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1、第 10 卷第 33 期2010 年 11 月16711815(2010)33-8342-05科学技术与工程Science Technology and EngineeringVol.10No.33Nov.20102010Sci.Tech.Engng.沪深 300 股指期货跨期套利价差的 R/S 分析赵聪俞熹*(复旦大学物理学系，上海 200433)摘要基于 R/S 分析应用 Hurst 指数和 V 统计量对于沪深 300 股指期货合约跨期套利价差的 1 min 数据进行实证研究，得出其 Hurst 值在(0 4，0 5)，平均循环周期在(8，20)min。这显示跨期价差具有较低程度反持续性的
2、分形市场特征。由于套利行为的影响，过去趋势对于未来有相反作用，与股票现货市场的长期记忆性不同。关键词跨期价差R/S 分析Hurst 指数平均循环周期反持续性中图法分类号F830 91;文献标志码B2010 年 9 月 2 日收到，9 月 7 日修改复旦大学本科生学术研究资助计划曦源项目(100813)资助第一作者简介:赵聪(1989)，男，河南延津人，复旦大学物理系学生。*通信作者简介:俞熹(1978)，男，浙江东阳人，讲师，博士，复旦大学物理系实验中心副主任。E-mail:whyx fudan edu cn。经典资本市场理论有效市场假说(EMF)是建立在布朗运动的线性范式上，即假设收益率满足
3、独立同分布。然而，从 20 世纪 70 年代以来，随着技术手段的进步，各种更加精细和长期实证分析结果却往往不符合布朗运动随机特性，使得非线性理论开始取代随机过程来描述市场运作规律。Mandelbrot(1975)在总结了自然界的非规整几何图形之后，首次提出了分形的概念。Peters(1991)则将分形几何学的分析方法运用于资本市场的分析。Opong(1999)分别用 R/S 方法和 BDS 方法对伦敦 FTSE指数的非线性行为进行了分析。John(1999)对环太平洋几个新兴证券市场分别使用 R/S 方法和修正R/S 进行分析，但两种方法得到了不同结果，经典R/S 分析存在长期记忆性，修正 R
4、/S 分析不存在。Barkoulas(2000)、Henry(2002)等都利用国外的股票市场数据进行了研究，结果表明，大多数发达国家股票市场具有不同程度长期记忆性的分析特征。而国内的研究也表明深沪两市股票市场也存在长期记忆性。我国的沪深 300 指数期货是在 2010 年 4 月 16日推出的新的金融衍生品。其推出有助于扩大证券市场规模、增加市场流动性，优化投资主体结构，在证券市场上发挥着价格发现、套期保值和对冲风险、活跃市场等作用，是我国金融市场一个里程碑式的发展。股指期货的价格由于有套利因素的存在与股票市场现货价格有紧密的相关性。而跨期价差，基于期货定价的持有成本模型，相当于一个无风险债
5、券在跨期时间差上的收益。因此存在一个合理的无套利定价范围，其投资方式不同于股票现货和期货投机。所以跨期价差可以去除股票现货市场的长期记忆性的影响，更充分地反映独立的期货市场特性。国内外的研究工作主要集中在对于股指、期指等指数分析特征检验上，而对于去除现货市场影响的期货跨期价差分析鲜有涉足，本文就是基于 R/S 分析理论应用 Hurst 指数和平均循环周期的 V 统计量验证沪深 300 股指期货跨期价差的分形特征。1分析方法1 1经典 R/S 分析水文学家 H E Hurst 在建造尼罗河水坝的过程中，研究了从公元 622 年至 1469 年埃及人保留的尼罗河泛滥的 847 年的记录，该记录没有
6、显示随机性。同时他又受布朗运动模型R=T0 5(1)的启发，提出了 Hurst 指数这一统计量。具体的计算方法如下:对于一个长度为 M 的时间序列 xt，将其平均分为 A 个区间，每个区间长度为 N(2NM/2)，记第 a 个子区间为 Ia(a=1，2，A)，Ia中的第 k个子区间记为 Ik，a(k=1，2，N)xa=1NNi=1xi，a，(a=1，2，A)(2)Zk，a=ki=1(xi，a xa)，(k=1，2，N)(3)Sa=1NNi=1(xi，a xa)槡2(4)其中，xa和 Sa分别是 Ia中数据的均值和标准差，Zk，a是 Ia上的累计离差，Ra是 Ia上的极差，对每个子区间计算 Ra
7、/Sa，可得 A 个值，将它们的平均值记做(R/S)n，即:(R/S)N=1AAa=1(Ra/Sa)=cNH(5)式(5)中，c 为常数，H 为 Hurst 指数，且 0H1 对式(7)两边取对数，得:ln(R/S)N=Hln(N)+ln(c)(6)对于不同的 N，可以得到不同的(R/S)N，以它们为式(6)的观测值，利用最小二乘法求回归系数便得 Hurst 指数 H。1 2修正 R/S 分析Lo(1991)8 所作的修正主要是针对分母 Sa，在Lo 所提出的代数式中分母变为 Sa(q):Sa(q)=1NNi=1(xi，a xa)2+2Nqi=1i(q)Nj=1(xj，a xa)(xNj，a
8、xa)=S2a+2qi=1i(q)a(7)式(7)中，i(q)=1 iq+1，(q N)，a是 Ia的自协方差估计值。1 3Hurst 指数时间序列的 Hurst 指数 H 在 01 之间，指数值的大小显示时间序列的特性:(1)当 H=0 5 时，时间序列是标准的随机游走，不同时间的值是不相关的，即一个马尔科夫过程，该时间序列不存在长期记忆性并不能预测，此时式(5)与式(1)有相同的形式;(2)当 0H 0 5 时，时间序列具有反持续性和易变结构。一个反持续性系统比随机系统覆盖较短的距离，能够以较高的频率反转，H 越接近 0 反持续性明显，越接近 0 5 随机性越明显;(3)当 0 5 H1
9、时，时间序列存在持续性特征，即长期记忆性的存在，未来受到过去趋势的影响。过去的事件对未来具有影响，存在长程相关特征，会形成一个个大的循环，这些循环没有固定的周期。1 4平均循环周期 V 统计量统计量 V 可以发现时间序列的周期性变化，并用来对时间序列的不同周期的循环长度进行估计:VN=(R/S)N槡/N(8)式(8)中，即式(5)中的重标极差。V 统计量最初是 Hurst 用来检验稳定性，后来发现可以用来精确估计噪音周期的长度。因为 V 统计量是相对于的变化率，如果序列呈现出布朗运动的随机性规律(H=0 5)，V 的值应该保持在一个确定的比率上，即，V 对于 lg(N)是一条水平的直线，不随
10、N 的变化改变;当时间序列呈现出长期记忆性(H 0 5)时，比率就会增加，V 统计量曲线就会随着 N 的增大而上升;而当 H 0 5 即时间序列出现反持续性，即比随机运动更加剧烈的波动时，V 统计量将随着 N 值的增长而单调下降。V lg(N)的关系曲线可以反映出时间序列中某一时刻的值产生的趋势对未来影响时间的界限，表现为噪声中不同频率的周期，因此图中的每个峰值所对应的 N 即为某个周期的长度。通过检查每一区域中 V 的极大值，可以得到对于周期的估计值。343833 期赵聪，等:沪深 300 股指期货跨期套利价差的 R/S 分析表 1不同跨期组合的统计数据合约组合到期时间间隔交易数据时间Hur
11、st 值R/Sq=1q=2q=4IF1006IF10093 个月5/31 6/180441 90 460 00464 00465 5IF1006IF10126 个月5/31 6/180509 80 519 10524 80520 8IF1007IF10081 个月6/4 7/160503 30 495 20489 90478 3IF1007IF10092 个月6/4 7/160475 70 483 30479 70474 7IF1007IF10125 个月6/4 7/160474 60 483 00479 50478 7IF1008IF10091 个月6/21 8/130508 50 498
12、30488 40476 9IF1008IF10124 个月6/21 8/130451 90 457 90471 90468 7IF1009IF10123 个月6/4 8/130388 20 398 60403 40411 4表 2V 值数据合约组合IF1006IF1009IF1006IF1012IF1007IF1008IF1007IF1009平均周期(8，15)(8，10)(10，20)(10，20)合约组合IF1007IF1012IF1008IF1009IF1008IF1012IF1009IF1012平均周期(10，20)(8，15)(8，15)(8，15)2实证分析2 1数据的选取本文选取
13、了沪深 300 股指期货从 2010 年 5 月31 日到 8 月 13 日的全部 5 份合约的一分钟数据的收盘价，并对着 5 份合约设计了跨期长度 16 个月不等的 8 种跨期价差组合进行验证。为了能充分反映期货市场的变化特点，每一个跨期套利组合都包括了这一时间段最活跃的主力合约或次主力合约。数据使用不同合约跨期差价的变化率 r 作为检验序列，即:ri=(x1，i+1 x2，i+1)/(x1，i x2，i)1(9)式(9)中，x1、x2 为跨期合约组合中两合约的指数序列。本文使用 R/S 和修正 R/S 分析进行验证。N的值选取 4，8，10，15，25，50，100，250，750，1 0
14、00，1 250，1 500，1 750，2 000，2 500 共计 15 个值。使用 Matlab 编程计算 Hurst 指数和 V 统计量，并绘制 V lg(N)图，V 统计量反映的周期值具体取值范围由读图获得。2 2Hurst 指数统计数据从表 1 可以看出，所有跨期组合的价差 Hurst值均集中在 0 4 0 5 之间，属于粉红噪声，存在反持续性的分形市场特征，不存在长期记忆性。由于H 值略小于 0 5，所以整体跨期价差呈较弱的反持续性。整体跨期价差的波动性比布朗运动更加剧烈，某一时刻的变化趋势将在极短的时间内结束，并向相反方向变化，使得价差维持在一个有限区域，很难有较大的偏离。这表
15、明跨期价差不是一个标准的布朗运动，未来价格趋于过去趋势的反方向运动，能够反映出一定的分形特征，或是有偏的随机过程。而不同到期时间间隔的跨期套利组合的 H 值存在一定的规律:(1)间隔 1 个月的合约组合 H 值在 0 5 左右，随机性较其他合约组合强。某些 q 值所对应的 H值已经超过了 0 5，出现了轻微的记忆性，这表明这些时间序列是较标准的布朗运动的随机序列，不同4438科学技术与工程10 卷参数 q 使得 H 值在 0 5 上下小范围变化，不能表现出分形特征。(2)其余合约组合的 H 值随着间隔的增长而减少，反持续性增强。如 IF1009IF1012 合约组合的H 值在 0 4 左右，体
16、现出了较显著的反持续性，这一序列的反映了明显的分析特征。修正 R/S 分析与 R/S 分析的 H 值大体上比较接近，q 值较大地修正 R/S 分析的 H 值较经典 R/S分析(相当于 q=0 的修正 R/S)和 q 较小的 H 统计值普遍略小。图 1IF1006IF1009 合约组合 V lg(N)图(平均周期 8，15 min)2 3V 值统计数据V 值总体处在(8，20)的范围内，见表 2，即时间序列的记忆性的平均长度在 8 20 个数据点的范围内。由于所使用的是 1 min 数据，则某一时刻的价格趋势只能影响到未来 8 到 20 min 的走势，这样的记忆长度十分有限，反映了时间序列没有
17、显著的长期记忆性。同时 8 到 20 min 的运动趋势也反映了这些序列的反持续性并不明显，没有出现过于强烈的波动。因此时间序列表现出较弱的分形特征和有偏的随机特征。2 4结果分析(1)不同跨期套利合约组合的 Hurst 值在(0 4，0 5)的范围内，反映了沪深 300 股指期货的跨期不同与股票现货指数和期货指数等存在长期记忆性的，而反映出一定的反持续性和有偏随机性，整体符合有效市场假说和期货定价的持有成本模型。而反持续性正反映了当某一趋势形成，期货指数偏离了持有成本定价，产生套利空间后，套利者会利用套利空间进行套利，使得指数迅速恢复到合理的范围内。(2)Hurst 值随着到期时间间隔的增长
18、而减小表明:较远期的合约不活跃，缺乏足够的投资者，不适合进行投机等模式的参与，因而只有少数投资者进行跨期、期现套利等投资行为，因而其趋势更加短暂，反持续性更为明显。而较近期的主力合约较活跃，受到多种投资模式的投资者追捧，而由于有套利者的存在，不会出现像股票现货市场一样的长期趋势，因此则表现为较为明显的随机性。(3)V 统计值也印证了 H 统计的结论，时间序列的周期平均长度在 8 到 20 min，不能体现长期趋势，而是短期的波动性。因此 8 20 min 即从趋势产生到套利空间出现的平均长度，而后将由套利者利用这一机会进行套利，并使指数快速反向运动。3结语通过对于跨期套利价差的 R/S 分析，
19、发现了我国新推出的沪深 300 股指期货跨期价差是不同于现货和期货指数本身的一种投资组合，有不同的分形特征。反映了期货市场是与现货市场不同的金融产品，由于套利的作用较现货市场 H 值更接近 0 5，更符合市场有效性假说，其推出能够促进我国金融市场的发展。经典 R/S 分析和不同参数 q 下修正的修正 R/S分析以及反映平均周期的 V 统计值对于价差时间序列得到了相类似的结论，反映了这几中检验方法都能定性地发现市场的分形特征。进一步研究可以针对股指期货跨期价差的反持续性，应用其他模型进行更深入检验。同时由于价差的反持续特征，可以探究合理的定价区间和套利范围。参考文献1Barkoulas J T:
20、Long memory in the Greek stock market Applied Fi-nancial Economics，2000;10(2):1771842Edgar E Peters:资本市场的混沌和秩序(第二版)北京:经济科543833 期赵聪，等:沪深 300 股指期货跨期套利价差的 R/S 分析学出版社，19993Henry O T Long memory in stock returns:some international evi-dence Applied Financial Economics，2002;12:7257294John S H Much ado ab
21、out nothing:Long-term memory in pacific rimequity markets International Review of Financial Analysis，1999;8(2):1391515Lo A Long-term memory in stock market prices Econometric，1991;(59):1 2791 3136Mandelbrot B B The fractal geometry of nature SanFrancisco:Free-man，19827Opong K K The behavior of some
22、UK equity indices:An applicationof Hurst and BDS tests Journal of Empirical Finance，1999;(6):2672828顾贤斌，李序颖 波罗的海干散货运价指数长记忆性实证分析上海海事大学学报，2009;3(1):40449黄光晓，陈国进 基于分形市场理论的期铜价格 R/S 分析 当代财经，2006;(3):606410刘倩，梁久祯 基于 R/S 方法的股票平均循环周期研究 计算机工程与设计，2009;30(21):4 9424 944R/S Analysis on Calendar Spread of CSI300
23、 Index FuturesZHAO Cong，YU Xi(Dept of Physics，Fudan University，Shanghai 200433，P R China)AbstractThe emperial research of the 1 minute data of the calendar spread of CSI300 Index futures utili-zing Hurst exponent and V statistics based on R/S analysis gives its Hurst exponent in(0 4，0 5)and the aver
24、ageloop cycle between(8，20)minutes Such an outcome indicates that the calendar spread reflects a fractal marketcharacter with low-level anti-persistence Because of the impact from arbitrage，the past tendency in calendar spreadbrings counter-effect in future，which is different from long-term memory of stock spot market Key words calendar spreadR/S analysishurst exponentaverage loop cycleanti-persistence6438科学技术与工程10 卷