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1、1/23复变函数复习重点复变函数复习重点(一)复数的概念1.1.复数的概念：复数的概念：zxiy，,x y是实数,Re,Imxzyz.21i .两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.2.复数的表示复数的表示1 1）模：）模：22zxy；2 2）幅角幅角：在0z 时，矢量与x轴正向的夹角，记为 Arg z（多值函数）；主值 arg z是位于(,中的幅角。3）arg z与arctanyx之间的关系如下：当0,x argarctanyzx；（当当z z落于落于一、四一、四象限时，不变象限时，不变。）当0,x 0,arg20,arg2yz
2、yz （z z为纯虚数为纯虚数，落于落于虚轴虚轴）当0,argarctan(0,0,argarctan(yyzxxyyzx第二象限)第四象限)；4）三角表示三角表示：cossinzzi，其中arg z；注：中间一定是“+”号。5）指数表示指数表示：izz e，其中arg z。3 3.共轭复数共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数共轭复数.zxiy共轭复数的性质：教材共轭复数的性质：教材 P P3 3(二)复数的运算 1.1.加减法加减法：若111222,zxiy zxiy，则121212zzxxi yy2/232.2.乘除
3、法乘除法：1）若111222,zxiy zxiy，则1 212122112z zx xy yi x yx y；1122111121212122122222222222222222xiyxiyzxiyzzx xy yy xy xizxiyzzxiyxiyxyxy。注意：22yxiyxiyxzz共轭技巧2）若121122,iizz ezz e,则121 212iz zzz e；121122izzezz例例 1、设(1)(2)(3)(3)(2)iiizii，则 z2解：|1|2|3|1|2|2|3|iiiziii例例 2、设复数z满足arg(2)3z，5arg(2)6z，那么 z（A）A、13i B
4、、3iC、1322iD、3122i解：设zxiy，则2(2)zxiy，tan323yx 2(2)zxiy，53tantan()2663yx 联立解得：1,3xy，13zi 例例 3、当11izi时，1002550zzz的值等于（A）A、iB、-iC、1D、-1解：11121112iiiiziiii，而1234,-11ii iiii，1004 25254 650482(=1,(,1iiiiii iii），10025501(1)zzzii 3.3.乘幂与方根乘幂与方根1）若(cossin)izziz e，则(cossin)nnninzzninz e。3/232）若(cossin)izziz e，则
5、122cossin(0,1,21)nnkkzziknnn（有n个相异的值）例例 4、计算1i的值1142222441(1)2(cossin)2cossin442kkiiiin 解：(0,1)k 4440,12 cos()sin()2 cos()sin()8888771,12 cos()sin()88kiiikii 时时（三）复变函数1 1复变函数：复变函数：wf z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.映射的象的求法：如何由映射的象的求法：如何由z z平面曲线平面曲线C C求求w w平面曲线平面曲线C C呢？呢？方法方法 已知已知()(,)(,)wfu x y
6、iv x yz若若C C的直角坐标方程为的直角坐标方程为(,)F x y，则所求，则所求C C例例 5、对于映射iwz，圆周22(1)1xy的像曲线为:1Re 2w 例例 6、对于映射1wz，圆周22(1)1xy的像曲线为:1Re 2w 2 2复初等函数复初等函数方程由方程由消去消去 x,y 得到得到.0),(),(),(yxFyxvvyxuu2222222222222222,(),1(1)12Re 2iwuiv zxiywzixiyyixyxuivixiyxiyxyxyxyyxuvxyxyyxyxyywuxy 设则由,:解得：22222222222222221,1(),1(1)12Re 2w
7、uiv zxiywzxiyxiyxyuivixiyxiyxyxyxyxyuvxyxyxxyxyxwuxy 设则由,得:解：4/231 1）指数函数指数函数：cossinzx yixyixeee eeyiy，在z平面处处可导，处处解析；且zzee。|,()Arg()2,zxzeekeyk其中 为任何整数注：ze是以2 i为周期的周期函数。12.()zezk ik的充分必要条件是其中 为任何整数例例 7、方程10ze的全部解为2()zk ik 其中 为任何整数解：210122()zzk ieeezk izk ik 其中 为任何整数，例例 8、3 4ie的辐角主值为解：3 4343 43 4,Arg
8、42,arg42;iiiiee eeke（注意注意：主值 arg z是位于(,中的幅角。）2 2）对数函数对数函数：ln(arg2)Lnzzizk(0,1,2)k （多值函数）；主值：lnlnargzziz。（单值函数）Lnz的每一个主值分支ln z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且1lnzz；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）例例 9、计算Ln(5 12)i的值解解：12Ln(5 12)ln 5 12arg(5 12)2ln13arctan2.5iiiikik3 3）乘幂与幂函数：）乘幂与幂函数：(0)bbLnaaea；(0)bbLnzzez注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解
9、析，且1bbzbz。例例 10、设为任意实数，则1（B）A、无定义B、是实数，等于 1C、是复数，其实部等于 1D、是复数，其模等于 14 4）三角函数三角函数：sincossin,cos,t,22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizz.22zikzikzeeee 即即)(为任何整数为任何整数其中其中k5/23sin,coszz在z平面内解析，且sincos,cossinzzzz 注：有界性sin1,cos1zz不再成立；（与实函数不同）例例 11、解方程sincos4zizi2sincos422244ln4(arg42)ln422ln4(0,1,2,)iziziziz
10、izizizeeeeeziziieiiieizLniki kzkik 解：3）双曲函数双曲函数,22zzzzeeeeshzchz；shz奇函数，chz是偶函数。,shz chz在z平面内解析，且,shzchz chzshz。（四）解析函数的概念1 1复变函数的导数复变函数的导数1 1）点可导点可导：0fz=000limzf zzf zz；2）区域可导区域可导：f z在区域内点点可导。2 2解析函数的概念解析函数的概念1）点解析：f z在0z及其0z的邻域内可导，称 f z在0z点解析；2）区域解析：f z在区域内每一点解析，称 f z在区域内解析；3）若()f z在0z点不解析，称0z为 f
11、z的奇点；3 3解析函数的运算法则解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1 1函数可导函数可导的充要条件的充要条件：,f zu x yiv x y在zxiy可导6/23,u x y和,v x y在,x y可微，且在,x y处满足CD条件：,uvuvxyyx 此时，有 uvfzixx。2函数解析的充要条件函数解析的充要条件：,f zu x yiv x y在区域内解析,u x y和,v x y在,x y在D内可微，且满足CD条件：,uvuvxyyx；此时 uvfzixx。注意注意：若,u x yv
12、x y在区域D具有一阶连续偏导数，则,u x yv x y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数()f zuiv一定是可导或解析的。3 3函数可导与解析的判别方法函数可导与解析的判别方法1）利用定义2）利用充要条件（函数以,f zu x yiv x y形式给出）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数 f z是以z的形式给出）例例 12、函数22wxyix y在如下范围内可导：（0,0）例例 13、函数()(,)(,)f zu x yiv x y在点000zxiy处连续的充要条件是（C）A、(,)u x y在00(,)xy处连
13、续B、(,)v x y在00(,)xy处连续C、(,)u x y和(,)v x y在00(,)xy处连续D、(,)(,)u x yv x y在00(,)xy处连续例例 14、若函数2222()2()f zxxyyi yaxyx在复平面内处处解析，那么实常数 a（C）A、0B、1C、2D、-2例例 15、解析函数()(,)(,)f zu x yiv x y的导函数()fz为（C）A、xyuiuB、xyuivC、xyuiuD、xxuiv例例 16、设3232()()f zmynx yi xlxy在复平面上解析，求 l，m，n（见教材 P68 页习题 8）7/23（六）复变函数积分的概念与性质1 1
14、复变函数积分的概念：复变函数积分的概念：1limnkkcnkf z dzfz，c是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 2复变函数积分的性质复变函数积分的性质1）1ccf z dzf z dz（1c与c的方向相反）；2）,cccf zg z dzf z dzg z dz 是常数；3）若曲线c由1c与2c连接而成，则 12cccf z dzf z dzf z dz。3 3复变函数积分的一般计算法复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：cccf z dzudxvdyivdxudy；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c：()zz tt，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则
15、 ()cf z dzf z tz t dt。（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1 1柯西柯西古萨基本定理古萨基本定理：设 f z在单连域B内处处解析，c为B内任一闭曲线，则 0cf z dz 例例 17、设函数)(zf在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线，0z在 C 的外部，则积分10000()()Cf zdzzz02 2复合闭路定理复合闭路定理：设 f z在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，12,nc cc是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,nc cc为边界的区域全含于D内，则 cf z dz 1,knkcf z dz其中c与kc均取正向；8/23
16、 0f z dz，其中由c及1(1,2,)ckn所组成的复合闭路。3 3闭路变形原理闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数 f z沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使 f z不解析的奇点。例例 18、设1:1cz 为负向，2:3cz 正向，则122sinc cczdzz（C）A、2 iB、2 iC、0D、4 i4 4解析函数解析函数沿非闭曲线的积分沿非闭曲线的积分：设 f z在单连域B内解析，G z为 f z在B内的一个原函数，则 212112(,)zzf z dzG zG zz zB说明：解析函数 f z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求
17、出原函数即可。例例 19、积分0()sinizizdzsinii（分部积分）例例 20、设c是从0到12i的直线段，则积分zcze dz（A）（分部积分）A、12eB、12e C、12eiD、12ei5 5。柯西积分公式柯西积分公式：设 f z在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，0z为c内任意一点，则 002cf zdzif zzz例例 21、计算积分21121 d(1)zzz z 6 6高阶导数公式高阶导数公式：解析函数 f z的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 0102(1,2)()!nncf zidzfznzzn9/23其中c为 f z的解析区域D内围绕0z的
18、任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。7重要结论重要结论：12,010,0()ncindznza。（c是包含a的任意正向简单闭曲线）8 8复变函数积分的计算方法复变函数积分的计算方法1）若 f z在区域D内处处不解析，用一般积分法 cf z dzf z tz t dt2）设 f z在区域D内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，0cf z dz c是D内的一条非闭曲线，12,z z对应曲线c的起点和终点，则有 2121zczf z dzf z dzF zF z3）设 f z在区域D内不解析曲线曲线c内仅有一个奇点内仅有一个奇点：0001022()!cnncf zdzi
19、f zzzf zidzfzzzn（()f z在c内解析）曲线c内有多于一个奇点：cf z dz 1knkcf z dz（ic内只有一个奇点kz）或：12Re (),nkkcf z dzis f z z（留数基本定理）若被积函数不能表示成 1()nof zzz，则须改用第五章留数定理来计算。（八）解析函数与调和函数的关系1 1调和函数调和函数的概念：的概念：若二元实函数(,)x y在D内有二阶连续偏导数且满足10/2322220 xy，(,)x y为D内的调和函数。2 2解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系解析函数 f zuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调
20、和函数。两个调和函数u与v构成的函数()f zuiv不一定是解析函数；但是若,u v如果满足柯西黎曼方程，则uiv一定是解析函数。3 3已知解析函数已知解析函数 f z的实部或虚部，求解析函数的实部或虚部，求解析函数 f zuiv的方法。的方法。1）偏微分法偏微分法：若已知实部,uu x y，利用CR条件，得,vvxy；对vuyx两边积分，得 uvdyg xx（*）再对（*）式两边对x求偏导，得 vudygxxxx（*）由CR条件，uvyx，得 uudygxyxx，可求出 g x；代入（*）式，可求得虚部 uvdyg xx。2）线 积 分 法线 积 分 法：若 已 知 实 部,uu x y，利
21、 用CR条 件 可 得vvuudvdxdydxdyxyyx，故虚部为00,x yxyuuvdxdycyx；由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中00,xy与,x y是解析区域中的两点。11/233）不定积分法不定积分法：若已知实部,uu x y，根据解析函数的导数公式和CR条件得知，uvuufziixyxy将此式右端表示成z的函数 U z，由于 fz仍为解析函数，故 f zU z dzc（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部.u例例 22、调和函数(,)x yxy的共轭调和函数为例例 23、证明：32(,)3 u x yyx y为调和函数，并求其共轭调和函数(
22、,)v x y。（参见教材 P92 例 1，P94 提供了另一种解法）（九）复数项级数1 1复数列的极限复数列的极限1）复数列nnnaib（1,2n）收敛于复数abi的充要条件为lim,limnnnnaabb（同时成立）2）复数列n收敛实数列,nnab同时收敛。2 2复数项级数复数项级数1）复数项级数0()nnnnnaib 收敛的充要条件是级数0nna与0nnb同时收敛；2）级数收敛的必要条件是lim0nn。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性1幂级数的概念幂级数的概念：表达式00()nnnczz或0nnnc z为幂级数。2 2幂级数的敛散性幂
23、级数的敛散性1 1）幂级数的收敛定理）幂级数的收敛定理阿贝尔定理阿贝尔定理(Abel)(Abel)：如果幂级数0nnnc z在00z 处收敛，那么对12/23满足0zz的一切z，该级数绝对收敛；如果在0z处发散，那么对满足0zz的一切z，级数必发散。例例24、若幂级数0nnnc z在1 2zi 处收敛，那么该级数在2z 处的敛散性为（A）A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、不能确定2 2）幂级数的收敛域幂级数的收敛域圆域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3 3）收敛半径的求法收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果1lim0nnn
24、cc，则收敛半径1R；根值法lim0nnc，则收敛半径1R；如果0，则R ；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则0R；说明仅在0zz或0z 点收敛；例例25、0(1)nnniz的收敛半径为223 3幂级数幂级数的性质的性质1）代数性质代数性质：设00,nnnnnna zb z的收敛半径分别为1R与2R，记12min,RR R，则当zR时，有000()nnnnnnnnnnab za zb z（线性运算）13/2301 10000()()()nnnnnnnnnnna zb za baba b z（乘积运算）2）复合性质复合性质：设当r时，0nnnfa，当zR时，g z解析且 g zr，则当zR时，
25、0nnnf g za g z。3）分析运算性质分析运算性质：设幂级数0nnna z的收敛半径为0R，则其和函数 0nnnf za z是收敛圆内的解析函数；在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 10nnnfzna zzR在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；1001znnnaf z dzznzR（十一）幂函数的泰勒展开幂函数的泰勒展开1.1.泰勒展开：泰勒展开：设函数 f z在圆域0zzR内解析，则在此圆域内 f z可以展开成幂级数 000!nnnfzf zzzn；并且此展开式是唯一的。注：若 f z在0z解析，则 f z在0z的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径0Rza；其中R为从0z到 f z的
26、距0z最近一个奇点a之间的距离。2 2常用函数在常用函数在00z 的泰勒展开式的泰勒展开式1）23011!2!3!nznnzzzezznn z 2）20111nnnzzzzz 1z 3）3521210(1)(1)sin(21)!3!5!(21)!nnnnnzzzzzznnz 4）24220(1)(1)cos1(2)!2!4!(2)!nnnnnzzzzznn z 14/233 3解析函数展开成泰勒级数的方法解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出 01!nncfzn，于是 00nnnf zczz。2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将
27、函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开1.1.洛朗级数洛朗级数的概念：的概念：0nnnczz，含正幂项和负幂项。2 2洛朗展开定理洛朗展开定理：设函数 f z在圆环域102RzzR内处处解析，c为圆环域内绕0z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 0nnnf zczz，且展开式唯一。3 3解析函数的洛朗展开法：解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。例例26、将函数1()(1)(2)f zzz在下列区域内展开成洛朗级数：(1)12;z(2)12;z 注：参见（PPT4 P123，以及教材 P144 16（3）*4*4利用洛朗级数求围线积分利用洛朗级数求围线积分：设设 f z在
28、0rzzR内解析，c为0rzzR内的任何一条正向简单闭曲线，则 12cf z dzic。其中1c为()f z在0rzzR内洛朗展开式中01zz的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中10()zz的系数。例例27、设)(zf在圆环域102:H RzzR内的洛朗展开式为0()nnnczz，C 为 H 内15/23绕0z的任一条正向简单闭曲线，那么20()()cf zdzzz（B）A、12 icB、12 icC、22 icD、02()ifz（十三）孤立奇点的概念与分类1 1。孤立奇点的定义孤立奇点的定义：f z在0z点不解析,但在0z的00zz内解析。2 2。孤立奇点的类型：。孤立奇点
29、的类型：1）可去奇点：展开式中不含0zz的负幂项；201020f zcczzczz2）极点：展开式中含有限项0zz的负幂项；(1)21010201000()()()()()mmmmcccf zcc zzc zzzzzzzz 0,()mg zzz其中 1(1)01000()()()mmmmg zcczzczzc zz在0z解析，且00,1,0mg zmc；3）本性奇点：展开式中含无穷多项0zz的负幂项；1010000()()()()mmmmccf zcc zzczzzzzz（十四）孤立奇点的判别方法1可去奇点：00limzzf zc常数；2极点：0limzzf z 3本性奇点：0limzzf z
30、不存在且不为。4零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数 f z，如果能表示成 0()mf zzzz，其中 z在0z解析，00,zm为正整数，称0z为 f z的m级零点；2）零点级数判别的充要条件0z是 f z的m级零点 000,(1,2,1)0nmfznmfz16/233）零点与极点的关系：0z是 f z的m级零点0z是 1f z的m级极点；4）重要结论若za分别是 z与 z的m级与n级零点，则za是 z z的mn级零点；当mn时，za是 zz的mn级零点；当mn时，za是 zz的nm级极点；当mn时，za是 zz的可去奇点；（十五）、函数在无穷远点的性态、函数在无穷远点的性态判别
31、方法判别方法:判别法判别法 1(利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点):;)();|(.|mf zRzf zzm 123123如果内的洛朗级数中不含正幂项含有有限多的正幂项且z 为最高正幂含有无穷多的正幂项那末是可去奇点级极点的本性奇点在判别法判别法 2:(利用极限特点利用极限特点)如果极限lim()nf z1)存在且为有限值;2)无穷大;17/233)不存在且不为无穷大;(;);.)f zzm 123那末是可去奇点级极点本性奇点的例例 28、设函数)(zf与)(zg分别以 z=a 为 m 级极点与本性奇点，则 z=a 为函数()()f z g z的（B）A、可去奇点B、本性奇点C、m 级极点
32、D、小于 m 级的极点例例 29、z是函数223zz的（A）A、可去奇点B、一级极点C、二级极点D、本性奇点解：22lim03zzz（十五）留数的概念1 1 留数留数的定义的定义：设0z为 f z的孤立奇点，f z在0z的去心邻域00zz内解析，c为该域内包含0z的任一正向简单闭曲线，则称积分 12cf z dzi为 f z在0z的留数（或残留），记作 0Re,s f zz 12cf z dzi2 2留数的计算方法留数的计算方法若0z是 f z的孤立奇点，则 0Re,s f zz1c，其中1c为 f z在0z的去心邻域内洛朗展开式中10()zz的系数。1 1）可去奇点处的留数：）可去奇点处的留
33、数：若0z是 f z的可去奇点，则 0Re,s f zz 02 2）m级极点处的留数级极点处的留数法则法则 I I若0z是 f z的m级极点，则 0Re,s f zz 01011lim()(1)!mmmzzdzzf zmdz特别地，若0z是 f z的一级极点，则 0Re,s f zz 00lim()zzzzf z18/23注：注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则法则 II II设 P zf zQ z，,P zQ z在0z解析，00,P z000,0Q zQz，则 000Re,P zP zszQ zQz例 30、Res1tan,2z=1（十七）留数基本定理设 f z在区域D内除有
34、限个孤立奇点12,nz zz外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 12Re,nnckf z dzis f zz说明说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数 f z在c内各孤立奇点处留数的局部问题。例 31、利用留数计算积分：251(1)(1)(3)Cdzzzz，其中 C 为2z 的正向圆周。解：（参考教材 P162 例 5）5Re(),)02Re(),3)Re()10s f zis f zs fi 原式（z），例 32、利用留数计算积分：2cos45xdxxx见教材 P185 习题 13（5）附录：本复习提纲中的所有例题附录：本复习提纲中的所有例题19/2
35、3例例 1、设(1)(2)(3)(3)(2)iiizii，则 z2解：|1|2|3|1|2|2|3|iiiziii例例 2、设复数z满足arg(2)3z，5arg(2)6z，那么 z（A）A、13i B、3iC、1322iD、3122i解：设zxiy，则2(2)zxiy，tan323yx 2(2)zxiy，53tantan()2663yx 联立解得：1,3xy，13zi 例例 3、当11izi时，1002550zzz的值等于（A）A、iB、-iC、1D、-1解：11121112iiiiziiii，而1234,-11ii iiii，1004 25254 650482(=1,(,1iiiiii i
36、ii），10025501(1)zzzii 例例 4、计算1i的值1142222441(1)2(cossin)2cossin442kkiiiin 解：(0,1)k 4440,12 cos()sin()2 cos()sin()8888771,12 cos()sin()88kiiikii 时时20/23例例 5、对于映射iwz，圆周22(1)1xy的像曲线为:1Re 2w 例例 6、对于映射1wz，圆周22(1)1xy的像曲线为:1Re 2w 例例 7、方程10ze的全部解为2()zk ik 其中 为任何整数解：210122()zzk ieeezk izk ik 其中 为任何整数，例例 8、3 4i
37、e的辐角主值为解：3 4343 43 4,Arg42,arg42;iiiiee eeke（注意注意：主值 arg z是位于(,中的幅角。）例例 9、计算Ln(5 12)i的值解解：12Ln(5 12)ln 5 12arg(5 12)2ln13arctan2.5iiiikik例例 10、设为任意实数，则1（B）A、无定义B、是实数，等于 1C、是复数，其实部等于 1D、是复数，其模等于 12222222222222222,(),1(1)12Re 2iwuiv zxiywzixiyyixyxuivixiyxiyxyxyxyyxuvxyxyyxyxyywuxy 设则由,:解得：22222222222
38、222221,1(),1(1)12Re 2wuiv zxiywzxiyxiyxyuivixiyxiyxyxyxyxyuvxyxyxxyxyxwuxy 设则由,得:解：21/23例例 11、解方程sincos4zizi2sincos422244ln4(arg42)ln422ln4(0,1,2,)izizizizizizizeeeeeziziieiiieizLniki kzkik 解：例例 12、函数22wxyix y在如下范围内可导：（0,0）例例 13、函数()(,)(,)f zu x yiv x y在点000zxiy处连续的充要条件是（C）A、(,)u x y在00(,)xy处连续B、(,)
39、v x y在00(,)xy处连续C、(,)u x y和(,)v x y在00(,)xy处连续D、(,)(,)u x yv x y在00(,)xy处连续例例 14、若函数2222()2()f zxxyyi yaxyx在复平面内处处解析，那么实常数 a（C）A、0B、1C、2D、-2例例 15、解析函数()(,)(,)f zu x yiv x y的导函数()fz为（C）A、xyuiuB、xyuivC、xyuiuD、xxuiv例例 16、设3232()()f zmynx yi xlxy在复平面上解析，求 l，m，n（见教材 P68 页习题 8）例例 17、设函数)(zf在单连通区域D内解析，C是D内
40、一条简单正向闭曲线，0z在 C 的外部，则积分10000()()Cf zdzzz0例例 18、设1:1cz 为负向，2:3cz 正向，则122sinc cczdzz（C）A、2 iB、2 iC、0D、4 i例例 19、积分0()sinizizdzsinii（分部积分）例例 20、设c是从0到12i的直线段，则积分zcze dz（A）（分部积分）A、12eB、12e C、12eiD、12ei22/23例例 21、计算积分21121 d(1)zzz z 例例 22、调和函数(,)x yxy的共轭调和函数为例例 23、证明：32(,)3 u x yyx y为调和函数，并求其共轭调和函数(,)v x
41、y。（参见教材 P92 例 1，P94 提供了另一种解法）例例24、若幂级数0nnnc z在1 2zi 处收敛，那么该级数在2z 处的敛散性为（A）A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、不能确定例例25、0(1)nnniz的收敛半径为22例例26、将函数1()(1)(2)f zzz在下列区域内展开成洛朗级数：(1)12;z(2)12;z 注：参见（PPT4 P123，以及教材 P144 16（3）例例27、设)(zf在圆环域102:H RzzR内的洛朗展开式为0()nnnczz，C 为 H 内绕0z的任一条正向简单闭曲线，那么20()()cf zdzzz（B）A、12 icB、12 icC、22
42、 icD、02()ifz例例 28、设函数)(zf与)(zg分别以 z=a 为 m 级极点与本性奇点，则 z=a 为函数()()f z g z的（B）A、可去奇点B、本性奇点C、m 级极点D、小于 m 级的极点例例 29、z是函数223zz的（A）A、可去奇点B、一级极点C、二级极点D、本性奇点23/23解：22lim03zzz例 30、Res1tan,2z=1例 31、利用留数计算积分：251(1)(1)(3)Cdzzzz，其中 C 为2z 的正向圆周。解：（参考教材 P162 例 5）5Re(),)02Re(),3)Re()10s f zis f zs fi 原式（z），例 32、利用留数计算积分：2cos45xdxxx见教材 P185 习题 13（5）