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1、基于GARCH-VaR 模型的 ETF基金市场风险的实证分析周昭雄1 王 剑21(上海理工大学,上海 200000)2(上海东华大学,上海 200051)1摘 要2 ETF 基金是我国少有的金融创新产品之一,然而在近年来急涨骤跌的股市中,ETF 面临着很大的市场风险,但国内尚缺乏关于 ETF 基金市场风险的定性研究。同时在此次全球金融危机中,如何加强金融工具的风险管理已成为当务之急。因此,本文以我国上市最早的 50ETF 为研究对象,在正态分布、t 分布与 GED 分布 3种情况下,建立了 GARCH 族模型计算动态方差,研究了 ETF 基金的收益风险补偿问题与非对称信息冲击问题,接着用方差)
2、协方差方法求出 VaR 值,在 3 种置信水平下通过与实际收益率的比较来度量市场风险,然后对 VaR 值的准确性进行检验,最后分析得出最适合估计 ETF市场风险的模型。1关键词2 ETF GARCH 风险 动态方差1中图分类号2 F830191 1文献标识码2 A 收稿日期:2009)09)15 ETF(Exchange traded fund,交易所交易基金)是全球金融市场在 90 年代以来的最成功的金融创新产品之一。ETF 是以复制和追踪某一市场指数为目的,通过充分分散化的投资策略,降低非系统风险和通过被动的投资管理方式,最大限度地降低交易成本,从而取得市场平均收益。2005 年,我国首只
3、 ETF 基金上市,迄今,我国共有 5 只 ETF 基金。而在几年来股市牛熊转换的涨落中,ETF 基金的市场风险不断放大,同时,在金融性金融危机的大背景下,怎样加强对基金的风险管理已成为基金管理者的一个重要课题。VaR 方法能以一个风险值表示各类风险并给出风险的发生概率,因而成为当前风险管理界最广为应用的方法。GARCH 族模型可以有效地描述金融时间序列的尖峰厚尾的特征,追踪收益率的动态方差进而可以精确地计算 VaR 值,因而得到研究人员的重视。因此,本文将以 50ETF 为样本,从收益的波动性与概率分布出发,建立 GARCH 族模型,计算 VaR 值,分析VaR 值与实际收益率的差别,通过综
4、合比较得出最合适的模型,为基金管理者评估、度量与防范风险提供决策的参考。1 模型建立111 VaR 介绍1993年 7月,G30 集团在研究金融衍生品种的基础上,提出了度量市场风险的 VaR(Value at Risk)方法,并首次对VaR 进行了较为详细的介绍。VaR 是当前最主流的风险度量方法。菲利普#乔瑞(Philippe#Jorion)给出的权威的定义是,VaR 是在一定的置信水平下和一定的目标期间内,预期的最大损失。数学公式表示为:Prob($P VaR)=1-c其中,$P 表示资产在持有期 t 内的损失,c 是给定的置信水平。现实中我们常用的公式为:VaR=-W0R*=W0(A R
5、$t-L$t)W0是初始投资额,R 为投资收益率,预期均值和波动率分别为 L 和 R。本文将选取方差)协方差法计算VaR 值。112 GARCH 族模型现实中的金融时间序列存在严重的波动集聚性,即大幅波动往往集中在某一时段,小幅波动往往集中在另一时段,则收益率的方差 R 不稳定。因此,我们需要引入能有效估计时变方差的 GARCH 族模型对 VaR 进行动态估计。(1)GARCH 模型:Bollerslev1T(1986)提出了广义自回归条件异方差模型 GARCH 模型(generalized autore-gressive conditional heteroskedasticity mode
6、l),表达式如下:yt=x ctB+Etht=A0+Eqi=1AiE2t-i+Epj=1Hjht-j其中,ht=R2t,pE 0,q 0;A0 0,AiE 0,i=1,q;HjE 0,j=1,p,Et N(0,R2t)。(2)基于收益风险补偿的 GARCH-M 模型:金融理论表明收益应当与其风险成正比,较高的风险的资产可以获得更高的平均收益。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为 GARCH-M 模型(GARCH-in-mean),模型表达式为:)127)第 29卷 第 1 期2010 年 1月工业技术经济Vol129,No 11总第 195 期yt=xctB+Et+K R2tR2t=R0+
7、R1E2t-1+,+RqE2t-q其中,参数K是用条件方差R2t衡量的,可观测到的预期风险波动对 yt的影响程度,代表了风险与收益的一种平衡。(3)基于非对称性的 TARCH 模型:基于股票市场的研究发现,股价下跌和上涨的幅度相同时,股票价格下跌过程往往会伴随着更剧烈的波动性。为了解释这种现象,Zakoian(1990)提出 TARCH(Threshold ARCH)模型,它具有如下形式的条件方差:ht=A0+Eqi=1AiE2t-i+U E2t-1dt-1+Epj=1Hjht-j。其中,dt是一个服从(0,1)的名义变量,当Et 0)时,U E2t-1dt-1=0,其影响可用系数Eqi=1A
8、i表示,下跌(Et 0时,则认为存在杠杆(leverage)效应。(4)基于非对称性的 EGARCH 模型:EGARCH(Ex-ponential GARCH)模型也是用来度量非对称性的方程,由Nelson在 1991年提出,其条件方差数学表达式为:ln(ht)=A0+Epj=1Hjln(ht-j)+Eqi=1AiEt-iht-i+UiEt-iht-i模型中条件方差采用了自然对数形式,意味着 ht非负且杠杆效应是指数型的。若UX 0,表示信息作用非对称;若U 0,则杠杆效应显著。(5)信息冲击曲线(NIC):为了形象地描述消息的非对称性影响,Engle andNg(1993)提出了 NIC,允
9、许波动率对市场下跌的反应比市场上升更大。其定义如下:信息冲击曲线是时间 t 的条件方差R2t和时间 t-1的扰动项E2t-1的函数关系,其常数项包含以非条件方差估计的条件方差的延迟项,以及 t-2 期以前的信息。在TARCH(1,1)模型下,NIC 的函数表达式是:R2t=A+(A1+U1dt-1)E2t-1A=A0+H1R2在 EGARCH(1,1)模型下,NIC 的函数表达式是:R2t=AexpA1Et-1R+U1Et-1RA=R2H1expA0-A12P113 3种分布由VaR 的定义可知,未来收益率的分布直接决定了特定置信水平下的分位数A。现实中的金融时间序列数据往往在均值与尾部附件积
10、聚较多,其经验分布是尖峰厚尾的。因此研究人员使用厚尾分布加以改进,使用较广泛的是t 分布及 GED 分布。本文假定收益率残差序列分别服从正态分布、t 分布及 GED 分布,来对模型参数进行估计。2 数据检验本文样本区间是 2005 年 2月 23 日到 2009 年 6 月 19日,共计 1056组数据。数据均来源于大智慧软件,其中基金日净值都已进行向后复权处理。这里,我们采用对数收益率,其公式为:yt=lnPt+DtPt-1。211 正态性检验检验指标为峰度、偏度及 Jecque-Bera 检验。JB 统计量服从自由度为 2 的 V2分布,5%置信水平分位数是5199。Eviews510 处
11、理得到结果为:偏度(skewness)为010191,大于 0,表明其稍微存在右偏性质,实际收益率大于 平均 收 益率 的 情况 比 较多。峰 度(kurtosis)为519428,大于 3,表明该分布尾部比正态分部粗壮,呈现尖峰厚尾的特征。而 Jarque-Bera 统计量是 380176,远超过 5%置信水平下的临界值,因而,拒绝收益率正态分布的原假设。212 相关性检验因为时间序列具有惯性与粘滞性的特点,表现在残差之间存在彼此相关的关系,因而建立模型需要用自相关来描述这种特性。这里,用自相关函数(ACF)和偏相关函数(PACF)进行检验,并采用 Ljung-Box Q 检验对相关性作定量
12、分析。原假设是数据不存在序列相关性,Q 统计量近似服从 V2分布。一般情况选择滞后阶数为10,求出相关系数图。根据 Eviews510 分析结果,Q 值对应概率都远在 0105 之上,原假设无法被拒绝,即收益率序列不存在序列相关。213 平稳性检验在运用 ARCH 模型时,数据的平稳是前提条件之一。平稳性指的是建立的自回归模型中,被解释变量呈现均值回归(mean-reverting)特征,表现在方程不存在单位根(unit root)。因而,下面运用 ADF 法对平稳性进行检验。原假设是数据序列存在单位根。考虑 AR(1)过程,yt=L+Byt-1+Et,原假设H0B B=1。Eviews510
13、 统计结果得到:ADF 检验值为-24 19,对应 p 值=0,则拒绝原假设,表明数据不存在单位根,即证明服从平稳性,因而可以运用 ARCH 模型。3 实证分析我们建立 GARCH 族模型,并研究两个问题:是否需要建立ARCH-Mean模型和是否存在非对称性信息影响。根据国内外研究情况,我们选取 GARCH(1,1)族模型,TARCH/EGARCH 的非对称项数也取 1,这可刻画出条件异方差的绝大部分信息,并且方便计算。因此,在 3 种分布 下,我 们 分 析 下 列 4 个 模 型:GARCH(1,1),GARCH-M(1,1),TARCH(1,1)和 EGARCH(1,1)。)128)第
14、29卷 第 1 期2010 年 1月工业技术经济Vol129,No 11总第 195 期311 残差服从正态分布情况时表 1 正态分布下模型的系数及 t 统计值A0A1H1U1GARCH(1,1)01000003010646460193145761464102153GARCH-M(1,1)010000017010587090194020661943512110774TARCH(1,1)010000035010482590192845010373184152239917274216584EGARCH(1,1)-01229193011528420,985258-010345710555242193
15、55-31498 GARCH(1,1)模型中,ARCH 项和 GARCH 项的系数之和A+H=01996103 1,说明方差方程满足稳定性,且对条件方差的影响逐步递减。但因为 01996103 相当接近1,反映了收益率对信息冲击波动的长期记忆性。GARCH-M(1,1)模型中,均值方程中,统计结果表明波动性R 系数小于 0,这和理论相背离,而且 R 系数对应分位数-01654322,统计不显著,无法证明收益率序列与波动性存在显著关系。TARCH(1,1)方程中,方差方程各系数之和A+H+015U=01996364 0,系数显著,表明收益率的波动显著地受到负的未预知到的收益的影响。EGARCH
16、中,非对称系数 U=-010345 0,系数显著。表明出现 利好消息给 基金收 益率带来 的冲击 是011183倍,而出现利空消息带来的冲击是011873倍。同时,我们绘制信息冲击曲线,对非对称性进行形象的描述。图 1和图 2 分别是TARCH(1,1)和 EGARCH(1,1)下的信息冲击曲线。可以看出,同等程序的信息冲击,利空消息带来的波动则比较明显地大于利好消息带来的冲击,因而这里面的非对称性是比较明显的。综上,我们得出结论是:正态分布下,GARCH(1,1),TARCH(1,1)和 EGARCH(1,1)3 个方程是显著的。图 1 TARCH(1,1)的信息冲击曲线图 2 EGARCH
17、(1,1)的信息冲击曲线312 残差服从 t 分布情况表 2 t 分布下模型的系数及 t 统计值A0A1H1U1GARCH0100000301057859019386241088691759GARCH-M010000023010561710192413341120372185TARCH0100000301487240193704101020219310046817478019747EGARCH-011736820113012201990013-0101639-1116582071486416272)129)第 29卷 第 1 期2010 年 1月工业技术经济Vol129,No 11总第 195
18、 期 GARCH(1,1)模型各统计系数都很显著。ARCH 项和GARCH 项的系数之和A+H=01996481 0,不能说明利空消息对收益产生较大的影响,EGARCH 模型非对称系数 U系数=-0101639 0,而且两个系数都统计不显著。因而这两个模型表明可以忽略非对称性影响。这说明:t 分布下,只有GARCH(1,1)模型是显著的。313 残差服从 GED 分布情况表 3 GED 分布下模型的系数及 t 统计值A0A1H1U1GARCH0100000301060618019348414102496511626GARCH-M010000021010581180193914411918701
19、098TARCH010000033010485980193262401026999218865631923781128659EGARCH-011958570113942401988268-01023124146962318018945-1164365 GARCH(1,1)模型下,各统计系数都很显著,ARCH项和 GARCH 项的系数之和 A+H=01995459 0,不能说明利空消息对收益产生较大的影响,EGARCH 模型非对称系数U系数=-01023122 p*,则表明低估风险;NTp*且过低,则表明高估风险。因而即不高估也不低估风险是一个最平衡的选择。下面我们得到 3 种置信水平下的 Va
20、R 的值、失效率及拉格朗日检验(LR)值:表 4 95%置信水平的 VaR 值与失效率95%置信水平自由度分位数期望均值VaR 最大值VaR 最小值VaR 均值NN/TLR 值N-GARCH116450100141-0101-010707-010317530105010008N-TARCH116450100113-010082-010704-010325201049010128N-EGARCH116450100097-010076-010695-01032500104701159t-GARCH51289119910100115-010102-010844-0103942801027141686
21、9GED-GARCH11251116490100122-010082-0 107-010319500104701159表 5 9715%置信水平的 VaR 值与失效率9715%置信水平自由度分位数期望均值VaR 最大值VaR 最小值VaR 均值NN/TLR 值N-GARCH11960100141-010118-010846-01038134010322106N-TARCH11960100113-010102-010841-0103843001028014826N-EGARCH11960100097-010093-01083-0103832901027012546t-GARCH512892152
22、90100115-010135-011071-010502110101111768GED-GARCH11251210760100122-010108-010884-0104052501024010775)131)第 29卷 第 1 期2010 年 1月工业技术经济Vol129,No 11总第 195 期表 6 99%置信水平的 VaR 值与失效率99%置信水平自由度分位数期望均值VaR 最大值VaR 最小值VaR 均值NN/TLR 值N-GARCH213260100141-010142-011006-0104551701016313485N-TARCH213260100113-010120-0
23、11001-0104571801017413718N-EGARCH213260100097-010112-010987-0104561701016313485t-GARCH51289312890100115-010175-011397-010655401004513948GED-GARCH11251216160100122-010137-011118-0105131101010010183413 结 论(1)置信水平越高,对应的左尾概率越小,发生第二类错误(原假设错误,但统计结果不拒绝原假设)的概率已经大大提高。因此,得到的 VaR 绝对值越大,则表明风险评估者更谨慎。左尾概率越小,极端事件发
24、生的频率也越小,对分布的尾部的准确描述也越困难。(2)3种置信水平下,t-GARCH(1,1)的失效次数都显著小于其它 4种模型,其失效率也显著低于期望收益率,估计出的VaR 值也明显最高,这说明假定残差服从t 分布会显著地高估风险值。从表 4、表 5、表 6 中也可看出,t 分布下的 VaR 值曲线明显最偏离x 轴,说明了高估风险,则损失超过 VaR 值的次数较少甚至接近于 0。因此,可以考虑运用有偏t 分布替代 t 分布进行VaR 值求解。(3)在 3 种置信水平下,正态分布下的 3 种模型得的VaR 值都非常接近,而得到的失效率也很接近,其中失效率相对较低的是EGARCH(1,1)模型,
25、最接近预期概率,说明该模型对风险度量的效果较好。同时,这表明虽然TGARCH(1,1)和 EGARCH(1,1)模型有效地捕捉了信息冲击的非对称性,但是在计算 VaR 值时,是否区分非对称性并不对计算结果产生显著影响。(4)在 3种置信水平下的GARCH(1,1)模型下,GED分布的失效率总是在正态分布和 t 分布之间,且失效率也是最接近于期望概率的,与期望概率的偏离幅度最小,这表明 GED 分布下的GARCH(1,1)模型求解 VaR 值效果优于正态分布与 t 分布。(5)巴塞尔监管委员会提倡在计算 VaR 值时使用99%置信水平,在该置信水平下,GED-GARCH(1,1)的失效率偏离度是
26、最小的(仅 4116%),综合考虑模型准确性、分布等因素,我们得出结论,99%置信水平的GED-GARCH(1,1)模型是当前最合适的用来描述 ETF 基金市场的风险的模型。参 考 文 献1.Bellerlev T.Generalized autoregressive conditional het-eroskedasticity.Journal of Econometrics,1986,(31):3073272.Nelson D.Conditional heteroskedasticity in asset re-turns:A new approach.Econometrics,1991,
27、(59):3473703.Engle.RF,Ng V.Measuring and Testing the Impactof News on Volatility J.Journalof Finance,1993,48(5):1749 17784.Philippe Jorion.Value at risk:the new benchmark formanaging financial risk.Chen Yue.Zhong Xin Publication,20055.周孝华,唐秋燕,沪深 300指数极值 VaR 的分析与计算 J.统计与决策,2008,10:96 986.徐炜,黄炎龙.VaR-GARCH 类模型在股市风险度量中的比较研究 J.统计与决策,2008,3:20 237.孙洪庆,邓瑛.EGARCH)M 模型对股价波动的国际比较研究 J.金融教学与研究,2009,1:61 658.邵锡栋,连玉君,黄性芳.交易间隔、超高频波动率与 VaR)利用日内信息预测金融市场风险 J.统计研究,2009,1:96 102作者简介 周昭雄,上海理工大学管理学院副教授,硕士生导师。研究方向:证券投资。王剑,上海东华大学旭日工商管理学院金融学硕士研究生。研究方向:金融风险管理。)132)第 29卷 第 1 期2010 年 1月工业技术经济Vol129,No 11总第 195 期