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1、会计学1清华大学微积分高等数学定积分二清华大学微积分高等数学定积分二2023/2/262第十七讲第十七讲 定积分定积分（二）（二）二、牛顿二、牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式一、变上限定积一、变上限定积分分三、定积分的换元积分法三、定积分的换元积分法四、定积分的分部积分法四、定积分的分部积分法第1页/共35页2023/2/263上限变量上限变量积分变量积分变量一、变上限定积分一、变上限定积分第2页/共35页2023/2/264定理：定理：注意注意 连续函数一定存在原函数连续函数一定存在原函数 ！路程函数是速度函数的原函数路程函数是速度函数的原函数第3页/共35页2023/2/265证证(1)用连
2、续定义证明用连续定义证明第4页/共35页2023/2/266证证(2)用导数定义证明用导数定义证明第5页/共35页2023/2/267解解第6页/共35页2023/2/268解解第7页/共35页2023/2/269解解注意注意 变上限定积分给出一种表示函数的方变上限定积分给出一种表示函数的方 法，对这种函数也可以讨论各种性态。法，对这种函数也可以讨论各种性态。第8页/共35页2023/2/2610解解第9页/共35页2023/2/2611解解第10页/共35页2023/2/2612第11页/共35页2023/2/2613思考题：思考题：1.有原函数的函数是否一定连续？有原函数的函数是否一定连续
3、？2.有原函数的函数是否一定黎曼可积有原函数的函数是否一定黎曼可积？3.黎曼可积的函数是否一定存在原函黎曼可积的函数是否一定存在原函 数？数？第12页/共35页2023/2/2614二、牛顿二、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式定理定理2：证证第13页/共35页2023/2/2615第14页/共35页2023/2/2616解解 牛顿牛顿莱布尼兹公式将定积分的计莱布尼兹公式将定积分的计算问题转化为求被积函数的一个原函算问题转化为求被积函数的一个原函数的问题数的问题.第15页/共35页2023/2/2617解解第16页/共35页2023/2/2618 例例33 解解 利用估值定理利用估值定理第17页/共
4、35页2023/2/2619所以所以即即第18页/共35页2023/2/2620三、定积分的换元积分法三、定积分的换元积分法定理定理1:(1:(定积分的换元积分法定积分的换元积分法)第19页/共35页2023/2/2621 证证 第20页/共35页2023/2/2622 解解 于是由换元公式于是由换元公式第21页/共35页2023/2/2623 解解 于是由换元公式得于是由换元公式得第22页/共35页2023/2/2624 证证(1)(1)第23页/共35页2023/2/2625为什麽为什麽?定积分与积分变量定积分与积分变量 所用字母无关！所用字母无关！例如例如:第24页/共35页2023/2/2626例例例例解解解解第25页/共35页2023/2/2627第26页/共35页2023/2/2628四、定积分的分部积分法四、定积分的分部积分法定理定理2:(2:(定积分的分部积分法定积分的分部积分法)第27页/共35页2023/2/2629 证证 利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式第28页/共35页2023/2/2630即即第29页/共35页2023/2/2631 解解 第30页/共35页2023/2/2632 解解 第31页/共35页2023/2/2633 解解 第32页/共35页2023/2/2634第33页/共35页2023/2/2635第34页/共35页