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1、会计学1清华大学微积分高等数学不定积分一清华大学微积分高等数学不定积分一2023/5/72第十三讲第十三讲 不定积分（一）不定积分（一）一、原函数与不定积分概念一、原函数与不定积分概念二、基本积分表二、基本积分表三、凑微分法三、凑微分法第1页/共42页2023/5/73一、原函数与不定积分概念一、原函数与不定积分概念（1 1）从运算与逆运算看从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、乘法与除法、初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方与开方等，都是互逆的运算。乘方与开方等，都是互逆的运算。微分运算是对一个可导函数求导数。微分运算是对一个可导函数求导数。微分运算的逆运算是什麽？微分运算的逆运算是什麽
2、？问题：问题：这就是求原函数和不定积分的运算。这就是求原函数和不定积分的运算。第2页/共42页2023/5/74（2 2）从物理问题看从物理问题看第3页/共42页2023/5/75（一）原函数的定义（一）原函数的定义第4页/共42页2023/5/76关于原函数有两个理论问题关于原函数有两个理论问题:（a a）原函数的存在问题）原函数的存在问题结论结论:（b b）原函数的结构问题）原函数的结构问题 一个函数若存在一个原函数，一个函数若存在一个原函数，则它必有无穷多个原函数。则它必有无穷多个原函数。第5页/共42页2023/5/77定理定理1证证第6页/共42页2023/5/78第7页/共42页2
3、023/5/79积分变量积分变量积分变量积分变量积积分分常常数数积积分分号号（二）不定积分的定义（二）不定积分的定义记作记作:被积函数被积函数第8页/共42页2023/5/710 积分曲线与积分曲线族积分曲线与积分曲线族第9页/共42页2023/5/711例例3解解不是！不是！(1)第10页/共42页2023/5/712分段积分，得分段积分，得第11页/共42页2023/5/713第12页/共42页2023/5/714第13页/共42页2023/5/715（三）不定积分的性质（三）不定积分的性质 （1）不定积分与微分互为逆运算不定积分与微分互为逆运算第14页/共42页2023/5/716综合综
4、合(3)(4)（2）线性运算性质线性运算性质第15页/共42页2023/5/717不定积分计算的基本思想：不定积分计算的基本思想：求不定积分是求导的逆运算求不定积分是求导的逆运算 导数基本公式导数基本公式积分基本公式积分基本公式 微分法微分法积分法积分法 反想反想 逆运算逆运算 怎样计算不定积分？怎样计算不定积分？第16页/共42页2023/5/718二、基本积分表二、基本积分表第17页/共42页2023/5/719第18页/共42页2023/5/720第19页/共42页2023/5/721第20页/共42页2023/5/722解解第21页/共42页2023/5/723解解第22页/共42页2
5、023/5/724解解第23页/共42页2023/5/725第24页/共42页2023/5/726利用微分形式不变性利用微分形式不变性第25页/共42页2023/5/727三、凑微分法三、凑微分法定理定理1：（凑微分法）：（凑微分法）证证利用微分形式不变性利用微分形式不变性第26页/共42页2023/5/728 凑微分凑微分怎样应用凑微分法怎样应用凑微分法？第27页/共42页2023/5/729解解向哪个积分公式凑向哪个积分公式凑？第28页/共42页2023/5/730解解第29页/共42页2023/5/731解解第30页/共42页2023/5/732解解第31页/共42页2023/5/733第32页/共42页2023/5/734解解第33页/共42页2023/5/735解解第34页/共42页2023/5/736解解第35页/共42页2023/5/737解解第36页/共42页2023/5/738解解第37页/共42页2023/5/739解解第38页/共42页2023/5/740 常用微分公式常用微分公式第39页/共42页2023/5/741第40页/共42页2023/5/742第41页/共42页