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1、会计学1有限元讲义有限元讲义(jingy)第一页，共43页。第1页/共43页第二页，共43页。第2页/共43页第三页，共43页。3、三维实体单元可分为(fn wi)四面体单元、六面体单元、任意六面体单元和曲面六面体单元。后两种单元可以适应外形不规则或外形为曲面的物体的单元剖分。第3页/共43页第四页，共43页。4、弯曲问题中的薄板单元和薄壳单元 常用的有三角形薄板单元、矩形薄板单元。5、轴对称单元 三角形轴对称单元、矩形轴对称单元。也称为(chn wi)三角形截面环状单元、矩形截面环状单元。第4页/共43页第五页，共43页。第5页/共43页第六页，共43页。第二章第二章 弹性力学弹性力学(l
2、xu)的基本方程式的基本方程式弹性力学是有限元法的基础之一。在弹性力学里，为了简化计算及反映事物的本质，必须做一些假设。1、连续体假设：假设无题是连续的，没有任何空隙。因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，它们(tmen)都是坐标的单值连续函数。2、弹性假设：假设物体是完全弹性的。在温度不变时，物体任一瞬间的形状完全取决于在该瞬间时所受的外力。而与它过去的受力状况无关。当外力消除后，它能够恢复原来的形状。弹性假设就是假设物体服从虎克定律，应力与应变成正比关系。第6页/共43页第七页，共43页。3、均匀性假设：假设物体是均匀的，各部分都具有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数
3、。4、各向同性假设：假设物体内每一点各个方向的物理和机械性质都相同。5、小变形假设：假设物体的变形是微小的，即物体受力后，所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，应变都很小。这样，在考虑物体变形后的平衡状态时，可以(ky)用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。第7页/共43页第八页，共43页。第一节第一节 应力应力(yngl)及其分量及其分量一、应力及其表示方法(fngf)弹性体在外力作用下，其内部将产生内力。我们把作用在点附近（包括该点）单位面积上的内力称为该点的应力。一般来说，应力在物体内各点是不一样的，是单值连续变化的，是各点坐标的单值连续函数。为了描述并完全确定应力，不仅要知道它的大小和方向
4、，还要知道其作用面。因此，通常在应力符号下方标有两个下角标。其中，第一个角标表示它的作用平面（用该作用面的法线方向来表示）；第二个角标表示该应力的作用方向，即平行于那个坐标轴。由于正应力分量的两个下角标总是相同的，因此只需一个角标就够了。第8页/共43页第九页，共43页。二、某点的应力状态考虑到通过(tnggu)弹性体中的任一点总可以作出于三个坐标平面平行的微小截面，因此可以用作用在这三个这三个相互垂直的微小截面上的九个应力分量x，xy，来表示这点的应力状态，如图2.1-2所示。它们是既有大小、方向，又有作用面的向量。写成矩阵则为对于图2.1-1（b）中的微小截面，因为它平行于yoz面，法线为
5、x，所以该截面上点A的应力为：1垂直于该面的正应力；2作用在该面的剪应力。该剪应力又分解为平行于坐标轴y的xy和平性于平行于坐标轴y的xy。应力的正负号规定为：拉应力为正值，压应力为负值(fzh)；剪应力的符号和正应力的正负有关，如正应力的正方向于坐标轴的正方向相同，则与另外两坐标轴的正方向相同的剪应力为正值。这样，图2.1-1（b）中的xy和xy均为正值。第9页/共43页第十页，共43页。第二节第二节 力的平衡力的平衡(pnghng)微分方程微分方程当物体在外力作用下保持静止或等速直线运动时，则称该物体处于平衡状态。一、外力的种类一般来说，作用在物体上的外力（包括力矩）可以分为两类：1表面力
6、作用在物体表面上的载荷。如果集中作用于某点则称为集中力，一般用它们在三个坐标轴方向上的分量来表示。如果作用在物体的部分表面，则称为分布力，如流体静压力等。分布力一般用单位面积中的合力在三力坐标轴方向的分量来表示。2体积力分布作用在物体每个质点(zhdin)上的力，如重力、离心力、惯性力等。第10页/共43页第十一页，共43页。二、二维应力二、二维应力(yngl)状态下力的平衡微分方状态下力的平衡微分方程程对于(duy)平衡状态下的物体，其内部任意质点上作用的外力与内力总是平衡的。现用二维平面应力状态来研究这种平衡关系。说说 明明在弹性体内质点A(x0，y0）附近，截取出一个(y)dz=1，面积
7、为dxdy的微小单元体ABCD，假定其上只作用有方向的正应力。第11页/共43页第十二页，共43页。若任意函数(hnsh)f(x，y）在点x=x0，y=y0处的值为f(x0，y0）=f0，则利用泰勒展开式得：说说 明明第12页/共43页第十三页，共43页。若规定(gudng)则有略去(l q)二阶微小量后，得第13页/共43页第十四页，共43页。如上图所示，点D相对于点A，应力值的增量(zn lin)与两点之间的距离成正比；点C相对于点B，应力值的增量(zn lin)与两点之间的距离成正比。这说明，在边和边上，应力x是线性变化的。第14页/共43页第十五页，共43页。这样(zhyng)，AD边
8、的平均正应力为BC边的平均(pngjn)正应力为若设点A的向正应力(yngl)为x，点A沿AD边上的剪应力(yngl)为xy，点A沿AB边上的剪应力(yngl)为yx，则微小单元体各边上的平均应力(yngl)如下图所示。第15页/共43页第十六页，共43页。第16页/共43页第十七页，共43页。18设微小单元体受有体积力的作用，其在x，y方向(fngxing)上的分量为X，Y。把微小单元体上所有在x方向(fngxing)上内力之和与外力相加，由平衡条件Fx=0，得：第17页/共43页第十八页，共43页。整理(zhngl)得：同理，把微小单元体上所有在y方向(fngxing)上内力之和与外力相加
9、，由平衡条件Fy=0，得：把所有(suyu)的内力、外力对点A取矩，由MA=0，可得二维问题的第三个平衡微分方程式：第18页/共43页第十九页，共43页。三、三维应力状态三、三维应力状态(zhungti)下力的平下力的平衡微分方程衡微分方程当在三维应力作用的一般情况下，从弹性物体上取出微小单元体dx dy dz，采用上述方法，可以(ky)得到直角坐标系中的平衡微分方程式：第19页/共43页第二十页，共43页。上式中后三个式子表示剪应力分量(fn ling)是两两相等的。一点的应力状态用六个应力分量(fn ling)表示即可。或第20页/共43页第二十一页，共43页。四、静力边界条件四、静力边界
10、条件物体的边界有自由(zyu)边界和固定支撑边界两种，在自由(zyu)边界处取出微单元体ABC。AB边长ds第21页/共43页第二十二页，共43页。令外法线的方向(fngxing)余弦为则有由Fx=0，可得同理，由Fy=0，可得第22页/共43页第二十三页，共43页。把上面(shng min)的分析方法推广到三维应力状态，有：设表面(biomin)力的分量为则平衡条件为：第23页/共43页第二十四页，共43页。第三节第三节 位移位移(wiy)、应、应变及位移变及位移(wiy)和应变和应变的关系的关系一、位移(wiy)和应变说说 明明位移和应变都是描述弹性体形变状态的量，位移是指变形前后，物体某
11、质点在空间位置的绝对移动量；应变是指某质点变形前后，某质点附近(fjn)微小线段长度的相对变化量（线应变）或两个微小线段间所夹直角的变化量（剪应变或角应变）。弹性体受外力后，各点都要产生位移。在直角坐标中的分量为u，v，w。位移是坐标的单值连续函数。弹性体受外力后，各点都要产生应变，它们也是坐标的单值连续函数。第24页/共43页第二十五页，共43页。二、二维问题的几何(j h)方程首先研究二维情况(qngkung)，既平面应变的情况(qngkung)。平面应变是指质点在形变后仍位于同一平面内，即w=0，且u，v和坐标z无关。第25页/共43页第二十六页，共43页。如上图所示，微小单元体的形变过
12、程可以这样来看第一步，平移而没有发生形变；第二步，发生形变。线应变用微小直线段的变化(binhu)量与原长之比来表示；角应变用角度产生的改变量来表示。第26页/共43页第二十七页，共43页。和上一页式相比(xin b)，得同理得第27页/共43页第二十八页，共43页。AB相对(xingdu)于AB产生的转角为AD相对(xingdu)于AD产生的转角为因此(ync)角应变为第28页/共43页第二十九页，共43页。平面问题的几何(j h)方程为写成矩阵(j zhn)形式为第29页/共43页第三十页，共43页。三、三维问题(wnt)的几何方程第30页/共43页第三十一页，共43页。第四节第四节应力和
13、应变应力和应变(yngbin)的关系的关系-物理物理方程方程一、虎克定律(dngl)在单向拉伸或压缩在单向拉伸或压缩(y su)的正应力的正应力 作用下，会引起相应方向的正应变作用下，会引起相应方向的正应变。应。应力和应变成正比。力和应变成正比。或或在与正应力在与正应力 作用方向箱垂直的另外两个方向上，还会产生横向正应变作用方向箱垂直的另外两个方向上，还会产生横向正应变 1。1和和 大小大小成正比，符号相反。成正比，符号相反。称为称为波桑比波桑比或或波桑系数波桑系数。第31页/共43页第三十二页，共43页。正应力正应力 不能产生不能产生(chnshng)角应变角应变，剪应力，剪应力 也只能产生
14、也只能产生(chnshng)角应角应变变。与与成正比，比利系数成正比，比利系数G称为剪切弹性模量。称为剪切弹性模量。G、E、三者之间有如下(rxi)的关系：因此因此(ync)，由可，由可以写出以写出第32页/共43页第三十三页，共43页。二、三维问题的物理二、三维问题的物理(wl)方程方程对于各向同性的弹性体，各个方向的对于各向同性的弹性体，各个方向的G、E、都相同，由虎克定律都相同，由虎克定律可知：当可知：当 X单独作用单独作用(zuyng)时，会引起正应变和横向正应变。时，会引起正应变和横向正应变。当y单独(dnd)作用时，有当 z单独作用时，有第33页/共43页第三十四页，共43页。当X
15、，y，z同时作用(zuyng)时，对x方向有整理(zhngl)得同理得第34页/共43页第三十五页，共43页。在同一时刻，分别有剪应力同时作用(zuyng)时，则分别产生剪应变把应力和应变关系的六个式子(sh zi)写成矩阵方程，就是应力和应变关系的物理方程，也称为广义虎克定律第35页/共43页第三十六页，共43页。第36页/共43页第三十七页，共43页。矩阵D称为(chn wi)三维应力状态下的弹性矩阵第37页/共43页第三十八页，共43页。三、二维问题的物理(wl)方程对于(duy)平面应力状态，有因此物理方程(fngchng)可以写为矩阵D称为二维平面应力状态下的弹性矩阵二维平面应力状态
16、下的弹性矩阵第38页/共43页第三十九页，共43页。第五节第五节 虚功虚功(x n)方程方程虚功原理是力学中的一个(y)普遍原理，适用于弹性连续体。虚功原理：设弹性体在外力作用下处于平衡状态，当弹性体产生微小的虚位移并同时在弹性体内产生虚应变时，外力在虚位移上所做的虚功等于弹性体内各点的应力在虚应变上所做的虚功的总和。虚功原理是能量守恒原理的具体应用。虚位移：弹性体产生的一组约束（支撑）条件所许可的、数值不确定的微小位移。说说 明明首先(shuxin)以平面问题来描述虚功原理下图为厚度为的平面弹性结构。该结构在i，j，k，上作用有外力第39页/共43页第四十页，共43页。假设结构在外力作用下处
17、于平衡(pnghng)状态。在外力作用下，弹性体内部产生应力，在任意点A上应力用微小单元体上的应力来表示。第40页/共43页第四十一页，共43页。外力(wil)各作用点的虚位移为其内部也产生与虚位移相协调(xitio)的虚应变外力在虚位移的各个(gg)分量上所做的功为第41页/共43页第四十二页，共43页。在弹性体内部，应力也要在虚应变上做功。在体积(tj)为dxdyt的微小单元体上，应力的各个分量在虚应变的各个分量上所做的虚功为所以，整个弹性体内，应力在虚应变(yngbin)上的虚功为这样(zhyng)，虚功原理可表示为这就是二维平面问题的虚功方程。对于三维问题，有第42页/共43页第四十三页，共43页。