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1、会计学1根轨迹根轨迹(guj)分析法分析法第一页，共97页。l 研究(y nji)调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计 调节器（设计问题）。l 研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性 之间的定性(d ng x ng)、定量关系（分析问题）；l 根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平 面的位置(w i zhi)（设计问题）；第1页/共96页第二页，共97页。伊凡思伊凡思(W.R.Evans)创立创立(chungl)根轨迹法根轨迹法（1948）几何(jh)图解求解特征根l 系统中某一参数在全部范围(f nw i)内（0）变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。l可以推广到其它参数的变化广义根
2、轨迹。l可用于单变量系统和多变量系统。l常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的。l利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控制系统。第2页/共96页第三页，共97页。本章本章(bn zhn)主要内主要内容容q以K为变量的常规根轨迹的绘制方法(fngf)q以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法(fngf)q根轨迹分析方法(fngf)的应用q利用根轨迹分析和设计控制系统第3页/共96页第四页，共97页。4.1 根轨迹根轨迹(guj)的概念的概念定义(dngy)：根轨迹(guj)系统中某一参数在全部范围内变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹。第4页/共96页第五页，共97页。1 根轨迹根轨迹
3、(guj)举例举例例4-1二阶系统的方块图如下，绘制(huzh)它的根轨迹。K开环传递函数：分析(fnx)：有2个开环极点没有开环零点。闭环特征方程求出2个闭环特征根：（4-1-1）闭环特征根是K的函数。当K从0变化，闭环特征根在根平面上形成根轨迹。闭环传递函数：第5页/共96页第六页，共97页。K K取不同取不同取不同取不同(b(b tntn)值：值：值：值：（等于两个(lin)开环极点）ImRe0(两根重合(chngh)于0.5处)（即0K1/4，两根为实根）1 0.5(两根为共轭复数根，其实部为0.5)第6页/共96页第七页，共97页。总结总结(zngji)：q有两个闭环极点(jdin)
4、，有2条根轨迹。q根轨迹(guj)是从开环极点出发点。q通过选择增益K，可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上。q如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求。ImRe01 0.5 这是个？阶系统，2q根轨迹上的点与K值一一对应。根轨迹是连续的。K第7页/共96页第八页，共97页。例例例例4-24-2对上述单位反馈(fnku)的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数=0.5，确定系统闭环特征根。根据以前课程，根据阻尼(zn)系数求出阻尼(zn)角。解：阻尼角计算(jsun)如下：ImRe0 10.5第8页/共96页第九页，共97页。q阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹(guj)交点处
5、的K值可以计算出来。q与（4-1-1）式比较(bjio)得：即K=1。（4-1-1）获得系统的根轨迹有两个(lin)方法：q图解法：利用Evans总结的规律画出根轨迹。近似、简单，尤其适合高阶系统q解析法：对闭环特征方程解析求解，逐点描绘。精确，工作量大ImRe0 10.5第9页/共96页第十页，共97页。4.2 根轨迹根轨迹(guj)绘制的基本规则绘制的基本规则1、根轨迹(guj)的基本关系式典型的反馈(fnku)控制系统如图:G(s)H(s)其开环传递函数：（4-2-1）其中：K:开环增益开环零点 开环极点第10页/共96页第十一页，共97页。闭环传递函数：闭环传递函数：闭环传递函数：闭环
6、传递函数：闭环特征方程为：它们(tmen)满足：G(s)H(s)G(s)H(s)是复数(fsh)，在复平面上对应一个矢量：-1第11页/共96页第十二页，共97页。绘制根轨迹(guj)必须满足的基本条件：（相角公式(gngsh)：积的相角等于相角的和，商的相角等于相角的差）幅值条件(tiojin)相角条件（积的模等于模的积，商的模等于模的商）第12页/共96页第十三页，共97页。注意：1.这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的s值都是系统的特征根，把它们(tmen)在s平面上画出，就构成了根轨迹。2.观察两式，均与开环零极点有关(yugun)，也就是说，根轨迹是利用开环零极
7、点求出闭环极点。画法：利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连成根轨迹(guj)。确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值。相角条件幅值条件第13页/共96页第十四页，共97页。例例例例4-3 4-3 某系统(xtng)开环传递函数分析(fnx)：在s平面上，表示(biosh)开环零点，表示(biosh)开环极点。2个开环极点p1和p2。设s是系统的一个闭环特征根，相角条件：可以通过幅值条件，求出此s值下的K值:s则它必须满足：一个开环零点z1，第14页/共96页第十五页，共97页。2、绘制、绘制(huzh)根轨迹的基根轨迹的基本规则本规则例4-4要求(yoqi)画出根轨迹。某单位(
8、dnwi)反馈系统分析：1个开环零点，3个开环极点，0-5-2-10第15页/共96页第十六页，共97页。规则规则规则规则(guz)(guz)一、一、一、一、根轨迹(guj)的分支数：根轨迹(guj)的分支数等于开环极点数n。闭环系统(xtng)的阶次为3，有3条根轨迹。闭环极点数=闭环特征方程的阶次=开环传递函数的阶次=开环极点数例中，例中，第16页/共96页第十七页，共97页。规则规则规则规则(guz)(guz)二、二、二、二、根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点(jdin)，终止于开环零点或无穷远点。根轨迹是K从0时的根变化轨迹，因此(ync)必须起于K=0处，止于K=处。观察幅值条
9、件：如果nm,m条根轨迹趋向开环的m个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处。对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。第17页/共96页第十八页，共97页。规则规则(guz)三、三、根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支(fnzh)是连续的，且对称于实轴。证明(zhngmng)：（1）连续性从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的。证明：（2）对称性因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。第18页/共96页第十九页，共97页。*规则规则规则规则(guz)(guz)四、四、四、四、
10、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数(shsh)开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。例如系统的开环零、极点(jdin)分布如图。012 5要判断和之间的线段是否存在根轨迹，取实验点q开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的开环零极点决定。q处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均为零，相角条件由其右边的零极点决定。q奇数个，无论如何加减组合，总能使（2k1)(k=0,1,2,)成立。相角条件第19页/共96页第二十页，共97页。对于对于(duy)例例题，题，在实轴上的根轨迹(guj)：0 1 2 5一条(ytio)始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开
11、环极点，止于无穷远处。规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。第20页/共96页第二十一页，共97页。渐近线：根轨迹(guj)有n-m条渐进线。渐近线与实轴的夹角(jijio)为：渐近线与实轴的交点(jiodin)为：l它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状规则五、规则五、规则五、规则五、第21页/共96页第二十二页，共97页。证明证明(zhngmng)：见图4-5。对于位于根轨迹(guj)上某一动点s0，从各开环零极点到这一点的向量的相角(xinjio)随s0轨迹的变化而变化，当s0
12、到达无穷远处，各相角相等，令其为，可写成：进而求出渐近线夹角：图图450 1 2 5第22页/共96页第二十三页，共97页。由对称性知，由对称性知，由对称性知，由对称性知，渐近线一定(ydng)交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。按照重心(zhngxn)的求法，可求知交点的坐标对例4-4，交点(jiodin)坐标为：即（1，j0）。渐近线与实轴夹角为：10 1 2 5第23页/共96页第二十四页，共97页。规则(guz)六、当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根轨迹进入(jnr)(离开)分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角。性质(xngzh):(重点讨论实轴上的分离点）
13、q在此点上必出现重根。q利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴上两相邻开环极点间时，必有一分离点。q若当根轨迹出现在实轴两相邻开环零点间（包括无穷远处）时，必有一分离点。q根轨迹在该点上对应的K是这段实轴区域的极值。第一分离点：最大值，第二分离点：最小值。K=0K=0K=K=分分离离点点分分离离点点根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式的解。分离角l是重根数。第24页/共96页第二十五页，共97页。由求极值由求极值(j zh)的公的公式求出：式求出：它们(tmen)可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)在实轴根轨迹(guj)上，求使K达到最大（最小）值的s值:注意：求出结果，需经判断，保留
14、合理解。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。第25页/共96页第二十六页，共97页。在例题在例题在例题在例题(lt)4-4(lt)4-4中，中，中，中，解出：对上图的观察，后两个根不在根轨迹(guj)上，因此交点坐标为（-0.447,j0）处。0 1 2 510.447求出分离(fnl)角为:第26页/共96页第二十七页，共97页。规则规则(guz)七、七、根轨迹(guj)与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定(wndng)状态，此时系统出现虚根。在例4-4中，系统闭环特征方程式为：即：劳劳斯斯行行列列式式q当6-2K=0时，特征方程出现共轭虚根，求出K3。q虚根可利用s2行的辅助
15、方程求出：与虚轴的交点交点和相应的K值利用劳斯判据求出。第27页/共96页第二十八页，共97页。与虚轴的交点为例4-4的根轨迹(guj)如图。0 1 2 51K=.084.4471、画出开环零极点、画出开环零极点(jdin)2、确定、确定(qudng)根轨迹根数根轨迹根数3、确定起止点，画出实轴上的根轨迹、确定起止点，画出实轴上的根轨迹4、求渐进线（、求渐进线（nm）5、求分离点、求分离点6、求与虚轴交点、求与虚轴交点7、画出根轨迹、画出根轨迹8、求出特殊点对应的、求出特殊点对应的K值值K值由根轨迹幅值条件求出：如分离点（-0.447,j0）处的K值：第28页/共96页第二十九页，共97页。规
16、则规则规则规则(guz)(guz)八、八、八、八、根轨迹(guj)的起始角：在开环复数(fsh)极点px处，根轨迹的起始角为：在开环复数零点zy处，根轨迹的终止角为：若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。第29页/共96页第三十页，共97页。证明证明(zhngmng)：设一系统的开环零、极点(jdin)分布如图所示，点为从出发的根轨迹上一点。该点到所有零极点的角度应符合相角条件：当s0一点点趋近p3时，可认为为处的起始角l 而p1、p2、p4、z都分别(fnbi)趋近于各开环零极点相对于P3点的矢量的相角。第30页/共96页第三十一页，共97
17、页。此时，起始角可以计算：同理可证明终止(zhngzh)角。第31页/共96页第三十二页，共97页。例例例例4-5 4-5 设系统(xtng)开环零极点图如图。其中(qzhng)图图4-7确定根轨迹离开(lki)共轭复数根的起始角。根据公式：考虑到根轨迹的对称性，起始角p3=-5，p4=5第32页/共96页第三十三页，共97页。例例例例4-6 4-6 作的根轨迹。开环极点(jdin)3个：分析(fnx)：n=3，m=0,没有开环零点。(在s平面(pngmin)上的极点处标以“”，)根据规则一、二、三：根据规则四，实轴上0-为根轨迹。分别起始于3个开环极点，均终止于无穷远处。根轨迹有三个分支：第
18、33页/共96页第三十四页，共97页。根据(gnj)规则五，求渐近线:n-m=3条例例4-6 渐近线与实轴夹角渐近线与实轴夹角(ji jio)：渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点(jiodin)：-2.76760没有分离点。没有分离点。第34页/共96页第三十五页，共97页。例例例例4-6 4-6 根据规则(guz)七：求出根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程：K=256，必对应于一对(ydu)纯虚根，以的系数构成辅助方程:-j5.66j5.66第35页/共96页第三十六页，共97页。例例4-6 根据(gnj)规则八求起始角：对P2，根轨迹(guj)的起始角为：由对称性知：-4-j4处的起始(q
19、sh)角为45j5.66-j5.66根轨迹完成。根轨迹完成。第36页/共96页第三十七页，共97页。例例例例4-7 4-7 作的根轨迹。该系统(xtng)n=3，m=1。根据(gnj)规则一、二、三：一个(y)零点：有三个开环极点：-2-4-6-12该根轨迹有三个分支,分别起始于p=0(两条)和p=-12处，有一个分支终止于z=-1,另两个分支趋于无穷远。根据规则四：实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。第37页/共96页第三十八页，共97页。例例例例4-74-7根据(gnj)规则五：渐近线有2条，n-m2。-5.5渐近线夹角(jijio)：渐近线与实轴的交点(jiodin)：-2-4-6-1
20、2第38页/共96页第三十九页，共97页。例例4-7根据规则七、求根轨迹(guj)与虚轴的交点。闭环特征方程是：K0时，第一列元素都为正值(zhnzh)，根轨迹与虚轴交点于K=0处。-2-4-6-12第39页/共96页第四十页，共97页。例例4-7根据(gnj)规则六、求分离点则：s1=-5.18,s2=-2.31，s30。可知(kzh)一部分根轨迹为圆。据此，可画出根轨迹。均在根轨迹(guj)上。大Ks1小Ks2-2-4-6-12求出分离角为:-5.5第40页/共96页第四十一页，共97页。例例4-7利用(lyng)幅值条件，可求出分离点的K值。s2是第一(dy)分离点，s1是第二分离点。完
21、整(wnzhng)的绘出根轨迹如图所示。-2-4-6-12作业：4-7，4-5(2)(4)s1=-5.18,s2=-2.31，s30。第41页/共96页第四十二页，共97页。4.3 广义广义(gungy)根轨根轨迹迹常规根轨迹(guj)以开环增益K为可变参量这些参数必须(bx)以线性形式出现在特征方程中。（如某些开环零极点、调节器PID参数或者系统的时间常数等）广义根轨迹其它参数为变量常用的研究方法把广义根轨迹转换成常规根轨迹，使用常规根轨迹的方法绘制广义根轨迹。第42页/共96页第四十三页，共97页。1、单参数、单参数(cnsh)根轨迹根轨迹绘制广义根轨迹(guj)的步骤如下：(2)列写以新
22、的变量表示(biosh)的等效系统开环传递函数(GH)e(1)写出原系统的闭环特征方程式；l概念：指具有相同的闭环特征方程：l做法：从原系统的闭环特征方程出发，把与新变量有关的项写到分子上，其余部分写在分母上。这样，参变量移到K的位置。因而具有相同的闭环特征根。(3)把等效系统的参数当作原系统中的增益K，以常规根轨迹的绘制规则，绘制广义根轨迹。绘制广义根轨迹的关键是得到等效开环传递函数等效开环传递函数。第43页/共96页第四十四页，共97页。（1）等效）等效(dn xio)开开环传递函数环传递函数以下图所示的调节(tioji)系统为例说明。Gc(s)R(s)Y(s)1、第44页/共96页第四十
23、五页，共97页。2、Gc(s)R(s)Y(s)第45页/共96页第四十六页，共97页。3、Gc(s)R(s)Y(s)第46页/共96页第四十七页，共97页。广义根轨迹广义根轨迹(guj)绘绘制总结：制总结：l 关键点要把新参数(cnsh)移到原K的位置上，利用常规 根轨迹的画法。等效(dnxio)只等效(dnxio)在闭环特征方程和它的解(闭环极点)上，不等效(dnxio)在闭环传递函数上。l移动的原则是等效系统的闭环特征方程必须和原系统相同。必须注意：广义根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响，不能用于分析整个闭环系统。闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对系统的闭环过程也有影响。第47页/共9
24、6页第四十八页，共97页。（2）广义）广义(gungy)根轨根轨迹的画法迹的画法绘制当对象(duxing)的开环极点p变化时的广义根轨迹。例4-8开环传递函数：开环极点(jdin)：闭环特征方程:K=4等效系统的开环传递函数R(s)Y(s)第48页/共96页第四十九页，共97页。分析分析(fnx)：l等效系统有两个开环极点，一个开环零点0。l根轨迹起点于，终止于零和无穷远处。渐近线：Im(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2求分离点坐标(zubio)：l 负实轴为根轨迹(guj)，有一分离点。P=0把把s-2代入代入p的公式，求出此点的公式，求出此点p=4。研究开环极点对闭环极点的影响分离角
25、为分离角为90。K=4R(s)Y(s)P=0无阻尼；0p4过阻尼。第49页/共96页第五十页，共97页。还可以还可以还可以还可以(ky(ky)画出在画出在画出在画出在p=0p=0时，时，时，时，K K从零到无穷大变化时的根轨迹。从零到无穷大变化时的根轨迹。从零到无穷大变化时的根轨迹。从零到无穷大变化时的根轨迹。此时(csh)，系统的开环传递函数为：闭环特征方程：根轨迹为两条从原点出发，沿正负(zhnf)虚轴趋向无穷远处的轨迹。求特殊点的K值。0j2(K=4)-j2(K=4)p=0在处两图都有K=4，p=0。比较比较开环极点：Im(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2P=0K=4第50页/共9
26、6页第五十一页，共97页。2、多参数、多参数(cnsh)根轨迹根轨迹当系统中有两个以上参数变化(binhu)时的根轨迹叫作根轨迹族。根轨迹(guj)族的一般做法是：l每次选定一个参数为常数，让另一个参数从零变化到无穷大，画出根轨迹；l随后，改变第一个参数值，重复前面的过程画出根轨迹。第51页/共96页第五十二页，共97页。有两种做法有两种做法有两种做法有两种做法(zuf(zuf)：以上述系统为例，绘出当系统开环增益K和开环极点p从零到无穷大变化(binhu)时的根轨迹族。（1）分别取K为不同值，画出参数p变化(binhu)时的根轨迹。此时，等效开环传递函数为：l对应于任何K，都有2条根轨迹。l
27、复平面上的根轨迹是以原点为圆心，半径是的半圆，与实轴交点在-。见图。l起点于等效开环传递函数的极点,止于零和无穷远处。-1-2-3P=P=0 j1(K=1)j2(K=4)j3(K=9)第52页/共96页第五十三页，共97页。（2 2）分别取）分别取）分别取）分别取p p为不同值，画出参数为不同值，画出参数为不同值，画出参数为不同值，画出参数(cnsh)K(cnsh)K变化时的根轨变化时的根轨变化时的根轨变化时的根轨迹。迹。迹。迹。此时(csh)，开环传递函数为：q对应于任意p值都有2条根轨迹；q起点在开环极点0和-p；q实轴上根轨迹在-p和0之间；q分离点坐标(zubio)是-p/2，分离角为
28、90；q2条根轨迹经-p/2交点后，分别平行于虚轴，趋向无穷远处。0-3-2-1P=2P=4P=0第53页/共96页第五十四页，共97页。表面表面(biomin)看来，看来，P=2P=4上述(shngsh)两图不同，但仔细观察，在两图中，当K和p取相同一组值时，特征根s也取相同值。-1-2-3P=P=0j1(K=1)j2(K=4)j3(K=9)如K=4，p=4，s=-2，0-3-2-1P=2K=4P=4第54页/共96页第五十五页，共97页。4.4 利用根轨迹分析利用根轨迹分析(fnx)控控制系统制系统l 主要分析和讨论影响根轨迹(guj)形状的因素l 系统特征根在S平面上的位置与动态指标的关
29、系l目的在于(z iy)给出系统设计的指导方向l改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统控制质量的影响第55页/共96页第五十六页，共97页。一、特征根与系统一、特征根与系统(xtng)动态指动态指标的关系标的关系j5010-5112233见图。它们(tmen)对应的单位阶跃响应过渡曲线见图。的虚部，1和3有相同(xintn)2和3有相同的实部；轴有相同的夹角；1和2对实在s左半平面有三类共轭复根，y1.500.52.5t11.521123共轭复根第56页/共96页第五十七页，共97页。y1.500.52.5t11.52112y1.500.52.5t11.52113y1.500.52.5t11
30、.52123j5010-5112233特征(tzhng)根与系统动态指标的关系第57页/共96页第五十八页，共97页。1、超调量、超调量和衰减和衰减(shui jin)比比n 超调量衰减(shuijin)比它们(tmen)与实轴的夹角：如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时，在s平面上与实轴有相同夹角的直线叫等线，落在等线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。越小，系统越振荡，超调量越大，衰减比越小，相对的稳定性变差。等线越靠近虚轴，y1.500.52.5t11.5211212第58页/共96页第五十九页，共97页。它是极点(jdin)虚部的函数。在s平面上平行于实轴的直线叫作等频线(等线)
31、。落在这条线上的极点具有相同的虚部，它们(tmen)的峰值时间相同，振荡频率相同。2、峰值、峰值(fn zh)时间时间tp等频线离实轴越远，则tp越短，振荡频率越高，tp反比于虚部值。y1.500.52.5t11.52113j5010-513第59页/共96页第六十页，共97页。3、调节时间、调节时间(shjin)ts（过渡（过渡时间时间(shjin)）它是极点(jdin)实部的函数。在s平面上平行(pngxng)于虚轴的直线叫作等线。等线离虚轴越远，它所对应的过渡过程时间ts越短。ts与实部值成反比。落在这条线上的极点具有相同的实部，它们对应相同的调节时间。y1.500.52.5t11.52
32、12323第60页/共96页第六十一页，共97页。等频线等频线综上所述，综上所述，在五种常用的质量指标(zhbio)中，四种动态指标(zhbio)可以在根平面中用三种直线表示。l 衰减(shui jin)比和超调量都可以用等线代表i0等等 线线等等线线合格合格(hg)区区l当系统主要的特征根落在这个合格区内时，控制系统的质量就可达到原定的要求。l它们重合的部分符合所有指标。l这三种直线的合格区域都可以用阴影表示出来，如图中所示。l振荡频率用等频线代表l调节时间用等线代表第61页/共96页第六十二页，共97页。l 即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满 足系统设计(sh j)的要求。l 例如，
33、不仅仅改变(gibi n)调节器参数Kc，而且改变(gibi n)调节器结构，给系统增加 开环零极点。l 但是，在很多时候(sh hou)，只调整增益 不能满足系统的性能。此时必须 改造根轨迹。l 当根轨迹落在这个合格区内时，通过选择合适的参数值K，使系统的质量达到原定的要求。i0等频线等频线等等线线合格区合格区第62页/共96页第六十三页，共97页。二、开环极点对根轨迹二、开环极点对根轨迹(guj)和系统控制质量和系统控制质量的影响的影响例4-8开环传递函数为：渐近线：夹角(jijio):与实轴交点(jiodin)：与虚轴交点:第63页/共96页第六十四页，共97页。分离点：-0.146，d
34、K/ds=0例例例例4-84-8传递函数：渐近线：夹角(jijio):与实轴交点(jiodin)：与虚轴交点(jiodin):时间常数的变化相当于开环极点的变化。根轨迹如图所示。10.50-0.5-1-0.1-0.5-0.20第64页/共96页第六十五页，共97页。如果如果如果如果(rgu(rgu)，将-0.2这个开环极点增大到0.16，相当于时间常数(shjinchnsh)T2从5增大至6.25，其根轨迹如图所示。可以看出，一个开环极点增大(向右移动)，闭环系统的一对主要(zhyo)复根的轨迹必然会向右移动。10.50-0.5-1-0.1-0.5-0.20 过渡过程时间增加，使系统稳定的K值
35、下降。第65页/共96页第六十六页，共97页。0.1-0.05-0.2-0.4000.05-0.10.05-0.05-0.5-1.5-100例例例例4-9研究系统中增加极点对根轨迹(guj)的影响。（a）单极点系统（b）双极点10.50-0.5-1-0.2-0.6-.40（c）三极点l增加(zngji)开环极点（在右边增加(zngji)）相当于增加系统的时间常数，使根轨迹向右方移动，降低系统的稳定性，增加系统的过渡(gud)时间。l原点处增加一开环极点相当于在系统中增加积分作用，与图（c）类似，降低稳定性，但可以消除余差。作业：4-10，4-14（a:0）,并说明参数a的取值对系统阶跃响应性能
36、的影响。第66页/共96页第六十七页，共97页。q它在小增益(zngy)时是稳定的，在大增益(zngy)时是不稳定的。q增加零点后，系统对所有(suyu)增益值都是稳定的。q零点越靠近虚轴，根轨迹向左移动，稳定性能越好。q与增加极点的效果(xiogu)相反。Z=-0.6Z=-.3Z=-.1没没有零点有零点*三三、开环零点对系统控制质量的影响、开环零点对系统控制质量的影响要使根轨迹向右偏，增加开环极点，向左偏，增加开环零点。要使根轨迹向右偏，增加开环极点，向左偏，增加开环零点。第67页/共96页第六十八页，共97页。例例例例4-10 绘制某单位反馈系统的根轨迹，分析(fnx)Td对根轨迹的影响。
37、相当于增加一个 的开环零点。第68页/共96页第六十九页，共97页。例4-10讨论(toln)：(c)Td=1.25(b)Td=0.5(a)Td=0(1)若Td=0，K取何值，闭环系统(xtng)皆不稳定。(2)若选用Td=0.5，它把根轨迹拉进了稳定(wndng)区域，K 4以后系统总是稳定(wndng)的。（3）当微分时间加大（开环零点更靠近虚轴时）,一对复数极点会离开虚轴更远一些，过程的振荡减弱。第69页/共96页第七十页，共97页。例例例例4-11 画出例4-10以Td为参变量的根轨迹(guj)（K50）。等效(dn xio)开环传递函数是：-1-3-5123456789j等效(dn
38、xio)开环传递函数有一个零点及三个极点。闭环特征方程：分析分析第70页/共96页第七十一页，共97页。-1-3-5123456789j可得到下列可得到下列(xili)(xili)数据数据Td=0.254 0.40.5651.01渐进(jinjn)线：90，a=-2与虚轴交点(jiodin)：从复数极点的起始角：138.4例4-11但Td再增加，ts减少减慢，振荡频率急剧增加，不利于稳定。Td=1.41.121.070.6250.5280.20Td0.25，系统才稳定；随着Td，d，振荡频率增加，根轨迹离虚轴远，ts减少；第71页/共96页第七十二页，共97页。在开环传递函数上增加(zngji
39、)零点:l 在系统中增加微分作用(zu y ng)，其实质是增加开环零点。l 可以导致根轨迹向左方面移动，从而增加系统 的稳定性，减小系统响应的过渡(gu d)时间。总结总结l微分作用加大（即开环零点更靠近虚轴）有助于改善系统性能，但微分作用并不是越大越好。l使根轨迹向右方移动，降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间。l在系统中增加积分作用，其实质是增加开环极点。在开环传递函数上增加极点:第72页/共96页第七十三页，共97页。4.5 4.5 利用利用(lyng)(lyng)根轨迹设计控根轨迹设计控制系统制系统一、设计(shj)准则系统设计所依据的性能指标(zhbio)为：稳态指标(zhbio)
40、与动态指标(zhbio)。（1）稳态性能指标 稳态误差es。（2）动态性能指标：通常以系统的阶跃响应来进行描述：常用的指标有上升时间tr、峰值时间tp、超调量、调节时间ts等。第73页/共96页第七十四页，共97页。设计设计(shj)步步骤：骤：等等 线线i0等频线等频线等等线线合格区合格区l 确定系统(x tng)的根轨迹是否穿过 阴影区域。l 如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域，就要设计相应的校正装置，增加开环极点和开 环零点(l n din)，使得校正后的根轨迹落到阴影区域，然 后选择K，实现给定的性能要求。l如果是，只要确定根轨迹增益K就可以完成设计工作。l根据提出的性能指标，画出
41、指标线，确定合格区。第74页/共96页第七十五页，共97页。二、基本校正二、基本校正(jiozhng)装置装置（1）超前校正(jiozhng)装置（微分校正(jiozhng)）（2）滞后(zh hu)校正装置（积分校正）（3）微分积分校正装置第75页/共96页第七十六页，共97页。（1 1 1 1）超前校正装置）超前校正装置）超前校正装置）超前校正装置(zhungzh)(zhungzh)(zhungzh)(zhungzh)（微（微（微（微分校正）分校正）分校正）分校正）微分校正环节用来改善原系统的动态性能(xngnng)，它使根轨迹向左移，以此改善系统的超调量和调节时间ts。其传递函数：恒有：
42、PDZD超前校正 实际(shj)微分环节0S平面平面(a)GD(s)零极零极点点(b)GD(s)的幅值与幅角的幅值与幅角0S平面平面第76页/共96页第七十七页，共97页。（2 2 2 2）滞后）滞后）滞后）滞后(zh hu)(zh hu)(zh hu)(zh hu)校正装置（积分校校正装置（积分校校正装置（积分校校正装置（积分校正）正）正）正）积分校正可以改善系统(xtng)的稳态性能。在原点附近增加一对积分性质的偶极子，增加系统(xtng)的开环增益，改善系统(xtng)的稳态特性,同时不影响动态特性。积分校正装置的传递函数为0S平面平面恒有PI240时，闭环系统(xtng)是不稳定的。要
43、求求出阻尼系数=0.5，等线与实轴夹角为：求交点坐标（阻尼角为600）和对应的K值。如何求？解：第82页/共96页第八十三页，共97页。正切公式：交点坐标可根据相角交点坐标可根据相角交点坐标可根据相角交点坐标可根据相角(xin jio)(xin jio)(xin jio)(xin jio)条件计算出：条件计算出：条件计算出：条件计算出：两边两边(lingbin)求求正切，正切，利用利用(lyng)公式：公式：舍去另一不在根轨迹上的根。50-5-6-10-802-4-2K=17=A=B第83页/共96页第八十四页，共97页。必须判断该点是否是闭环主导(zhdo)极点。求另一闭环极点(jdin)（
44、在实轴上），把K=43.8代入特征方程：求解(qiji)得比较三个闭环极点发现，一对复数极点是系统的一对闭环主导极点（实部比在5倍以上）。可以用这对闭环主导极点的响应过程分析系统的响应。从幅值条件求出该点 的K值：50-5-6-10-802-4-2K=17K=43.8K=43.8K=43.8第84页/共96页第八十五页，共97页。四、超前校正四、超前校正(jiozhng)设计设计（微分校正（微分校正(jiozhng)）q 首先绘制(huzh)对象的根轨迹：-2q 考虑为系统增加一个超前补q 偿环节(hunji)D(s)=s+2,即增加了q 一个附加零点s=2。超前校正器使根轨迹左移，调节时间减
45、小。01 K小时，过阻尼系统，K增加，临界阻尼系统，K继续增加，欠阻尼系统，K大时，仍稳定，但振荡频率增加，调节时间不变化，ts3/=6s例:对象的开环传递函数：单纯的微分器不可实现。单纯的微分器不可实现。=-0.6第85页/共96页第八十六页，共97页。解决解决解决解决(jiju)(jiju)方方方方法：法：法：法：在零点左面相当远处(yun ch)选一极点s=-20.使补偿器为：实际微分(wifn)环节q优点依然存在，但克服了缺点。补偿器增加阻尼，不改变微分性质。q超前校正器的零极点的精确选取要通过经验和试差完成。50-5 -2-100第86页/共96页第八十七页，共97页。50-5 -2
46、-100五、滞后校正五、滞后校正(jiozhng)设计设计（积分校正（积分校正(jiozhng)）例:先用超前校正(jiozhng)1根据要求动态指标(zhbio)取=0.707，阻尼角45，则K=31。q要求满足ts5s，同时要求当=0.707，给定为斜坡输入时，稳态误差0.035。2 当给定为斜坡输入时，计算速度误差系数：K=31第87页/共96页第八十八页，共97页。现增加一个积分补偿现增加一个积分补偿现增加一个积分补偿现增加一个积分补偿(bchng)(bchng)(bchng)(bchng)环节。环节。环节。环节。加入积分校正(jiozhng)后改善了系统稳态性能。积分性质(xngzh
47、)的偶极子：极点离虚轴近；零点离极点近，距离310倍。50-5 -2-10050-5-.10第88页/共96页第八十九页，共97页。积分校正的一般积分校正的一般(ybn)(ybn)设设计方法：计方法：极点实部取零点实部的1/31/10，即取零点(lndin)实部取主导极点实部的1/51/10;结论(jiln):(1)滞后补偿器的加入会使根轨迹右移。(2)在z、p都很小,则主导极点附近根轨迹右移很小，动态性能降低很小。(3)由于补偿器的增益补偿值。故可使校正后对象GD(s)GI(s)G(s)开环放大倍数增加了倍，即减少了es，改善了系统的稳态性能。第89页/共96页第九十页，共97页。算法算法(
48、sun(sun f)f)总结：总结：根轨迹确定(qudng)点的求解方法。（1）求取根轨迹上某一点(ydin)的坐标（已知阻尼角）：（3）已知根轨迹上某一点坐标（K值已确定），求解其它点坐标（闭环极点）l利用几何图形丈量距离l利用幅值条件求解（2）求取根轨迹上某一点对应的K值（已知坐标点）：利用相角条件，利用正切公式。第90页/共96页第九十一页，共97页。l l 把确定把确定(qu(qu dd ng)ng)的的KK值代入闭环特值代入闭环特征方程，求解。征方程，求解。l 利用条件：当mn1时，特征方程根之和为常数，不随K值变化。开环极点是当K=0时特殊的闭环极点。因已知，可直接求出K=0时的特
49、征方程根之和。当又知K等于(dngy)确定值时的几个极点坐标，因此可以求出最后一个特征根的坐标。如例题(lt)，K=0时，特征根之和0-4-6=-10。第91页/共96页第九十二页，共97页。本章本章(bn zhn)主要内容主要内容q以K为变量的常规根轨迹的绘制方法q以其它参数(cnsh)为变量的广义根轨迹的绘制方法q根轨迹分析方法的应用q利用根轨迹分析和设计控制系统作业(zuy)：试做例题4-10第92页/共96页第九十三页，共97页。实验五实验五 PID调节规律对系统调节质量的影响调节规律对系统调节质量的影响模拟飞机自动驾驶仪，改变调节器参数，研究实模拟飞机自动驾驶仪，改变调节器参数，研究
50、实际航向角的控制过程。际航向角的控制过程。实验六实验六 根轨迹实验根轨迹实验针对飞机自动驾驶仪系统分别选用：针对飞机自动驾驶仪系统分别选用：比例调节比例调节器，器，比例积分调节器，比例积分调节器，比例微分调节器，要比例微分调节器，要求分别绘制出这三种求分别绘制出这三种(sn zhn)情况下的根轨迹情况下的根轨迹图。图。时间时间(shjin)：11月月22日（周一）日（周一）78 节节地点：地点：3楼机房楼机房 第93页/共96页第九十四页，共97页。10.50-0.5-1-01-0.3-0.20开环极点(jdin)增大,可以通过调整K保持衰减系数不变（等线），但过渡过程时间必然增加，使系统稳定