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1、1 1、傅立叶（、傅立叶（FourierFourier）级数的展开方法；）级数的展开方法；2 2、傅立叶（、傅立叶（FourierFourier）积分的展开条件与展开方法；）积分的展开条件与展开方法；3 3、傅立叶谱的物理意义。、傅立叶谱的物理意义。重点傅里叶生平傅里叶生平1768年生于法国年生于法国1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数的级数表示数的级数表示”1822年发表年发表“热的分热的分析理论析理论”，首次提出，首次提出“任何非周期信号都任何非周期信号都可用正弦函数的积分可用正弦函数的积分表示表示”5.1 5.1 傅里叶（傅里叶（FourierFour
2、ier）级数）级数一一.周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开 在工程计算中在工程计算中,无论是电学、力学、光学无论是电学、力学、光学,经常要和随经常要和随时间而变的周期函数时间而变的周期函数f fT T(t t)打交道打交道.例如例如:最常用的一种周期函数是三角函数最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(t+)其中其中=2/T具有性质具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。的函数称为周期函数。t 工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近的线性组合来逼近.方波4 4个正弦波的逼近个正弦波的逼近10010
3、0个正弦波的逼近个正弦波的逼近数学表示为数学表示为则函数则函数f(x)可在可在-l,l 展为傅里叶级数展为傅里叶级数1 1、傅里叶级数傅里叶级数 =+=1kkk0lxkblxkaaxf)sincos()(若函数若函数f(x)以以2 2l为周期，即为周期，即f(x+2l)=f(x)，并在区间并在区间-l,l 上上满足狄里希利满足狄里希利(Dirichlet)(Dirichlet)条件条件,即在区间即在区间-l,l 上上1)1)连续或只有有限个第一类间断点；连续或只有有限个第一类间断点；2)2)只有有限个极值点只有有限个极值点.（简称狄氏条件）（简称狄氏条件）说明说明1、三角函数族是两两正交的、三
4、角函数族是两两正交的,.sin,.2sin,sin,.cos,.2cos,cos,1lxklxlxlxklxlxp pp pp pp pp pp p2 2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；称为傅里叶系数称为傅里叶系数3 3、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数为基进行分解为基进行分解基基矢矢量量4 4、第一类间断点和第二类间断点的区别、第一类间断点和第二类间断点的区别:函数的间断点分为两类函数的间断点分为两类第一类间断点：第一类间断点：x0是函数的间断点，且是函数的间断点，且左极限左极限
5、右极限右极限存在存在第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点：不是第一类的间断点。第二类间断点：不是第一类的间断点。而在工程上所应用的函数而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件全部满足狄氏条件.5、傅立叶展开的意义：、傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。例例1 1 设设f（x）函数是周期为）函数是周期为22周期函数，它在周期函数，它在，表达式表达式将将f（
6、x）展为傅立叶级数。）展为傅立叶级数。解解 函数满足狄氏条件，它在函数满足狄氏条件，它在x=k（k=0=0，1 1，-1-1，2 2，-2)-2)点不连续点不连续,收敛于收敛于在连续点上收敛于在连续点上收敛于则则二、奇函数和偶函数的傅里叶展开二、奇函数和偶函数的傅里叶展开若若f(x)是奇函数，则是奇函数，则ak为为0，展开式为，展开式为叫做傅里叶正弦级数，叫做傅里叶正弦级数，f(0)=f(l)=0 =+=1kkk0lxkblxkaaxf)sincos()(=1kklxkbxfsin)(),(dsin)(L21klkfl2bl0k=若若f(x)是偶函数，则是偶函数，则bk为为0 0，展开式为，展
7、开式为 =+=1kk0lxkaaxfcos)(),2,1(d)(10L=kflalkxx叫做傅里叶余弦级数叫做傅里叶余弦级数,),2,1(dcos)(20L=klkflalkxpxx例例2 2 设设 f（x）是周期为）是周期为22的周期函数，它在的周期函数，它在-，上的表式为上的表式为f（x）=x。将它展为傅立叶级数。将它展为傅立叶级数。解解 首先，所给函数满足狄氏条件，在首先，所给函数满足狄氏条件，在处不连续，因此，处不连续，因此，f（x）的傅立叶级数在）的傅立叶级数在 收敛于收敛于在连续点处收敛于在连续点处收敛于f（x）。）。不计点不计点 函数是周期为函数是周期为2，且是奇函数且是奇函数。
8、则则1 1、定义在、定义在-l,l 上的函数上的函数 f(x)展开；展开；三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的.方法方法将函数将函数 f（x）解析延拓到）解析延拓到-，区间，区间，构成的周期函数构成的周期函数g（x），其周期为），其周期为2l仅在仅在-l，l 上，上，g(x)f(x).).例例3 3 在（在（-1-1，1 1）上定义了函数）上定义了函数f f（x x）为：）为：将函数展为傅立叶级数将函数展为傅立叶级数解解函数曲线如图函数曲线如图将函数做周期为将
9、函数做周期为2 2的解析延的解析延拓，如图。拓，如图。将延拓后的函数做傅立叶展开将延拓后的函数做傅立叶展开所以所以2 2、定义在、定义在 0,0,l 上的函数上的函数 f(x)展开；展开；方法方法将函数将函数 f（x）解析延拓到）解析延拓到-l，l区间，再将区间，再将-l，l区间的函数再延拓到区间的函数再延拓到区间上，构成周期函区间上，构成周期函数数g（x），其周期为），其周期为2l例例4 4 定义在（定义在（0 0，l l）上的函数）上的函数f（x）=a（1-1-x/l），将），将 该函数展开为傅立叶级数。该函数展开为傅立叶级数。解解函数曲线如图函数曲线如图延拓到（延拓到（-l-l，l l）
10、后再周期延拓，如图做偶延拓：）后再周期延拓，如图做偶延拓：所以所以如图做奇延拓：如图做奇延拓：延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们在在(0,(0,l)上均代表上均代表f(x)，且函数值相等。，且函数值相等。有时，对函数有时，对函数f(x)边界的限制就决定了延拓的方式。如要边界的限制就决定了延拓的方式。如要求求 f(0)=(0)=f(l)=0)=0，则应延拓成奇周期函数，则应延拓成奇周期函数，如要求如要求 ，则应延拓成偶的周期函数。，则应延拓成偶的周期函数。四四 复数形式的傅立叶级数复数形式的傅立叶级数而利用三角函数的指数形式可将级数表
11、示为而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。设设-k=k所以，复数形式的傅立叶级数是以所以，复数形式的傅立叶级数是以 为基展开的级数。为基展开的级数。例例5 5 把锯齿波把锯齿波f（x）在（）在（0 0，T）这个周期上可表示）这个周期上可表示 为为f（x）=Hx/T，试把它展为复数形式的傅立叶，试把它展为复数形式的傅立叶 级数。级数。解解函数曲线如图函数曲线如图周期为周期为五、五、周期函数的频谱周期函数的频谱周期函数周期函数基频
12、基频谐频谐频n n次谐波的频率次谐波的频率波函数波函数振幅振幅在实数形式中在实数形式中在复数形式中在复数形式中n n次谐波的频率次谐波的频率波函数波函数振幅振幅的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱所谓频谱图，通常是指频率和振幅的关系图。图，通常是指频率和振幅的关系图。的振幅频谱（简称为频谱）的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次
13、谐波它描述了各次谐波称为称为举例举例矩形脉冲函数矩形脉冲函数频谱图频谱图 频谱图频谱图 AO它清楚地表明了一个非正旋它清楚地表明了一个非正旋周期函数包含了哪些频率分周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重量及各分量所占的比重（如振幅的大小）（如振幅的大小）5.2 5.2 傅立叶积分与傅立叶变换傅立叶积分与傅立叶变换一、复数形式的傅立叶积分一、复数形式的傅立叶积分 对任何一个非周期函数对任何一个非周期函数f(x)都可以看成是由某个周都可以看成是由某个周期函数期函数g g(x)当当2 2l时转化而来的。时转化而来的。1 1、问题、问题函数函数f（x）定义在）定义在-上，无周期，研究函上，无周期
14、，研究函数的性质，怎么办？数的性质，怎么办？2 2、方法、方法OO 作周期为作周期为2 2l的函数的函数f (x),使其在使其在-l,l 之内等于之内等于f2l(x),在在-l,l 之外按周期之外按周期2 2l 延拓到整个数轴上延拓到整个数轴上,则则l越大越大,g(x)与与f(x)相等的范围也越大相等的范围也越大,这就说明当这就说明当2 2l时时,周期函数周期函数g g(x)便可转化为便可转化为f(x),即有即有改为对称形式改为对称形式复数形式的傅立叶积分复数形式的傅立叶积分复数形式的傅立叶变换复数形式的傅立叶变换3.结论结论-Fourier-Fourier积分定理积分定理4 4、频谱、频谱注
15、意：这是一个连续频谱，因为注意：这是一个连续频谱，因为 是连续变化的。是连续变化的。称为函数称为函数 f（x）的频谱函数。）的频谱函数。称为函数称为函数 f（x）的振幅频谱函数。）的振幅频谱函数。记为记为 称作称作f(t t)的的象函数象函数,f(x x)称作称作 的的原函数原函数.象函数象函数F F(w w)和象原函数和象原函数f(t t)构成了一个傅氏变换对构成了一个傅氏变换对.例例1：作图中所示的单个矩形脉冲作图中所示的单个矩形脉冲 的频谱图的频谱图E解：解：Otf(t),)(.,e e,)(一个函数一个函数是工程技术中常碰到的是工程技术中常碰到的衰减函数衰减函数叫做指数叫做指数这个这个
16、其中其中其积分表达式其积分表达式的傅氏变换及的傅氏变换及求函数求函数例例t tft tt ttft t0 00 00 00 02 2 =-bbA AA At tf解解如果令如果令b b=1/2,=1/2,就有就有可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数因此有因此有钟形脉冲函数的积分表达式：钟形脉冲函数的积分表达式：因此因此二、实数形式的傅立叶积分二、实数形式的傅立叶积分1 1、积分和变换形式、积分和变换形式实数形式的实数形式的傅立叶积分傅立叶积分实数形式的实数形式的傅立叶变换傅立叶变换例例4 4 把单个锯齿脉冲把单个锯齿脉冲f(x)展为傅立叶积分展为傅立叶积分解解f
17、（x）是无界的非周期函数，可展为傅立叶积分。）是无界的非周期函数，可展为傅立叶积分。2、讨论：、讨论：的傅立叶正弦变换。的傅立叶正弦变换。称为称为其中其中称为傅立叶正弦积分称为傅立叶正弦积分分为分为为奇函数，则傅立叶积为奇函数，则傅立叶积若若)()(xfxf1 1）dsin)()(fB =02x xwxwxx xp pw wsin)()(xdBxf=0w ww ww w其中其中称为傅立叶余弦积分称为傅立叶余弦积分的傅立叶余弦变换。的傅立叶余弦变换。称为称为)(xf分为分为为偶函数，则傅立叶积为偶函数，则傅立叶积若若)(2 2）xfdcos)(2)(0fA=xwxxpwcos)()(0 xdAx
18、f=www例例5 矩形函数为矩形函数为f(t)-TtToh将矩形脉冲将矩形脉冲解：解：f（x）是偶函数，可展为余玄傅立叶积分）是偶函数，可展为余玄傅立叶积分展为傅立叶积分展为傅立叶积分.oA()2hT/T2/T3/T4/T频谱图是连续谱，含有一切频率。频谱图是连续谱，含有一切频率。傅立叶变换为傅立叶变换为傅立叶积分为傅立叶积分为例例6 6 解解:求其傅立叶逆变换求其傅立叶逆变换。已知象函数已知象函数,)(w ww wjF2=f(t)=F-1 F()时时当当0 0 t t时时当当0 0 +=bwbww,)(iiF的傅氏逆变换。的傅氏逆变换。：求求例例03 3+=bwbww,)(iiF解解例例4
19、4 求求解：根据能量积分性质解：根据能量积分性质运用傅氏变换的微分性质以及积分性质运用傅氏变换的微分性质以及积分性质,可以把线性常可以把线性常系数微分方程转化为代数方程系数微分方程转化为代数方程,通过解代数方程与求傅通过解代数方程与求傅氏逆变换氏逆变换,就可以得到此微分方程的解就可以得到此微分方程的解.另外另外,傅氏变傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一换还是求解数学物理方程的方法之一.例例5.求微分积分方程求微分积分方程的解的解,其中其中 t t+,a,b b,c c均为常数均为常数.根据傅氏变换的微分性质和积分性质根据傅氏变换的微分性质和积分性质,且记且记FFx(t t)=)=X(),F
20、(),Fh(t t)=)=H().().在方程两边取傅氏变换在方程两边取傅氏变换,可得可得 x(t)=F-1 X(),在物理和工程技术中在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数常常会碰到单位脉冲函数.因为有许因为有许多物理现象具有脉冲性质多物理现象具有脉冲性质,如在电学中如在电学中,要研究线性电路受要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中在力学中,要研究要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数产生我们要介绍的单位脉冲函数.5.3 5.3 函数函
21、数一、一、函数引入的必要性函数引入的必要性在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中,某一瞬时某一瞬时(设为设为t t=0)=0)进入一单进入一单位电量的脉冲位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t t).).以以q(t t)表示表示上述电路中的电荷函数上述电路中的电荷函数,则则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即即所以所以,当当t t 0 0时时,i(t t)=0,)=0,由于由于q q(t t)是不连续的是不连续的,从而在普从而在普通导数意义下通导数意义下,q q(t t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的.如果我
22、们形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数,则得则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度这样的电流强度.为了确定这样的电流强度为了确定这样的电流强度,引进一称为引进一称为狄拉克狄拉克(Dirac)(Dirac)的函数的函数,简单记成简单记成-函数函数.有了这种函数有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷例如点电荷,点热点热源源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样就能够象处理连续分布的量
23、那样,以统一的方式加以解决以统一的方式加以解决.二、二、-函数的定义及性质函数的定义及性质1 1）定义）定义区域不包围区域不包围0区域不包围区域不包围x02 2、性质、性质（1 1）奇偶性奇偶性 (-x)=(x),/（-x)=-/(x)=xxxxxxxHxxxH)0(0)0(1d)()(d)()(（2）d dd d是阶跃函数是阶跃函数 +=)(d)()(（3）00 xfxxfxxd d挑选性挑选性三、三、-函数的傅立叶变换函数的傅立叶变换-函数的傅氏变换为函数的傅氏变换为:w ww wd dw wdeFtti =)()(例6、求正弦函数求正弦函数f(t t)=sin)=sin0 0t t的傅氏变换的傅氏变换 )()(2)(2)(241dee41de2ee21dsine21)()(0000)()(00000w ww wd dw ww wd dw ww wpdpdw ww wpdpdp pp pp pw wp pw ww ww ww ww ww ww ww ww w +=+=+iitititttfFtitititititiF如图所示如图所示:tsint1/21/2-w0w0Ow|F(w)|