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1、 Copyright HUST of MATH 2007第十六章 傅里叶(Fourier)级数1.函数的Fourier级数展开2.Fourier级数的收敛判别法3.Fourier级数的性质4.Fourier变换和Fourier积分5.快速Fourier变换简介 教学安排 Copyright HUST of MATH 200716-1 函数的函数的Fourier级数展开级数展开1Fourier级数的背景 寻求用简单函数较好地近似代替复杂函数的途径一直是数学家和工程技术人员积极探索的问题.例如,用n次Taylor多项式 逼近函数f(x).Copyright HUST of MATH 2007 1F
2、ourier级数的背景级数的背景 Copyright HUST of MATH 2007 1Fourier级数的背景级数的背景如果在的某邻域内，连续，存在，且时，Copyright HUST of MATH 2007 1Fourier级数的背景级数的背景 在实际问题中,经常要和随时间而变的周期函数 fT(t)打交道.例如:t Copyright HUST of MATH 2007 1Fourier级数的背景级数的背景方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近 Copyright HUST of MATH 2007 1Fourier级数的背景级数的背景十九世纪初，法国数学家Joseph Fouri
3、er(1768-1830)在他的“热的解析理论”一书中通过大量实例得出，具有常系数的三角级数 能够表示一类广泛的函数，甚至对具有跳跃间断的函数，都可以用上式表示出来。后来人们称这种级数为Fourier级数.Copyright HUST of MATH 2007 1Fourier级数的背景级数的背景 与Taylor级数相比,Fourier级数展开对于函数 f(x)的要求要宽容的多,更为重要的是,Fourier 级数的部分和在整个区间上与函数f(x)吻合的较好.经过Cauchy,Dirichlet 等数学家的大力推广,Fourier级数被认为不仅是声学,光学,热力学,电学等领域的强有力工具,而且在
4、数学理论研究方面也具有核心地位.Copyright HUST of MATH 20072.基本三角函数系 定义1 设平方可积函数f(x)和g(x)定义于区间a,b上.称数若,则称函数f(x)和g(x)在区间a,b上正交.为函数f(x)和g(x)在区间a,b上的内积.Copyright HUST of MATH 20072.基本三角函数系 定义2 对平方可积实值函数系如果,则称它为区间上的正交函数系.如果是区间上的正交函数系且平方可积,函数的”长度”则称是区间上的标准正交函数系.上的 Copyright HUST of MATH 20072.基本三角函数系 是区间上的正交函数系.是区间上的标准正
5、交函数系.以 为周期的三角函数系 Copyright HUST of MATH 20073.正交级数展开假设是区间上的正交函数系.定义于区间上,能否找到 使得?如果系数 Copyright HUST of MATH 20073.正交级数展开假设是区间上的正交函数系.定义于区间上,且有则 如果广义Fourier级数.此级数称为函数 f(x)的正交级数展开或 Copyright HUST of MATH 20074.周期为 的函数的Fourier级数 假设(1)是上以为周期的函数,且在区间上黎曼可积或在反常积分意义下绝对可积;(2)可以表示成如下形式的级数 且(1)在上一致成立,求其中的系数.(1
6、)Copyright HUST of MATH 20074.周期为 的函数的Fourier级数 称上述为函数的Fourier系数,构成的三角级数称为级数,记作由Fourier系数的Fourier Copyright HUST of MATH 2007展成Fourier级数.例例1 将以将以 为周期的函数为周期的函数 Copyright HUST of MATH 2007展成Fourier级数.例例2 将以将以 为周期的函数为周期的函数 Copyright HUST of MATH 2007注:以上公式中的积分可以换成长度为的任意区间,例如,Copyright HUST of MATH 2007
7、假设是上以为周期的函数,且在区间上黎曼可积或在反常积分意义下绝5.正弦级数和余弦级数对可积.如果f(x)为奇函数,则此时,f(x)的Fourier级数称为正弦级数,即 Copyright HUST of MATH 20075.正弦级数和余弦级数如果f(x)为偶函数,则此时,f(x)的Fourier级数称为余弦级数,即 Copyright HUST of MATH 2007例3 将下列函数展成 Fourier 级数 Copyright HUST of MATH 20076.一般周期函数的Fourier级数假设是上以期的函数,且在区间可积或在反常积分意义下绝对可积;则 f(x)的Fourier级数
8、为(1)为周上黎曼其中 Copyright HUST of MATH 2007假设是上以为周期的函数,且在区间上黎曼可积或在反常积分意义下绝对可积 如果f(x)为奇函数,则此时,f(x)的Fourier级数称为正弦级数,即6.一般周期函数的Fourier级数 Copyright HUST of MATH 2007如果f(x)为偶函数,则此时,f(x)的Fourier级数称为余弦级数,即6.一般周期函数的Fourier级数 Copyright HUST of MATH 2007例4 将周期函数 展开成为Fourier级数.Copyright HUST of MATH 2007例5 将周期函数 展
9、开成为Fourier级数.,Copyright HUST of MATH 20077.非周期函数的Fourier级数(1)如果函数仅定义在长度为的区间上,例如定义在或上,此时不是周期函数,从而不能按上述周期函数的方法展开为Fourier级数.采用周期延拓法将f(x)展开为Fourier级数.Copyright HUST of MATH 2007例6 将函数 展开成为Fourier级数.,Copyright HUST of MATH 2007 当函数f(x)定义于 上时，要将它展成 Fourier级数，通常先将它延拓成 上的奇函数(称为奇延拓)或偶函数(称为偶延拓),再展成Fourier级数,从
10、而得到f(x)在 上的Fourier级数展开.(2)定义于 上函数的展开 Copyright HUST of MATH 2007奇延拓:将函数 f(x)延拓成 上的奇函数，就可得到周期奇函数在上的 Fourier 级数，从而得到 f(x)在 上的Fourier展开式 Copyright HUST of MATH 2007偶延拓:将函数 f(x)延拓成 上的偶函数，就可得到周期偶函数在上的 Fourier 级数，从而得到 f(x)在 上的Fourier展开式 Copyright HUST of MATH 2007例7 将下列函数在 展成Fourier级数 Copyright HUST of MA
11、TH 2007例8 将函数在 展成Fourier级数请想想有多少种求解方法?Copyright HUST of MATH 2007解法1：将函数看成以 为周期的函数；解法2：将函数作奇延拓，成为以 为周期的函数；解法3：将函数作偶延拓，成为以为周期的函数；解法4：将函数延拓成长度为 区间上的函数.Copyright HUST of MATH 20078.Fourier级数的复数表示形式设周期函数的Fourier级数为利用Euler公式,则有Fourier级数的复数表示形式为 Copyright HUST of MATH 20078.Fourier级数的复数表示形式Fourier级数的复数表示形
12、式为其中,复的Fourier系数 Copyright HUST of MATH 2007 对复杂的周期现象,经常将对应的周期函数展开成Fourier级数.其物理意义是将非正弦波用不同频率的正弦波来表示.为了研究这些简单正弦波对周期波的影响,我们需要分析一下正弦波的振幅和频率(常称为频谱分析).因为复数形式Fourier级数的系数刚好反映了振幅的大小,通常称是的频率谱.Copyright HUST of MATH 200716-2 Fourier级数的收敛判别法 正如一个函数对应的Taylor级数不一定收敛于该函数一样，一个函数对应的Fourier级数也不一定收敛于该函数,甚至不收敛.那么，在什
13、么条件下，一个函数对应的Fourier级数收敛，收敛于该函数？Copyright HUST of MATH 2007只要函数f(x)在 上可积或广义绝对可积,可由Euler-Fourier公式 得到f(x)的Fourier级数 Copyright HUST of MATH 20071.Fourier级数收敛定理 定理：设2p 周期函数 f(x)在区间-p,p上可积或广义绝对可积,分段单调有界,则 f(x)的Fourier级数在任一点x处收敛于f(x)的左右极限的平均值,即 Copyright HUST of MATH 2007解f(x)为奇函数，Fourier级数为正弦级数。由收敛定理的条件，
14、有由收敛定理的条件，有 Copyright HUST of MATH 2007和函数的图象和函数的图象函数的图象函数的图象 Copyright HUST of MATH 2007观观察察两两函函数数图图形形 Copyright HUST of MATH 2007(1)Dirichlet核与Dirichlet积分2.Fourier级数收敛定理的证明 Fourier级数逐点收敛性的研究主要依赖于Dirichlet核,记f(x)的Fourier级数的部分和为由Euler-Fourier公式 Copyright HUST of MATH 2007部分和可由Dirichlet积分表示为其中Dirichl
15、et核为 Copyright HUST of MATH 2007Dirichlet核是 为周期的函数,t=0是它的可去间断点,它在一个周期上的积分值为 ,即 Copyright HUST of MATH 2007(2)黎曼(Riemann)引理：如果函数f(x)在区间a,b上可积或绝对可积,则及 Copyright HUST of MATH 2007推论1(局部性原理)：可积或绝对可积函数f(x)的Fourier级数在x点是否收敛只与f(x)在(x-d,x+d)内的性质有关,这里d是任意小正常数.Copyright HUST of MATH 2007推论2：如果f(x)在0,d上可积或绝对可积
16、,则 Copyright HUST of MATH 2007(3)狄里克莱(Dirichlet)引理：如果函数f(x)在区间 上单调或分段单调有界,则 Copyright HUST of MATH 2007(4)收敛定理的证明要证明:即要证明:Copyright HUST of MATH 2007 Copyright HUST of MATH 2007例2 将函数展成 Fourier 级数.Copyright HUST of MATH 2007例3 将函数展成 Fourier 级数.Copyright HUST of MATH 2007例4 将函数展成 Fourier 级数，并由此求数值级数的和：