s)=-1.GK(s)=-1.由于由于GK(s)GK(s)是复数是复数s s的函数的函数(hnsh)(hnsh
5、)，故上式为一矢量方程，故上式为一矢量方程二、根轨迹二、根轨迹(guj)方程：方程：第6页/共69页第七页，共69页。幅值方程幅值方程(fngc(fngchng)hng)：相角相角(xin jio)方程：方程：根轨迹根轨迹(guj)的基本概念的基本概念(续续)相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。确定根轨迹上某点对应的Kg值确定某点是否是根轨迹上的点第7页/共69页第八页，共69页。例2：单位(dnwi)反馈系统的 ,试判断s1(-1,j1)、s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。幅值条件幅值条件(tiojin)和相角条件和相角条件(tiojin)的应用
6、的应用解解:系统开环极点(jdin)为：-p1=0,-p2=-1无开环零点。由相角方程得：故s1不是根轨迹上的点。第8页/共69页第九页，共69页。例2：单位(dnwi)反馈系统的 ,试判断s1(-1,j1)、s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。幅值条件幅值条件(tiojin)和相角条和相角条件件(tiojin)的应用的应用解解:由相角(xin jio)方程得：故s2是根轨迹上的点。第9页/共69页第十页，共69页。例3：求上例中 s2(-0.5,-j1)对应(duyng)的Kg值。幅值条件和相角幅值条件和相角(xin jio)条条件的应用件的应用解解:由幅值方程(fngchng)得：
7、第10页/共69页第十一页，共69页。4-2 绘制根轨迹的基本(jbn)法则1 1、根轨迹的连续性、根轨迹的连续性根轨迹是连续变化的曲线或直线根轨迹是连续变化的曲线或直线(zhxin)(zhxin)2 2、根轨迹的对称性、根轨迹的对称性根轨迹位于复平面实轴或对称于实轴根轨迹位于复平面实轴或对称于实轴3 3、根轨迹的分支数、根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于系统阶数根轨迹的分支数等于系统阶数4 4、根轨迹的起点与终点、根轨迹的起点与终点起点：起点：n n个开环极点个开环极点终点：终点：m m个开环零点和个开环零点和n-mn-m个无穷大零点个无穷大零点第11页/共69页第十二页，共69页。证明证明(
8、zhngmng)(zhngmng)：根轨迹的起点是指：根轨迹的起点是指Kg=0Kg=0的根轨迹点，而的根轨迹点，而终点终点 是指是指KgKg的根轨迹点。的根轨迹点。1）当）当Kg=0时，有时，有s=-pi；则根轨迹则根轨迹(guj)必起始于开环极点。必起始于开环极点。绘制根轨迹绘制根轨迹(guj)(guj)的基本法则的基本法则(续续)第12页/共69页第十三页，共69页。2 2）当）当KgKg时，即终止于开环零点或无穷时，即终止于开环零点或无穷(wqing)(wqing)远处。远处。绘制根轨迹的基本绘制根轨迹的基本(jbn)(jbn)法则法则(续续)第13页/共69页第十四页，共69页。5、实
9、轴上的根轨迹(guj)：实轴上根轨迹(guj)区段的右侧，实轴上的开环零、极点数目之和应为奇数。绘制根轨迹绘制根轨迹(guj)(guj)的基本法则的基本法则(续续)第14页/共69页第十五页，共69页。6、根轨迹的渐近线：若nm，当Kg时，有（n-m）条趋于无穷远 处，它们趋向(qxing)的方位由渐近线决定：渐近线与实轴正方向渐近线与实轴正方向(fngxing)(fngxing)夹角：夹角：(k k=0,1,2,=0,1,2,n n-m m)渐近线与实轴交点渐近线与实轴交点(jiodin)的坐标：的坐标：绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)第15页/共69页第十六页，共69页。有
10、有3 3条趋于无穷条趋于无穷(wqing)(wqing)远处远处;例例 1：已知：已知 求渐近线求渐近线.绘制根轨迹绘制根轨迹(guj)(guj)的基本法则的基本法则(续续)渐近线方位角：渐近线截距：第16页/共69页第十七页，共69页。7 7、根轨迹的分离、根轨迹的分离(fnl)(fnl)点点(汇合点汇合点)及分离及分离(fnl)(fnl)角：角：几条根轨迹在几条根轨迹在s s平面上相遇又分开平面上相遇又分开-汇合点或分离汇合点或分离(fnl)(fnl)点。点。绘制根轨迹绘制根轨迹(guj)(guj)的基本法则的基本法则(续续)若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一个(y)分离点（包括
11、无穷远的极点）；若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个(y)汇合点（包括无穷远的点）；由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况少）。第17页/共69页第十八页，共69页。分离点的计算分离点的计算(j sun)(j sun)：绘制根轨迹绘制根轨迹(guj)(guj)的基本法则的基本法则(续续)则点第18页/共69页第十九页，共69页。2 2、极值法：在分离点、极值法：在分离点sdsd的的Kg(d)Kg(d)值不是值不是(b shi)(b shi)过阻尼的极过阻尼的极大值就是欠阻尼的极小值或相反。大值就是欠阻尼的极小值或相反。可见可见(kjin)：与重根法结果相同
12、。：与重根法结果相同。绘制根轨迹的基本绘制根轨迹的基本(jbn)(jbn)法则法则(续续)第19页/共69页第二十页，共69页。3 3、牛顿、牛顿(ni dn)(ni dn)余数定理法余数定理法 绘制根轨迹绘制根轨迹(guj)(guj)的基本法则的基本法则(续续)2 2、分析根轨迹，找出一个试探点、分析根轨迹，找出一个试探点s s1 1；第20页/共69页第二十一页，共69页。绘制根轨迹绘制根轨迹(guj)(guj)的基本法则的基本法则(续续)点。点。重根法或极值(j zh)法第21页/共69页第二十二页，共69页。绘制根轨迹的基本绘制根轨迹的基本(jbn)(jbn)法则法则(续续)牛顿(ni
13、 dn)余数定理法判断(pndun)是否为分离点的两方法：（1）作图，舍弃不在根轨迹上的点；（2）带入特征方程，舍弃令Kg=2时，闭环极点之和=开环极点之和=常数(chngsh)。且与Kg无关。闭环极点(jdin)的和与积（续）第31页/共69页第三十二页，共69页。因此，Kg时（或Kg时），若一部分闭环极点在 s平面上向右移(yu y)，则另一部分闭环极点必向左移；对于任一Kg，闭环极点之和保持不变。（用以判断 根轨迹在s平面上的走向）。应用：在n-m2时（1）根之和可以确定根轨迹走向，且在已知部分闭环极点时，用来(yn li)求其余的闭环极点。（2）根之积用来(yn li)求对应的Kg值。
14、闭环极点(jdin)的和与积（续）第32页/共69页第三十三页，共69页。闭环极点(jdin)的和与积（续）或第33页/共69页第三十四页，共69页。4 3 控制系统(kn zh x tn)根轨迹的绘制例4-15 已知系统(xtng)开环传函为试绘制Kg由0+变化时的根轨迹草图解（1）系统有4个开环极点：无开环零点(ln din),即n=4，m=0,有4条根轨迹分支。（2）实轴上的根轨迹区域为-3 0（3）n-m=4，故有4条渐近线，其截距和夹角分别为：第34页/共69页第三十五页，共69页。4 3 控制系统(kn zh x tn)根轨迹的绘制（4）根轨迹(guj)在实轴上的分离点（5）根轨迹
15、(guj)在开环极点-p3,4处的岀射角为：（6）根轨迹与虚轴之交点令实部虚部等于0得：第35页/共69页第三十六页，共69页。结论：当系统仅有两个开环极点-p1、-p2和一个开环零点-z时，其根轨迹要么是直线要么是圆弧；且圆弧的圆心 (-z,0)，半径控制系统控制系统(kn zh x tn)根轨迹的绘制（续）根轨迹的绘制（续）例例4-16：已知：已知画根轨迹。画根轨迹。解解（1）系统有两个开环极点）系统有两个开环极点 0，-2，一个，一个(y)开环零点开环零点-4；（2）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹(guj)区：区：-2,0，(-,-4;第36页/共69页第三十七页，共69页。控制系统根轨
16、迹控制系统根轨迹(guj)的绘制（续）的绘制（续）例例4-16：已知：已知画根轨迹画根轨迹(guj)。（3）平面上的轨迹是圆，圆心为平面上的轨迹是圆，圆心为(-4,0),半半径为径为 根轨迹根轨迹(guj)如右图所示，可知它与实轴的两分离点为：如右图所示，可知它与实轴的两分离点为：第37页/共69页第三十八页，共69页。二、参量二、参量(cnling)(cnling)根轨根轨迹迹l l参量根轨迹定义：参量根轨迹定义：l l在控制系统中，除开环增益在控制系统中，除开环增益(zngy)Kg(zngy)Kg和开环放大系数和开环放大系数K K以外，以外，其它参量变化时绘制出的根轨迹被称为参量根轨迹。其
17、它参量变化时绘制出的根轨迹被称为参量根轨迹。l l绘制根轨迹的关键：正确地求出等效开环传递函数绘制根轨迹的关键：正确地求出等效开环传递函数l绘制步骤：l(1)列出原系统的特征方程。l(2)以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到(d do)等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹增益。l(3)绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。第38页/共69页第三十九页，共69页。40二、参量二、参量(cnling)(cnling)根轨迹根轨迹例例4-17 4-17 已知系统已知系统(xt(xt ng)ng)结构图如下，试绘出参量结构图如下，试绘出参量 由由00变化时的根轨迹
18、。变化时的根轨迹。解 系统(xtng)开环传函为：系统特征方程为：得等效开环传函为：第39页/共69页第四十页，共69页。41二、参量二、参量(cnling)(cnling)根轨迹根轨迹等效开环传函有两个极点、一个(y)零点：实轴上的根轨迹(guj)区域为:(-，0)得等效开环传函为：平面上的根轨迹为圆弧，圆心(0,0)，半径为则的参量根轨迹如图所示。第40页/共69页第四十一页，共69页。42二、参量二、参量(cnling)(cnling)根轨迹根轨迹参量根轨迹可用来分析参数(cnsh)对系统性能的影响。（1）当=0时，系统(xtng)为欠阻尼情况，阻尼系数小，振荡剧烈；（2）当0=1.8时
19、，系统为过阻尼情况，无振荡，但调节时间变长。第41页/共69页第四十二页，共69页。第一步，得出等效开环传函；第一步，得出等效开环传函；(1)(1)列出原系统的特征方程。列出原系统的特征方程。(2)(2)以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到等效系以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹增益。根轨迹增益。第二步，根据第二步，根据(gnj)(gnj)根轨迹的绘制方法，绘制参量根轨迹。根轨迹的绘制方法，绘制参量根轨迹。二、参量根轨迹的绘制二、参量根轨迹的绘制(huzh)(huzh)步步
20、骤总结骤总结第42页/共69页第四十三页，共69页。为确定闭环系统的性能指标，评价系统性能的优劣(yu li)，需知道闭环零、极点。4-4 求取(qi q)闭环零极点的方法一、求闭环极点的方法一、求闭环极点的方法(fngf)：（以实例说明之）：（以实例说明之）例例1 1：单位反馈系统的：单位反馈系统的试用根轨迹法求取试用根轨迹法求取=0.5=0.5时的共轭闭环主导极点和其他闭环极点，并估算此时系统的性能指标。时的共轭闭环主导极点和其他闭环极点，并估算此时系统的性能指标。解：系统开环传函第43页/共69页第四十四页，共69页。求取闭环极点求取闭环极点(jdin)的方法（续）的方法（续）当Kg由0
21、变化(binhu)时的根轨迹如右图所示。由图可知(k zh)，系统稳定时，Kg的取值范围为：0Kg20即0K5第44页/共69页第四十五页，共69页。求取闭环极点求取闭环极点(jdin)的方法的方法（续）（续）画出=0.5的等阻尼(zn)线，它与负实轴的夹角为=60。设它与根轨迹的交点为-s1,-s2,-s3,读图知第45页/共69页第四十六页，共69页。求取闭环极点求取闭环极点(jdin)的方法的方法（续）（续）因n-m=3,故闭环极点(jdin)之和=开环极点(jdin)之和，即由根轨迹方程(fngchng)的幅值条件得对应于-s3点的Kg为：三个闭环极点中，实数极点与复数极点的实部之比和
22、模值之比分别为：故-s1,-s2满足主导极点的条件，-s3对系统性能的影响可忽略。第46页/共69页第四十七页，共69页。求取求取(qi q)闭环极点的方法（续）闭环极点的方法（续）该二阶系统(xtng)的特征参数：此时(c sh)，开环放大系数为：故静态误差系数为：故动态性能指标：该系统为型系统，在单位斜坡输入下的稳态误差为第47页/共69页第四十八页，共69页。求取求取(qi q)闭环极点的方法闭环极点的方法（续）（续）求闭环极点的方法：求闭环极点的方法：(1)画出系统根轨迹画出系统根轨迹(guj)；(2)根据根据；在根轨迹；在根轨迹(guj)图中画出等阻尼线；图中画出等阻尼线；(3)读图
23、求出交点处的极点；读图求出交点处的极点；(4)利用根之和及根之积公式求其它极点，及对应的开环放大系数；利用根之和及根之积公式求其它极点，及对应的开环放大系数；(5)利用降阶的方法求出系统动静态性能指标。利用降阶的方法求出系统动静态性能指标。注意：高阶系统降阶时，要保证其静态(jngti)性能保持不变。第48页/共69页第四十九页，共69页。51例例2：若要求阶跃响应下的若要求阶跃响应下的 问开环放大倍数问开环放大倍数K=？解：解：1）绘制）绘制(huzh)根轨迹：根轨迹：分离点：分离点：此时此时(c(c sh)Kg=16.9sh)Kg=16.9。与虚轴交点与虚轴交点(jiodin)：利用根轨迹
24、分析系统性能及确定系统参数利用根轨迹分析系统性能及确定系统参数利用根轨迹分析系统性能及确定系统参数利用根轨迹分析系统性能及确定系统参数第50页/共69页第五十一页，共69页。52-4-6CDs3ABs1s20jsd1所以所以(su(su y y)，稳定范围：，稳定范围：0K100K10。渐进线：渐进线：利用利用利用利用(lyng)(lyng)根轨迹分析系统性能及确定根轨迹分析系统性能及确定根轨迹分析系统性能及确定根轨迹分析系统性能及确定系统参数系统参数系统参数系统参数第51页/共69页第五十二页，共69页。53 若按性能指标找不出合适的闭环极点与若按性能指标找不出合适的闭环极点与K K值，就要
25、值，就要 改造改造(gizo)(gizo)根轨迹，附加校正环节。根轨迹，附加校正环节。利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能(xngnng)(xngnng)及确定系及确定系及确定系及确定系统参数统参数统参数统参数可见可见(kjin)满足题目要求满足题目要求第52页/共69页第五十三页，共69页。1 1、单位、单位(dnwi)(dnwi)反馈系统：反馈系统：即单位反馈系统的闭环零点即单位反馈系统的闭环零点(ln din)(ln din)等于开环零点等于开环零点(ln din)(ln din)。二、求取二、求取(qi q)闭环零点的方法闭环零点的方
26、法1 1、非单位反馈系统：、非单位反馈系统：设第53页/共69页第五十四页，共69页。即非单位反馈即非单位反馈(fnku)(fnku)系统的闭环零点由前向通道的零点和反馈系统的闭环零点由前向通道的零点和反馈(fnku)(fnku)通道的极点组成。通道的极点组成。求取求取(qi q)闭环零点的方法闭环零点的方法（续）（续）第54页/共69页第五十五页，共69页。求取求取(qi q)闭环零点的方法（续）闭环零点的方法（续）对于开环传函对于开环传函 中有零极点相消的情况中有零极点相消的情况可将原结构图等效为目的目的(md)：补齐闭环极点：补齐闭环极点例：例：图图4-33具有速度反馈的控制系统具有速度
27、反馈的控制系统利用开环传函求特征方程：利用开环传函求特征方程：由反馈通由反馈通道的零点道的零点补回丢失补回丢失的闭环极的闭环极点。点。第55页/共69页第五十六页，共69页。求取闭环零点求取闭环零点(ln din)的方法的方法（续）（续）例：例：图图4-33具有速度反馈的控制系统具有速度反馈的控制系统利用闭环传函求特征方程：利用闭环传函求特征方程：利用开环传函求特征方程：利用开环传函求特征方程：此时利用根轨迹求出的特征根是不全的。由反馈通由反馈通道的零点道的零点补回丢失补回丢失的闭环极的闭环极点。点。第56页/共69页第五十七页，共69页。58三、闭环零极点分布三、闭环零极点分布三、闭环零极点
28、分布三、闭环零极点分布(fnb)(fnb)与阶跃响应的定性与阶跃响应的定性与阶跃响应的定性与阶跃响应的定性关系关系关系关系(1)(1)稳定性稳定性系统稳定的充要条件是闭环极点均在系统稳定的充要条件是闭环极点均在S S左半平面，与闭环零点无关左半平面，与闭环零点无关(2)(2)快速性快速性闭环极点离虚轴越远，对应的瞬态分量衰减越快闭环极点离虚轴越远，对应的瞬态分量衰减越快(3)(3)平稳性平稳性共轭极点应位于共轭极点应位于=45=45的等阻尼的等阻尼(z(z n)n)线上，对应着最佳线上，对应着最佳 值值(4)(4)主导极点主导极点利用主导极点和降阶的方法可近似估算高阶系统的性能利用主导极点和降
29、阶的方法可近似估算高阶系统的性能(5)(5)闭环零点闭环零点闭环零点可以削弱或抵消闭环零点的作用，故利用偶极子可抵消对闭环零点可以削弱或抵消闭环零点的作用，故利用偶极子可抵消对系统性能起负作用的闭环极点的影响，从而提高系统性能。系统性能起负作用的闭环极点的影响，从而提高系统性能。(6)(6)稳态性能稳态性能与系统型别与系统型别(开环极点开环极点)和开环放大系数有关和开环放大系数有关第57页/共69页第五十八页，共69页。一、增加开环零点(ln din)对根轨迹的影响（1）改变根轨迹在实轴上的分布；（2）改变渐近线的条数、倾角和截距；（3）利用偶极子，可加入一个零点(ln din)来抵消有损于系
30、统性能的极点；（4）根轨迹曲线将向左偏移，有利于改善系统的动态性能和稳定性，而且，所加的零点(ln din)越靠近虚轴影响越大。45 增加开环零极点增加开环零极点(jdin)对根轨迹的对根轨迹的影响影响第58页/共69页第五十九页，共69页。二、增加(zngji)开环极点对根轨迹的影响（1）改变根轨迹在实轴上的分布；（2）改变渐近线的条数、倾角和截距；（3）改变分支数；（4）根轨迹曲线将向右偏移，不利于改善系统的动态性能和稳定性，而且，所加的极点越靠近虚轴影响越大。45 增加开环零极点对根轨迹增加开环零极点对根轨迹(guj)的的影响影响第59页/共69页第六十页，共69页。三、增加开环偶极子对
31、根轨迹的影响（1）开环偶极子对离它们较远的根轨迹形状和Kg没有影响；（2）位于原点附近的开环偶极子可显著地影响系统误差系数(xsh)，即在很大程度上影响系统的稳态误差。45 增加开环零极点增加开环零极点(jdin)对根轨迹对根轨迹的影响的影响增加开环偶极子的目的(md)：（1）抵消对系统性能有损的闭环极点；（2）增加开环放大系数，减小稳态误差。第60页/共69页第六十一页，共69页。45 增加开环零极点增加开环零极点(jdin)对根轨迹的影响对根轨迹的影响例例4-23 4-23 已知某系统的开环传函为已知某系统的开环传函为若若给给此此系系统统增增加加一一开开环环极极点点-2-2，或或增增加加开
32、开环环零零点点-2-2。试分别分析对系统根轨迹和动态性能带来的影响。试分别分析对系统根轨迹和动态性能带来的影响。第65页/共69页第六十六页，共69页。例：例2所述系统：阶跃下要求 已求得 若稳态 误差对K的要求不满足(mnz)，需增大K，可增加一 对偶极子，其极点比零点更靠近原点。增加开环偶极子对根轨迹(guj)的影响第66页/共69页第六十七页，共69页。因此使因此使 减小，稳态精度增加。减小，稳态精度增加。0j-6-1.57-4A2.1-2.1B他们基本上不影响他们基本上不影响A,B两点的根轨迹和两点的根轨迹和 值。但值。但K增加了：增加了：稳态性能稳态性能(xngnng)分析（续）分析（续）第67页/共69页第六十八页，共69页。69作业作业(zuy)n nP.187n n4-2（1）、（4）n n4-3（a）n n4-5第68页/共69页第六十九页，共69页。