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1、复变函数复习重点 (一)复数概念1.复数概念：，是实数, . 注：一般两个复数不比拟大小，但其模为实数有大小.1模：；2幅角：在时，矢量与轴正向夹角，记为多值函数；主值是位于中幅角。3与之间关系如下： 当 ； 当；4三角表示：，其中；注：中间一定是“+5指数表示：，其中。 (二) 复数运算：假设，那么：1假设，那么； 。2假设, 那么； 1） 假设，那么。2） 假设，那么有个相异值三复变函数1复变函数：，在几何上可以看作把平面上一个点集变到平面上一个点集映射.2复初等函数指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。注：是以为周期周期函数。注意与实函数不同对数函数： 多值函数；主值：。单值函数每一
2、个主值分支在除去原点及负实轴平面内处处解析，且；注：负复数也有对数存在。与实函数不同乘幂与幂函数：；注：在除去原点及负实轴平面内处处解析，且。三角函数： 在平面内解析，且注：有界性不再成立；与实函数不同双曲函数 ；奇函数，是偶函数。在平面内解析。四解析函数概念1复变函数导数1点可导：=；2区域可导： 在区域内点点可导。2解析函数概念1点解析： 在及其邻域内可导，称在点解析；2区域解析： 在区域内每一点解析，称在区域内解析；3假设在点不解析，称为奇点；3解析函数运算法那么：解析函数和、差、积、商除分母为零点仍为解析函数；解析函数复合函数仍为解析函数；五函数可导与解析充要条件1函数可导充要条件：在
3、可导和在可微，且在 处满足条件： 此时， 有。2函数解析充要条件：在区域内解析和在在内可微，且满足条件：；此时。注意： 假设在区域具有一阶连续偏导数，那么在区域内是可微。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析。3函数可导与解析判别方法1利用定义 题目要求用定义，如第二章习题12利用充要条件 函数以形式给出，如第二章习题23利用可导或解析函数四那么运算定理。函数是以形式给出，如第二章习题3六复变函数积分概念与性质1 复变函数积分概念：，是光滑曲线。注：复变函数积分实际是复平面上线积分。2 复变函数积分性质1） 与方向相反；2） 是常数；3 假设曲线
4、由与连接而成，那么。3复变函数积分一般计算法1化为线积分：；常用于理论证明2参数方法：设曲线： ，其中对应曲线起点，对应曲线终点，那么 。七关于复变函数积分重要定理与结论1柯西古萨根本定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，那么 2复合闭路定理： 设在多连域内解析，为内任意一条简单闭曲线，是内简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以为边界区域全含于内，那么 其中与均取正向； ，其中由及所组成复合闭路。3闭路变形原理 ： 一个在区域内解析函数沿闭曲线积分，不因在内作连续变形而改变它值，只要在变形过程中不经过使不解析奇点。4解析函数沿非闭曲线积分： 设在单连域内解析，为在内一个原函数，那么说明：解
5、析函数沿非闭曲线积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5. 柯西积分公式：设在区域内解析，为内任一正向简单闭曲线，内部完全属于，为内任意一点，那么6高阶导数公式：解析函数导数仍为解析函数，它阶导数为 其中为解析区域内围绕任何一条正向简单闭曲线，而且它内部完全属于。7重要结论：。 是包含任意正向简单闭曲线8复变函数积分计算方法1假设在区域内处处不解析，用一般积分法2设在区域内解析，l 是内一条正向简单闭曲线，那么由柯西古萨定理， l 是内一条非闭曲线，对应曲线起点和终点，那么有3设在区域内不解析l 曲线内仅有一个奇点：在内解析l 曲线内有多于一个奇点： 内只有一个奇点 或：留数根本定理l
6、 假设被积函数不能表示成，那么须改用第五章留数定理来计算。八解析函数与调和函数关系1调和函数概念：假设二元实函数在内有二阶连续偏导数且满足，为内调和函数。2解析函数与调和函数关系l 解析函数实部与虚部都是调和函数，并称虚部为实部共轭调和函数。l 两个调和函数与构成函数不一定是解析函数；但是假设如果满足柯西黎曼方程，那么一定是解析函数。3解析函数实部或虚部，求解析函数方法。1偏微分法：假设实部，利用条件，得；对两边积分，得 *再对*式两边对求偏导，得 * 由条件，得，可求出 ；代入*式，可求得虚部 。 2线积分法：假设实部，利用条件可得，故虚部为；由于该积分与路径无关，可选取简单路径如折线计算它
7、，其中与 是解析区域中两点。3不定积分法：假设实部，根据解析函数导数公式和条件得知， 将此式右端表示成函数，由于仍为解析函数， 注：假设虚部也可用类似方法求出实部九复数项级数1复数列极限1复数列收敛于复数充要条件为 同时成立2复数列收敛实数列同时收敛。2复数项级数1复数项级数收敛充要条件是级数与同时收敛；2级数收敛必要条件是。注：复数项级数敛散性可以归纳为两个实数项级数敛散性问题讨论。十幂级数敛散性1幂级数概念：表达式或为幂级数。2幂级数敛散性1幂级数收敛定理阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数在处收敛，那么对满足一切，该数绝对收敛；如果在处发散，那么对满足一切，级数必发散。2幂级数收敛域圆域幂
8、级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆圆周上可能收敛；也可能发散。3收敛半径求法：收敛圆半径称收敛半径。l 比值法 如果，那么收敛半径；l 根值法 ，那么收敛半径；l 如果，那么；说明在整个复平面上处处收敛；如果，那么；说明仅在或点收敛；注：假设幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。如3幂级数性质1代数性质：设收敛半径分别为与，记，那么当时， 线性运算 乘积运算2） 复合性质：设当时，当时，解析且，那么当时，。3） 分析运算性质：设幂级数收敛半径为，那么l 其和函数是收敛圆内解析函数；l 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 l 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变； 十一
9、幂函数泰勒展开1. 泰勒展开：设函数在圆域内解析，那么在此圆域内可以展开成幂级数 ；并且此展开式是唯一。注：假设在解析，那么在泰勒展开式成立圆域收敛半径；其中为从到距最近一个奇点之间距离。 2常用函数在泰勒展开式1 2 3 4 3解析函数展开成泰勒级数方法1直接法：直接求出，于是。2间接法：利用函数泰勒展开式及幂级数代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。十二幂函数洛朗展开 1. 洛朗级数概念：，含正幂项和负幂项。 2洛朗展开定理：设函数在圆环域内处处解析，为圆环域内绕任意一条正向简单闭曲线，那么在此在圆环域内，有 ，且展开式唯一。3解析函数洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法
10、展开。* 4利用洛朗级数求围线积分：设在内解析，为内任何一条正向简单闭曲线，那么 。其中为在内洛朗展开式中系数。说明：围线积分可转化为求被积函数洛朗展开式中系数。十三孤立奇点概念与分类1孤立奇点定义 ：在点不解析,但在内解析。2孤立奇点类型：1可去奇点：展开式中不含负幂项；2极点：展开式中含有限项负幂项；其中在解析，且；3本性奇点：展开式中含无穷多项负幂项； 十四孤立奇点判别方法1可去奇点：常数；2极点：3本性奇点：不存在且不为。4零点与极点关系1零点概念：不恒为零解析函数，如果能表示成，其中在解析，为正整数，称为级零点；2零点级数判别充要条件：是级零点3零点与极点关系：是级零点是级极点；4重
11、要结论:假设分别是与级与级零点，那么l 是级零点；l 当时，是级零点；当时，是级极点；当时，是可去奇点；l 当时，是级零点，当时，是级零点，其中十五留数概念 1留数定义：设为孤立奇点，在去心邻域内解析，为该域内包含任一正向简单闭曲线，那么称积分为在留数或残留，记作 2留数计算方法假设是孤立奇点，那么，其中为在去心邻域内洛朗展开式中系数。1可去奇点处留数：假设是可去奇点，那么2级极点处留数法那么I 假设是级极点，那么特别地，假设是一级极点，那么 注：如果极点实际级数比低，上述规那么仍然有效。法那么II 设，在解析，那么十六留数根本定理设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，为内包围诸奇点一条正向简单闭曲线，那么说明：留数定理把要求沿简单闭曲线积分整体问题转化为求被积函数在内各孤立奇点处留数局部问题。